第4講 事件的獨(dú)立性2016

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 大學(xué)數(shù)學(xué)(四) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 腳本編寫：孟益民 教案制作：孟益民本章學(xué)習(xí)要求： 理解事件頻率的概念，理解概率的古典定義. 理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算. 掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理. 理解條件概率的概念，掌握概率的乘法定理. 了解事件的獨(dú)立性概念. 掌握貝努利概型和二項(xiàng)概率的計(jì)算方法.第一章 隨機(jī)事件及其概率第四節(jié) 事件的獨(dú)立性一、事件的獨(dú)立性二、伯努利概型三、系統(tǒng)的可靠性一、事件的獨(dú)立性 | |ABP ABP B AP AP ABP AP B A在上一節(jié)我們知道了條件概率這個(gè)概念，在已知事件 發(fā)生的條件下， 發(fā)生的可能性為條件概率（）（

2、）（ ）由此得到了一般地概率乘法公式：（） （ ）（） 問題問題什么樣地情況呢？地影響，那么會(huì)出現(xiàn)了是否發(fā)生發(fā)生與否不受事件如果事件AB 得正品”，那么為事件“第二次取品”，為事件“第一次取得正中，設(shè)回這批產(chǎn)品如果第一次抽取后仍放產(chǎn)品，每次任取一件。次抽取品率的產(chǎn)品中，接連兩例如，在一批有一定次BA ）（）（）（乘法公式成為BPAPABP ）（）（ABPBP| .由此引入下述定義. 2| ,| ,. 0 0 1不受任何事件的影響）的發(fā)生與否、與任一事件相互獨(dú)立（、）（）（）（）（則相互獨(dú)立，事件）（，）（當(dāng)APBAPBPABPBABPAP相互獨(dú)立。與則稱事件），（）（）（滿足、若事件BABPA

3、PABPBA 例1求敵機(jī)被擊中的概率。乙擊中敵機(jī)地概率為為機(jī)的概率機(jī)炮擊，已知甲擊中敵甲、乙各自同時(shí)向一敵. 5 . 0, 6 . 0 . 8 . 03 . 05 . 06 . 0 3 . 05 . 06 . 0 ）（于是）（）（）（的，因此有個(gè)隨機(jī)事件是相互獨(dú)立敵機(jī)”這兩擊中敵機(jī)”與“乙擊中根據(jù)題意可以認(rèn)為“甲CPBPAPABP. 為事件“敵機(jī)被擊中”；為事件“乙擊中敵機(jī)”；為事件“甲擊中敵機(jī)”設(shè)CBA由加法公式知解解）（）（）（）（）（ABPBPAPBAPCP 相互獨(dú)立。，則稱事件）（）（）（）（），（）（）（），（）（）（），（）（）（有、如果兩獨(dú)立），兩兩相互獨(dú)立（也稱兩，則稱事件）（

4、）（）（），（）（）（），（）（）（為三個(gè)事件，如果，設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBACBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA. . 推推 廣廣個(gè)相互獨(dú)立的事件。是，成立，則稱（都有式和任意的一組（的個(gè)事件。如果對(duì)于任意是，設(shè)nAAAAPAPAPAAAPniiinKKnAAAniiiiiiknkk21)2121)()()( 1)1 12121相互獨(dú)立。，兩兩獨(dú)立，不能得到兩兩獨(dú)立；，相互獨(dú)立，則nnnnAAAAAAAAAAAA21212121, 223010nn21(1 1)121nnninnnnnninCCCCCCnn 代表個(gè)等式不相

5、互獨(dú)立）。者都相互獨(dú)立，或者都件或相互獨(dú)立（即這四對(duì)事立的，則另外三對(duì)也是中有一對(duì)是互相獨(dú)、；、；、若四對(duì)事件BABABA 也相互獨(dú)立。、即證得）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（故）（）（）（相互獨(dú)立，所以有、因?yàn)槠溆嗾堊x者自行證明。也相互獨(dú)立”、相互獨(dú)立時(shí)、這里僅證明“當(dāng)BABPAPBPAPBPAPBPAPABPBPAPBAPBAPBAPBPAPABPBABABA11 1 1 1 ., 證證推廣推廣獨(dú)立。個(gè)事件仍然相互對(duì)立事件，則所得事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的個(gè)（相互獨(dú)立。若其中任意nnmmAAAAn)1, , 321事件獨(dú)立性的判斷 實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來判斷兩個(gè)事件

