精髓資料微積分進門

1、校 本 課 程論文題目：微積分初步作 者：高紅桃日 期：2011-09-11序中國戰(zhàn)國時代（公元前7世紀(jì)），我國的莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即老莊哲學(xué)中所有的無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。這是樸素的、也是很典型的極限概念。而極限理論便是微分學(xué)的基礎(chǔ)。古希臘時期（公元前3世紀(jì)），阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這是窮盡法的古典例子之一，可以說是積分思想的起源。17世紀(jì)，許

2、多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。1874年，德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉

3、斯構(gòu)造了一個沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。外爾斯特拉斯最終完成了對實數(shù)系更深刻的性質(zhì)的理解，使得數(shù)學(xué)分析完全由實數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。人類對自然的認(rèn)識永遠(yuǎn)不會止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著，人類認(rèn)識微積分的水平在不斷深化。微積分學(xué) (Calculus, 拉丁語意為用來計數(shù)的小石頭) 是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級數(shù)的一個數(shù)學(xué)分支，并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經(jīng)指無窮小的計算。更本質(zhì)的講，微積分學(xué)是一門研究變化的科學(xué)，

4、正如幾何學(xué)是研究空間的科學(xué)一樣?？陀^世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造。微積分學(xué)在科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，來解決那些僅依靠代數(shù)學(xué)不能有效解決的問題。微積分學(xué)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)和解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)上建立起來，并包括微分學(xué)、積分學(xué)兩大分支。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。

5、它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學(xué)，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會先被引入。在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué)，并被定義為研究函數(shù)的科學(xué)。我們也對微積分在生活中就一些簡單實際應(yīng)用的一些研究來提高自己在以微積分的思想方法解決問題的能力；了解在哪些情況，哪些領(lǐng)域會用到微積分；進一步加深對微積分的認(rèn)識。微積分的主要內(nèi)容及其他研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分

6、的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。 本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。 微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。 積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。 微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的。最初，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對第谷浩瀚的天文觀測數(shù)據(jù)進行了分析運算，得到了萬有引力定律，并進一步導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學(xué)成了推動近代數(shù)學(xué)發(fā)展強大的引擎，同時也極大的推動了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)

7、、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。微積分主要有三大類分支：極限、微分學(xué)、積分學(xué)。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算。牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了這個定理以后才引起了其他學(xué)者對于微積分學(xué)的狂熱的研究。這個發(fā)現(xiàn)使我們在微分和積分之間互相轉(zhuǎn)換。這個基本理論也提供了一個用代數(shù)計算許多積分問題的方法，該方法并不真正進行極限運算而是通過發(fā)現(xiàn)不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數(shù)的積分。微分問題在科學(xué)領(lǐng)域無處不在。微積分的基本概念還包括函數(shù)、無窮序列、無窮級數(shù)和連續(xù)等，運算方法主要有符號運

8、算技巧，該技巧與初等代數(shù)和數(shù)學(xué)歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、復(fù)分析、時域微分和微分拓?fù)涞阮I(lǐng)域。微積分的現(xiàn)代版本是實分析。極限微積分中最重要的概念是“極限”。微商（即導(dǎo)數(shù)）是一種極限。定積分也是一種極限。從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數(shù)學(xué)家們奮斗了200多年?，F(xiàn)在使用的定義是維斯特拉斯于19世紀(jì)中葉給出的。數(shù)列極限就是當(dāng)一個有順序的數(shù)列往前延伸時，如果存在一個有限數(shù)（非無限大的數(shù)），使這個數(shù)列可以無限地接近這個數(shù)，這個數(shù)就是這個數(shù)列的極限。數(shù)列極限的表示方法是：其中 L 就是極限的值。例如當(dāng)時，它的極限為 L = 0。就是說n越大(越往前延伸)，這個值越趨近于0

9、。導(dǎo)數(shù)我們知道在運動學(xué)中，平均速度等于通過的距離除以所花費的時間，同樣在一小段間隔的時間內(nèi)，除上其走過的一小段距離，等于這一小段時間內(nèi)的速度，但當(dāng)這一小段間隔的時間趨于零時，這時的速度為瞬時速度，無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導(dǎo)數(shù)。得用求導(dǎo)的方法計算。也就是說，一個函數(shù)的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù)。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化，當(dāng)時間趨于某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率。微分學(xué)微分學(xué)主要研究的是在函數(shù)自變量變化時如何確定函數(shù)值的瞬時變化率(或微分

10、)。換言之，計算導(dǎo)數(shù)的方法就叫微分學(xué)。微分學(xué)的另一個計算方法是牛頓法，該算法又叫應(yīng)用幾何法，主要通過函數(shù)曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作“微分學(xué)的鼻祖”。積分學(xué)積分學(xué)是微分學(xué)的逆運算，即從導(dǎo)數(shù)推算出原函數(shù)。又分為定積分與不定積分。一個一元函數(shù)的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等于函數(shù)曲線下包含的實際面積。根據(jù)以上認(rèn)識，我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。 而不定積分，用途較少，主要用于微分方程的解。微積分的符號微分學(xué)中的符號“dx”、“dy”等，系由萊布尼茨首先使用。其中的d源自拉丁語中“差”（Differentia）的第一個字母。積分符號

11、“”亦由萊布尼茨所創(chuàng)，它是拉丁語“總和”（Summa）的第一個字母s的伸長(和有相同的意義)。微積分學(xué)的應(yīng)用微積分學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域。它與大部分科學(xué)分支，特別是物理學(xué)，關(guān)系密切，而經(jīng)濟學(xué)亦經(jīng)常會用到微積分學(xué)。幾乎所有現(xiàn)代技術(shù)，如建筑、航空等都以微積分學(xué)作為基本數(shù)學(xué)工具。微積分學(xué)課程在高校理、工科教學(xué)中，微積分是“高等數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容之一。其教學(xué)法由學(xué)科創(chuàng)立一開始就受到人們重視。微積分的基本介紹微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運算，把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任

12、意一者為起點來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因為，代數(shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。

13、所以，必須要利用代數(shù)處理代表無限的量，這時就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以0的麻煩，相反引入了一個過程任意小量。就是說，除的數(shù)不是零，所以有意義，同時，這個小量可以取任意小，只要滿足在德爾塔區(qū)間，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)你可以認(rèn)為這是投機取巧，但是，他的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個概念是成功的。微積分是與實際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計算機的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。 客

14、觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。 由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造。Differential and Integral Calculus數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支。內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。函數(shù)是微積分研究的基本對象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限。17世紀(jì)后半葉，英國數(shù)學(xué)家I.牛

15、頓和德國數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茲，總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作，建立了微積分，但他們的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此尚缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。19世紀(jì)A.L.柯西和K.魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上；加之19世紀(jì)后半葉實數(shù)理論的建立，又使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善。極限的思想方法可追溯到古代，3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率的近似值3.141024，并指出：“割之彌細(xì)，所失彌少 ，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”。劉徽對面積的深刻認(rèn)識和他的割圓術(shù)方法，正是極限思想的具體體現(xiàn) 。數(shù)列極限

16、是函數(shù)極限的基礎(chǔ)， 一個數(shù)列an如果當(dāng)n無限增大時，an與某一實數(shù)無限接近，就稱之為收斂數(shù)列，a為數(shù)列的極限，記作例如，數(shù)列的極限為0。微分學(xué)的基本概念是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是從速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念。牛頓從蘋果下落時越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學(xué)工具來刻畫這一事實。導(dǎo)數(shù)作為一個數(shù)學(xué)工具無論在理論上還是實際應(yīng)用中，都起著基礎(chǔ)而重要的作用。例如在求極大、極小值問題中的應(yīng)用。積分學(xué)的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計算，以及在理論和實際中的應(yīng)用。不定積分概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運算而提出來的。如果對每一xI ，有f(x)F（x），則稱F(x)為f(x)的一個

17、原函數(shù)，f(x)的全體原函數(shù)叫做不定積分，記為，因此，如果F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)C，其中C為任意常數(shù)。定積分概念的產(chǎn)生來源于計算平面上曲邊形的面積和物理學(xué)中諸如求變力所作的功等物理量的問題。解決這些問題的基本思想是用有限代替無限；基本方法是在對定義域a，b進行劃分后，構(gòu)造一個特殊形式的和式，它的極限就是所要求的量。具體地說，設(shè)f(x)為定義在a，b上的函數(shù)，任意分劃區(qū)間a，b:ax0x1xnb，記， ，任取 xi xi，如果有一實數(shù)I，有下式成立 ： ，則稱I為f(x)在a，b上的定積分，記為If(x)dx。當(dāng)f(x)0時，定積分的幾何意義是表示由xa，xb，y0和yf(