6、的獨(dú)立性：例如 返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復(fù)試驗(yàn)等.例2一臺(tái)發(fā)生故障的概率。，求它們中至少有和正常工作的概率分別為床著，第一臺(tái)、第二臺(tái)機(jī)設(shè)兩臺(tái)機(jī)床獨(dú)立地運(yùn)轉(zhuǎn)93. 0720 .正常工作。臺(tái)機(jī)床分別表示第一臺(tái)、第二，則障的事件為，第二臺(tái)發(fā)生故的事件為設(shè)第一臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障2121 AAAA.07. 093. 01)(1)2(,28. 072. 01)(1)(211APAPAPAP相互獨(dú)立。，故由于兩臺(tái)機(jī)床獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)故障”，則表示“至少有一臺(tái)發(fā)生用2121 AAAACC解解解法1.3304. 007. 028. 007. 028. 021212121）（）（）（）（）（）（）（）（由加法公式APA

7、PAPAPAAPAPAPCP解法23304. 093. 072. 01111, 212121212121）（）（）（）（）（獨(dú)立，于是也相互，相互獨(dú)立，故APAPAAPCPCPAAAAAAAAC 結(jié)結(jié) 論論(1) 若A、B、C 相互獨(dú)立，則AB 與 C 獨(dú)立,AB 與 C 獨(dú)立,AB 與 C 獨(dú)立. (3) n個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任意m個(gè)事件的對(duì)立事件與剩余事件的組合仍是相互獨(dú)立的則另外三對(duì)相互獨(dú)立。其中任一對(duì)相互獨(dú)立，與與與與,)2(BABABABA 結(jié)結(jié) 論論 在實(shí)際應(yīng)用中, 對(duì)于事件的獨(dú)立性常常是根據(jù)事件的實(shí)際意義去判斷. 一般, 若由實(shí)際情況分析, A,B兩事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微

8、弱, 那就認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的. 例如, A,B分別表示甲乙兩人患感冒. 如果甲乙兩人的活動(dòng)范圍相距甚遠(yuǎn), 就認(rèn)為A,B相互獨(dú)立, 若甲乙兩人是同住在一個(gè)房間里的, 那就不能認(rèn)為A,B相互獨(dú)立了. 兩事件相互獨(dú)立的含義是它們中一個(gè)已發(fā)生, 不影響另一個(gè)發(fā)生的概率. 除非兩個(gè)事件之一的概率為0,否則兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A與B通常是相容的, 這是因?yàn)镻(AB)=P(A)P(B)不為零. 計(jì)算相互獨(dú)立事件的交的概率通常是好算的, 只須將它們各自的概率相乘即可. 但經(jīng)常也要計(jì)算到相互獨(dú)立事件的并的概率, 這時(shí)候或者可以用加法定理, 即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(

9、A)P(B) 結(jié)結(jié) 論論 如果是要求多個(gè)相互獨(dú)立的事件的并的概率, 也可利用狄.摩根定理將事件的并轉(zhuǎn)換為事件的交, 也就是考慮事件的逆的概率.)B)P(AP()BAP(B)P(A11)AP()A)P(AP()AAAP()AAP(Annn21212111,ABABABAB對(duì)偶律（對(duì)偶律（De MorganDe Morgan律）律）： 經(jīng)常有的難題喜歡求某些獨(dú)立事件的交了再并的概率, 這時(shí)候不得不套用廣義加法定理, 尤其常用的是三個(gè)事件的并的加法法則,例如, 常見的求AB+CD+EF 的概率, 則P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDE

10、F)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F 相互之間獨(dú)立, 則上式中的各個(gè)交事件的概率再變成各概率之積.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 一種常見的題型, 就是假設(shè)事件A,B,C 相互獨(dú)立, 但是問其中至少兩件發(fā)生的概率, 或者至少兩件不發(fā)生的概率.而A,B,C 至少兩件發(fā)生的事件為P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)-P(ABC) - P(ABC)+P(ABC) AB+AC+BC =P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC) = P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(

11、C)-2P(A)P(B)P(C)而A,B,C 至少兩事件不發(fā)生的事件為.2 2 )C)P(B)P(AP()C)P(BP()C)P(AP()B)P(AP()CBAP()CBP()CAP()BAP()CBCABAP(因此CBCABA二、伯努利概型等價(jià)方式 將試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n 次,如果每次試驗(yàn)的結(jié)果都互不影響,即各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立,則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).如果在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè): , 1 (01),.AAP Ap P APPnn 和 ，且則稱這 次重復(fù)獨(dú)立的試驗(yàn)為 重伯努利試驗(yàn)，簡稱伯努利概型 問題問題 ).0(nkkPkAnPAn次的概率恰好出現(xiàn)次重復(fù)獨(dú)立試