18、x)所圍曲邊形的面積。定積分除了可求平面圖形的面積外，在物理方面的應(yīng)用主要有解微分方程的初值問題和“微元求和”。聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的基本公式是：若f(x)在a，b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則f(x)dxF(b)F(a)。通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式。因此，計算定積分實際上就是求原函數(shù)，也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數(shù)，計算不定積分的問題也不能完全得到解決，所以要考慮定積分的近似計算，常用的方法有梯形法和拋物線法。微積分學(xué)的建立從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、

19、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是

20、求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)

21、。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓在1671年寫了流數(shù)法和無窮級數(shù)，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他

22、發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)

23、的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也

24、都各有短處。那時候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。直到19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量

25、前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。微積分歷史積分的起源很早，古希臘時期就有求特殊圖形面積的研究；用的是窮盡的方法。阿基米德（Archimedes）用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的

26、圖形，以求得其面積；這些都是窮盡法的古典例子。文藝復(fù)興之后，基于實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發(fā)展。譬如為了航海的方便，杰拉杜斯·麥卡托（Gerardus Mercator）發(fā)明了所謂的麥?zhǔn)贤队胺?，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。17世紀(jì)的前半，是微積分學(xué)的醞釀時期。確實劃分微積分學(xué)這門學(xué)科是在17世紀(jì)由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓幾乎同時創(chuàng)立的，對此學(xué)界曾有極大的爭論，兩人曾為爭奪微積分的發(fā)明權(quán)訴諸皇家學(xué)會仲裁。 在他們創(chuàng)立微積分以前，人們把微分和積分視為獨立的學(xué)科。而微積分之名與其符號之使用則是萊布尼茨所創(chuàng)。雖說

27、微積分是萊布尼茨和牛頓發(fā)明的，但是指的是他們兩人使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關(guān)系，使計算系統(tǒng)化，并且把微積分大規(guī)模使用到幾何與物理上。在他們之前，微積分是萌芽時期，觀念在摸索中，計算是個別的，應(yīng)用也是個別的。在牛頓、萊布尼茨以前，對微分、積分最有貢獻(xiàn)的大概要算皮埃爾·德·費馬了，可惜他未能體會兩者之間的密切關(guān)系。而牛頓的老師伊薩克·巴羅（I. Barrow, 16301677）雖然知道兩者之間有互逆的關(guān)系，但他不能體會此種關(guān)系的意義，其原因之一就是求導(dǎo)數(shù)還沒有一套有系統(tǒng)的計算方法。古希臘平面幾何的成功，予西方數(shù)學(xué)非常深遠(yuǎn)的影響，一般認(rèn)為，唯有幾何的論證方法

28、才是嚴(yán)格的，才是真正的數(shù)學(xué)，代數(shù)也不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導(dǎo)以代數(shù)的方法研究幾何的問題。這種態(tài)度才漸有轉(zhuǎn)變?？墒且环矫鎺缀嗡季S方式深植人心，而另一方面代數(shù)方法仍然未臻成熟，實數(shù)系統(tǒng)遲遲未能建立，所以許多數(shù)學(xué)家仍然固守幾何陣營而不能有有效的計算方法，如巴婁就是。牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點，發(fā)展了有效的微分方法，可是他的方法遲遲未敢發(fā)展。雖然他用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發(fā)說明了他的宇宙體系，但因害怕當(dāng)時人的批評，在他1687年的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中，卻把微積分的痕跡抹去，而仍以古典的幾何論證方式論述。微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡爾、費馬、

29、惠更斯和沃利斯的貢獻(xiàn)。牛頓、萊布尼茨雖然把微積分系統(tǒng)化，但它還是不嚴(yán)格的?？墒俏⒎e分被成功地用來解決許多問題，卻使十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家偏向其應(yīng)用性，而少致力于其嚴(yán)格性。當(dāng)時，微積分學(xué)的發(fā)展幸而掌握在幾個非常優(yōu)越的數(shù)學(xué)家，如歐拉（L. Euler, 17071783）、拉格朗日（J.U. Lagrange, 17361813）、拉普拉斯（P.S. de Laplace, 17491827）、達(dá)朗貝爾（J.de R. d'Alembert, 17171783）及白努利（D. Bernoulli, 17001782）世家等人的手里。研究的問題由自然現(xiàn)象而來，所以能以自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)來驗合微積分的許

30、多推論。使微積分學(xué)不因基礎(chǔ)不穩(wěn)而將之錯誤。在這些眾數(shù)學(xué)家的手中，微積分學(xué)的范圍很快地超過現(xiàn)在大學(xué)初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學(xué)。發(fā)展現(xiàn)代微積分理論的一個動力是為了解決“切線問題”，另一個是“面積問題”。18世紀(jì)的分析學(xué)驅(qū)動18世紀(jì)的微積分學(xué)不斷向前發(fā)展的動力是物理學(xué)的需要，物理問題的表達(dá)一般都是用微分方程的形式。18世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)。他們把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個領(lǐng)域，并獲得了豐碩的成果。在數(shù)學(xué)本身又發(fā)展出了多元微分學(xué)、多重積分學(xué)、微分方程、無窮級數(shù)的理論、變分法，大大地擴展了數(shù)學(xué)研究的范圍。其中最著名的要數(shù)最速降線問題：即最快下降的曲線的問題。這個

31、曾經(jīng)的難題用變分法的理論可以輕而易舉的解決。微積分發(fā)明優(yōu)先權(quán)大爭論歷史上，微積分是由兩位科學(xué)家，牛頓和萊布尼茨幾乎同時發(fā)現(xiàn)的。在創(chuàng)立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績相當(dāng)。這兩位數(shù)學(xué)家在微積分學(xué)領(lǐng)域中的卓越貢獻(xiàn)概括起來就是：他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問題的一般方法，認(rèn)識到求積問題與切線問題互逆的特征，并揭示出微分學(xué)與積分學(xué)之間的本質(zhì)聯(lián)系；他們都各自建立了微積分學(xué)基本定理，他們給出微積分的概念、法則、公式和符號理論為以后的微積分學(xué)的進一步發(fā)展奠定了堅實而重要的基礎(chǔ)?？傊?，他們創(chuàng)立了作為一門獨立學(xué)科的微積分學(xué)。微積分這種數(shù)學(xué)分析方法正式誕生以后，由于解決了許多以往靠初等數(shù)學(xué)無法作答的實際問題，所以逐漸引起

32、科學(xué)家和社會人士的重視。同時，也帶來了關(guān)于“誰先建立微積分”問題的爭論。從牛頓和萊布尼茨還在世時就開始出現(xiàn)這種爭論，英國和歐洲大陸各國不少科學(xué)家都卷入這場曠日持久的、尖銳而復(fù)雜的論戰(zhàn)。這場論戰(zhàn)持續(xù)了100多年的時間。就創(chuàng)造與發(fā)表的年代比較，牛頓創(chuàng)造微積分基本定理比萊布尼茨更早。前者奠基于16651667年，后者則是16721676年，但萊布尼茨比牛頓更早發(fā)表微積分的成果。故發(fā)明微積分的榮譽應(yīng)屬于他們兩人。中國古代數(shù)學(xué)中微積分的萌芽微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系 。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追溯到古希臘的

33、阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得 圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追溯古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到

34、公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著數(shù)書九章十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負(fù)開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四

35、元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。 中國已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上е袊院?，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。第二次數(shù)學(xué)危機及微積分邏輯上的嚴(yán)格化微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來了一次空前繁榮的時期。對18世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。但是牛頓和萊布尼茨的微積分都缺乏清晰的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)，這在初創(chuàng)時期是不

36、可避免的。科學(xué)上的巨大需要戰(zhàn)勝了邏輯上的顧忌。他們需要做的事情太多了，他們急于去攫取新的成果?；締栴}只好先放一放。正如達(dá)朗貝爾所說的：“向前進，你就會產(chǎn)生信心！”數(shù)學(xué)史的發(fā)展一再證明自由創(chuàng)造總是領(lǐng)先于形式化和邏輯基礎(chǔ)。于是在微積分的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了這樣的局面：一方面是微積分創(chuàng)立之后立即在科學(xué)技術(shù)上獲得應(yīng)用，從而迅速地發(fā)展；另一方面是微積分學(xué)的理論在當(dāng)時是不嚴(yán)密的，出現(xiàn)了越來越多的悖論和謬論。數(shù)學(xué)的發(fā)展又遇到了深刻的令人不安的危機。例如，有時把無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時卻又令無窮小量為零而忽略不計。由于這些矛盾，引起了數(shù)學(xué)界的極大爭論。如當(dāng)時愛爾蘭主教、唯心主義哲學(xué)家

37、貝克萊嘲笑“無窮小量”是“已死的幽靈”。貝克萊對牛頓導(dǎo)數(shù)的定義進行了批判。當(dāng)時牛頓對導(dǎo)數(shù)的定義為：當(dāng)x增長為x+o時，x的立方（記為x3）成為（x+o）的立方（記為(x+o）3)。即x3+3 x2o+ 3x o2+ o3。x與x3的增量分別為o和3 x2o+ 3x o2+ o3。這兩個增量與x的增量的比分別為1和3 x2+ 3x o+ o2，然后讓增量消失，則它們的最后比為1與3 x2。我們知道這個結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過程確實存在著明顯的偷換假設(shè)的錯誤：在論證的前一部分假設(shè)o是不為0的，而在論證的后一部分又被取為0。那么o到底是不是0呢？這就是著名的貝克萊悖論。這種微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機在

38、數(shù)學(xué)史上稱為第二次數(shù)學(xué)危機，而這次危機的引發(fā)與牛頓有直接關(guān)系。歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。第一個為補救第二次數(shù)學(xué)危機提出真正有見地的意見的是達(dá)朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴(yán)格化的是拉格朗日。為了避免使用無窮小推理和當(dāng)時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒展開式的基礎(chǔ)上。但是，這樣一來，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級數(shù)的收斂問題，所以，拉格朗日的以冪級數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題。到了19世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極為微積分的奠基工作而

39、努力，其中包括了捷克的哲學(xué)家B.Bolzano.曾著有無窮的悖論，明確地提出了級數(shù)收斂的概念，并對極限、連續(xù)和變量有了較深入的了解。分析學(xué)的奠基人，法國數(shù)學(xué)家柯西在18211823年間出版的分析教程和無窮小計算講義是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列的基本概念和精確定義。對分析基礎(chǔ)做更深一步的理解的要求發(fā)生在1874年。那時的德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。黎曼發(fā)現(xiàn)，柯西沒有必要把他的定積分限制于連續(xù)函數(shù)。黎曼證明了，被積

40、函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。也就是將柯西積分改進為Riemann積分。這些事實使我們明白，在為分析建立一個完善的基礎(chǔ)方面，還需要再深挖一步：理解實數(shù)系更深刻的性質(zhì)。這項工作最終由外爾斯特拉斯完成，使得數(shù)學(xué)分析完全由實數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。這樣一來，數(shù)學(xué)分析所有的基本概念都可以通過實數(shù)和它們的基本運算表述出來。微積分嚴(yán)格化的工作終于接近封頂，只有關(guān)于無限的概念沒有完全弄清楚，在這個領(lǐng)域，德國數(shù)學(xué)家Cantor做出了杰出的貢獻(xiàn)?？傊诙螖?shù)學(xué)危機和核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)上。外爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于邏輯地構(gòu)造了實數(shù)論。為此，建立分析基礎(chǔ)

41、的邏輯順序是實數(shù)系極限論微積分微積分的現(xiàn)代發(fā)展人類對自然的認(rèn)識永遠(yuǎn)不會止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著。以下列舉了幾個例子，足以說明人類認(rèn)識微積分的水平在不斷深化。在Riemann將Cauchy的積分含義擴展之后，Lebesgue又引進了測度的概念，進一步將Riemann積分的含義擴展。例如著名的Dirichilet函數(shù)在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue積分下便可積。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)大師所伯列夫為了確定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了廣義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念。這一概念的引入不僅賦予微分方程的解以新的含義，更重要的是，它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學(xué)工具得以應(yīng)用到微分方程理論中

42、，從而開辟了微分方程理論的新天地。我國的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來研究幾何，這門學(xué)科對人類認(rèn)識時間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的巨大的作用。并且這門學(xué)科至今仍然很活躍。由我國數(shù)學(xué)家朱熹平、曹懷東完成最后封頂?shù)凝嫾尤R猜想便屬于這一領(lǐng)域。在多元微積分學(xué)中，NewtonLeibniz公式的對照物是Green公式、OstrogradskyGauss公式、以及經(jīng)典的Stokes公式。無論在觀念上或者在技術(shù)層次上，他們都是NewtonLeibniz公式的推廣。隨著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要和解決問題的需要，僅僅考慮歐式空間中的微積分是不夠的。有必要把微積分的演出舞臺從歐式空間進一步拓展到一

43、般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演著重要的角色。于是，外微分式的積分和微分流形上的Stokes公式產(chǎn)生了。而經(jīng)典的Green公式、OstrogradskyGauss公式、以及Stokes公式也得到了統(tǒng)一。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識是從生動的直觀開始，進而達(dá)到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。人類對客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識具有相對性，受到時代的局限。隨著人類認(rèn)識的深入，認(rèn)識將一步一步地由低級到高級、由不全面到比較全面地發(fā)展。人類對自然的探索永遠(yuǎn)不會有終點。微積分的誕生及其重要意義微積分的誕生是繼Euclid幾何建立之后，數(shù)學(xué)發(fā)展的又一個里程碑式的事件。微積分誕生之前，人類基本上

44、還處在農(nóng)耕文明時期。解析幾何的誕生是新時代到來的序曲，但還不是新時代的開端。它對舊數(shù)學(xué)作了總結(jié)，使代數(shù)與幾何融為一體，并引發(fā)出變量的概念。變量，這是一個全新的概念，它為研究運動提供了基礎(chǔ)推導(dǎo)出大量的宇宙定律必須等待這樣的時代的到來，準(zhǔn)備好這方面的思想，產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茨、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來，為科學(xué)活動提供方法，指出方向的領(lǐng)袖，但也必須等待創(chuàng)立一個必不可少的工具微積分，沒有微積分，推導(dǎo)宇宙定律是不可能的。在17世紀(jì)的天才們開發(fā)的所有知識寶庫中，這一領(lǐng)域是最豐富的，微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強地認(rèn)識客觀

45、事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強與加深了數(shù)學(xué)的作用。恩格斯說： “在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里?！庇辛宋⒎e分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠(yuǎn)的天體的運動行為。宇宙中沒有哪

46、一個角落不在這些定律的所包含范圍內(nèi)。這是人類認(rèn)識史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會影響。它強有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。一場空前巨大的、席卷近代世界的科學(xué)運動開始了。毫無疑問，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學(xué)的開端。旋轉(zhuǎn)液體的液面以等角速度旋轉(zhuǎn)的液體，液面的形狀如何求得？解答：假設(shè)它的剖面是一條曲線，Y 軸是轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)面以 Y 軸為對稱軸，此時在液面會得到一正壓力 R，R可以同時提供向心力，和重力因此其中、都是常數(shù)，因此該剖面的曲線是拋物線，液面形狀是該拋物線繞 Y軸的旋轉(zhuǎn)面。直接求sin(x)的導(dǎo)函數(shù)從幾何上如何找到sin(x

47、)的微分呢？解答：直接求把變動，sin從變到，我們要了解與之比，是一小段弦長，是斜線區(qū)域這個近似直角三角形的斜邊，此與之比之比可以想成是 cos四只蒼蠅飛行問題有四只蒼蠅A,B,C,D分別位于平面上的1,1，-1,1，-1,-1，1, -1，之后它們一起以每秒1單位的速度行動，行動的方式為：A蒼蠅一直向著B蒼蠅靠近，B蒼蠅一直向著C蒼蠅靠近，C蒼蠅一直向著D蒼蠅靠近，D蒼蠅一直向著A蒼蠅靠近，試問：1四只蒼蠅會在何處相遇？2它們多久會相遇？3找出A蒼蠅的行動軌跡，并大致畫出。4計算A蒼蠅從開始到相遇的路徑長。5蒼蠅A會有什么樣的生理反應(yīng)？解答：1、2：從物理相對運動的點來看A的行進方向始終和B

48、的行進方向保持垂直，你可以想象蒼蠅移動了瞬間之后，方向就立即修正參照圖一、二、三，由于四只蒼蠅是做等速運動，所以每一時刻以四只蒼蠅圍出來的四邊形會是正方形，行進方向垂直加上等速于是當(dāng)時間愈久的時候，蒼蠅愈來愈靠近，正方形愈來愈小，最后會內(nèi)縮成一點，這一點會是原點，這就是他們相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以從B蒼蠅看來，A還是以 1 單位 / 秒的等速向B靠近，原來A、B的距離是 2 單位，因此需要秒的時間四只蒼蠅會相遇，的推論都一樣，四只會一起相遇圖一 圖二圖三3：我們將蒼蠅A的坐標(biāo)位置用極坐標(biāo)的方式表達(dá)，而B的位置就是要注意的是：和都是的函數(shù)而A的速度是此向量要與平行，于是如果

49、，初始值，。 ( ) 其軌跡如下圖所示事實上我們必須注意到，在的情形下會有的推論，我們不妨用積分式算出時刻走了多少路：等式右邊是速度乘上時間，在的時候，" "。所以其實蒼蠅A的軌跡應(yīng)為上述討論要表達(dá)的是說，加上這一點是需要的，并且加上那一點后，軌跡還是連續(xù)的可以想一下如何定義在端點的連續(xù)性4：由35：由3得知在到 2 的時候，換言之，在之前已轉(zhuǎn)了無限多圈，于是蒼蠅會“頭昏”。雪球融化假設(shè)雪球融化的速率與表面積成正比，若有一個半徑為10公分的雪球，在氣溫氣壓皆固定的情況之下，在5分鐘后融化為一個半徑5公分的雪球，請問雪球完全融化需要多少時間？解答：假設(shè)此雪球在時間分鐘時的半徑

50、為公分，由題意可知，又雪球融化的速率與表面積成正比，雪球融化的速率即雪球體積的變化率，雪球的體積為，表面積為，所以有為一比例常數(shù)，由于體積隨時間經(jīng)過而減少，可知為常數(shù)，由，可解出，由此可看出雪球的半徑隨時間經(jīng)過等速率減少，雪球完全融化時，所以雪球在10分鐘后完全融化。雨中行車若你駕駛一輛風(fēng)玻璃與地面垂直的吉普車欲從甲地到乙地，此時天正下著雨，假設(shè)所有雨滴皆以速度 u 垂直落下，且均勻的分布在空氣中，請問你是該開的快一點或是慢一點，才能使落在擋風(fēng)玻璃的雨水總量最少？解答：圖一假設(shè)每立方公尺中有克的雨水，若車子以速度 v 前進，以車子為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)來看，則雨水以水平速度 v，垂直速度 u 朝車子而來,

51、假設(shè)速度與水平夾角，則對單位面積的擋風(fēng)玻璃來說，在到間，落在其上的雨水正好是時，單位面積上高為，傾斜角度的圓柱內(nèi)的水如圖二圖二總共有克，所以單位時間內(nèi)單位面積所接收的雨水為，若甲到乙地距離，擋風(fēng)玻璃總面積，則從甲以等速 v 開車到乙擋風(fēng)玻璃所接收的雨水共有為一常數(shù)，與無關(guān)。若并非以等速行車，結(jié)果又會是如何呢？假設(shè) v 為 t 的函數(shù)，寫成，單位時間內(nèi)單位面積接收的雨水為，假設(shè)在時間后從甲到達(dá)乙，則。則從甲到乙所接收的總雨量為依然是一個常數(shù)，與 v 無關(guān)，也就是說不管怎么開，落在擋風(fēng)玻璃上總雨量都是固定的。工人拉船碼頭上，有一個圓筒狀鐵柱，從船上拋出一根繩子，一端固定在船尾，另一端繞鐵柱三圈后由

52、一工人拉著，假設(shè)工人施力10公斤，繩子與鐵柱的磨擦系數(shù)是1/3，請問船尾受力多大？解答：在繩子與鐵柱有的接觸時，拉力會提供接近的正壓力給鐵柱，所以有，積分得，其中就是10公斤，而，所以。錄音帶如果你曾注意過收音機帶動錄音帶的情形，相信你會發(fā)現(xiàn)在收聽或者快轉(zhuǎn)的時候，在左方的輪子會逆時針旋轉(zhuǎn)，以帶動磁帶，而原本在右方的磁帶地方就會被一直帶動，最后會繞到左方的輪子上?，F(xiàn)在我們考慮二個問題：兩個輪子磁帶半徑的變化率之比為多少？如果我知道錄音帶從一開始左方的輪子沒有磁帶，所有磁帶都在右方的輪子上轉(zhuǎn)到一半 (左方的磁帶量右方的磁帶量時，需要一分鐘，并且輪 1 的轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時候

53、需要幾分鐘呢？解答：如果你曾注意過收音機帶動錄音帶的情形時，就會發(fā)現(xiàn)到，在收聽或者快轉(zhuǎn)的時候，在 1 處的輪子會逆時針旋轉(zhuǎn)，以帶動磁帶，而磁帶原本在 2 的地方就會被一直帶動，最后會繞到輪子 1 上?，F(xiàn)在我們想要考慮兩個問題：1. 記為1號輪子在時刻所繞出的磁帶的半徑，為2號輪子在時刻磁帶形成圓形的半徑，它們會隨而變化，那么兩半徑的變化率之比即為何？2. 如果我知道錄音帶從一開始輪 1 沒有磁帶，所有磁帶都在輪 2上轉(zhuǎn)到一半輪 1的磁帶量輪2的磁帶量時，需要一分鐘，并且輪 1 的轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時候需要幾分鐘？第一個問題其實并不難，如果注意到磁帶的總量始終保持一定，另一

54、個角度想就是兩磁帶所繞出的兩個圓形面積總和是固定的，于是會有常數(shù)，對微分后得到第二個問題我們可以試著用積分的方法解決，首先注意到由于轉(zhuǎn)速是一定記為，所以半徑是和成正比，于是不妨令比方說輪子每秒轉(zhuǎn)10圈，那么一秒后半徑就多了10個磁帶的厚度，兩秒后半徑就多了20個磁帶的厚度另外，我們同樣是以圓面積代表磁帶量，所以一分鐘時轉(zhuǎn)了總長的一半，是一比例常數(shù)欲解時的值。所以帶子全部轉(zhuǎn)完需要分鐘。撞球問題你知道撞球的時候球桿應(yīng)該打在哪里最好嗎？解答：觀察1：如果球桿打在撞球的中央如圖A處則球有速度，但是無旋轉(zhuǎn)的角速度，如此一來球和布會有摩擦，布會壞掉，可見這不是最佳的點。球桿應(yīng)打在讓球產(chǎn)生全滾動而不滑動，這

55、是最佳的點。觀察2：若球一開始有滑動，不久球會開始滾動，滾速會增加，移動速度會減少，而質(zhì)心速度會增加，到最后會有，即滾動而不滑動，而摩擦力會消失。一些記號：球的質(zhì)心速度：球轉(zhuǎn)動的角速度：球的半徑：球的轉(zhuǎn)動慣量：球的質(zhì)量由物理學(xué)的角度來看，一剛性物體的角動量變化率等于力矩之和，寫成數(shù)學(xué)式即為，另外，角動量等于物體的轉(zhuǎn)動慣量乘上角速度，也就是說，于是，用到撞球的例子上即為：注：1.因為撞球的滾動是以貫穿球心的軸而轉(zhuǎn)動，所以其轉(zhuǎn)動慣量為(質(zhì)心) 2.力矩，其中是轉(zhuǎn)動軸到施力點的方向向量，如果只關(guān)心力矩的大小，則3.要達(dá)到全滾動而不滑動，則，動量的變化率最后必須全部轉(zhuǎn)變?yōu)?，瞬間達(dá)成。所以最后，計算出的

56、值：1.先計算空心球殼的轉(zhuǎn)動慣量：(球殼上的點到軸的距離) (均勻球殼, 質(zhì)量與面積成正比)，。2.計算實心球殼的轉(zhuǎn)動慣量：對球殼 r ，從O到R積分：，而所以結(jié)論：球桿應(yīng)打在距球心高處為最佳。 補充：為何滾動而不滑動的時候會有？滾動而不滑動質(zhì)心的位移等于弧長，牛吃草問題有一頭牛，被栓在一個半徑為 r 的木樁上如下圖所示繩子的一端被固定在A點，而牛能夠走到木樁的對面B。木樁的外部都是草地，請問牛有辦法吃到多少草呢？解答：圖一經(jīng)由觀察我們發(fā)現(xiàn)牛能吃到草的范圍如右圖的斜線部份見圖二。由題意知繩長為，而在點左邊的區(qū)域會是一個半圓。至于剩下的區(qū)域怎么求得呢？當(dāng)繩子被木樁" 拌住 "

57、的時候見圖三。牛所達(dá)到的最遠(yuǎn)處為，其中弧長加直線長為繩子的長度，而曲線即所有這種點所形成的軌跡。圖二 圖三我們可以利用解析幾何將軌跡描述出來：取木樁的中心為原點，令與的夾角為如圖四，于是點坐標(biāo)為，而？是圓在點上的切線段，所以，待定，而長度要等于弧長，于是，解得，所以點坐標(biāo)即確定：圖四 圖五我們可先計算圖五的斜線面積，它會是以下所表示的積分值：其中為周期函數(shù)，故 Area至此可得吃草的范圍上下兩塊Area加上左半圓扣掉木樁面積平方單位補充：圖五中弧稱為圓的漸伸線involutes對微積分學(xué)發(fā)展歷史的認(rèn)識早在幾千年前的古代科學(xué)家的腦海里，微積分的思想雛形便已出現(xiàn)。之后的幾千年中，在許多數(shù)學(xué)家的不懈努力下，微積分學(xué)的創(chuàng)立積累了愈加多的材料，基礎(chǔ)一步步奠定，終于在17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。此后，微積分學(xué)定義嚴(yán)格化，有了較