12、驗(yàn)中事件要計(jì)算，出現(xiàn)的概率為設(shè)每個(gè)試驗(yàn)中事件（對(duì)于伯努利概型）， : ),210()1 (. 1 1 因此有下面定理理種出現(xiàn)方式，按加法定組合計(jì)算法可知應(yīng)有次出現(xiàn)，按次，不考慮在哪試驗(yàn)中出現(xiàn)在于只考慮由應(yīng)該次試驗(yàn)中不出現(xiàn)的概率現(xiàn)而其余次試驗(yàn)中出在指定的這次試驗(yàn)的獨(dú)立性，首先，由n、kPPCkPCkknApPnkAnknkknnknknk 在n重伯努利試驗(yàn)中,如果事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P(0p1),則事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為項(xiàng)概率公式。項(xiàng)，所以上述公式稱二按二項(xiàng)公式展開式的各恰好是由于nknkknppnkppC1), 2 , 1 , 0()1 ( pqnkqpCkPk

13、nkknn1 )., 2 , 1 , 0(其中n 重伯努里試驗(yàn)成功的次數(shù) 在n 重伯努里試驗(yàn)中，記事件A出現(xiàn)的次數(shù)為X. X 的可能取值為： 0，1，n. X 取值為 k 的概率為：knkknppCkXP)1 ()(例3 一批產(chǎn)品中有20%的次品.進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查,共有五件樣品.計(jì)算這五件樣品中恰好有三件次品、至多有三件次品的概率.解解按概率公式，得三件次品?，F(xiàn)在，兩件一件有零件依次為五件樣品中恰好設(shè)2 . 05 3210、pn、A、A、AA 9933. 00512. 02048. 04096. 03277. 08 . 02 . 0323458 . 02 . 02458 . 02 . 058

14、. 032102334555553210PPPPAAAAP ;0512. 0)8 . 0()2 . 0(3233553CPAP一條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.6, 現(xiàn)檢查了10件, 求至少有兩件一級(jí)品的概率. 設(shè)B為事件至少有兩件一級(jí)品. 此為n=10 重伯努利試驗(yàn), 事件A (抽到一級(jí)品) 的概率 p=0.6998040601040110119101010.)(p)(p)BP(P(B)例4解解 一個(gè)元件正常工作的概率稱為該元件的可靠性. 由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性. 系統(tǒng)的可靠性由系統(tǒng)的元件的可靠性及其聯(lián)接方式?jīng)Q定. 1ana2a 以下假設(shè)各元件正常工作與否是相互獨(dú)立

15、的，記Ai“表示元件ai正常工作”設(shè) 用Bi表示“元件bi正常工作”，設(shè)P（Bi）= si .nirAPii, 2 , 1,)( 串聯(lián)系統(tǒng)由n個(gè)元件串聯(lián)而成，故只要一個(gè)元件失效，系統(tǒng)就不正常工作，所以該系統(tǒng)可靠性為1串聯(lián)系統(tǒng)nnrrrAAAPP21211)(特別地，當(dāng)時(shí) ， .rrrrn21nrP 1 2并聯(lián)系統(tǒng) 并聯(lián)系統(tǒng)由n 個(gè)元件并聯(lián)而成, 只要有一個(gè)元件正常工作，系統(tǒng)就不會(huì)失效，于是串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為).1 ()1)(1 (1)(1)(1)(22121212nnnnrrrAAAPAAAPAAAPP特別地，當(dāng) 時(shí)， .rrrrn21nrP)1 (121a2a3a3串并聯(lián)系統(tǒng) 設(shè)有2n個(gè)元件

16、組成一個(gè)系統(tǒng)，它是由2條串聯(lián)子系統(tǒng)并聯(lián)而成. 它正常工作時(shí)，要求兩條串聯(lián)支路至少有一條正常工作，用A、B分別表示兩條支路工作正常，則P（A）=P（A1A2An）= ,P（B）=P（B1B2Bn）= . nrrr 21nsss21).1)(1 (1)(1)(1 (1)()(1)(1)(1)(21213nnsssrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPP因此系統(tǒng)的可靠性為1ana2a1bnb2b特別地，當(dāng)r1= r2 = = rn = s1= = sn = r 時(shí)，)2()1 (123nnnrrrP顯然 ，可見并聯(lián)可使可靠性提高，但元件數(shù)量增大. 13PP 4并串聯(lián)系統(tǒng) 設(shè)有2n個(gè)元件組成一個(gè)系統(tǒng)

17、. 記Ci表示“元件ai和bi至少有一個(gè)工作正?！?，即Ci = Ai Bi , 則).1)(1 (1)()(iiiiisrBAPCP2a2b1a1bnanb所以，系統(tǒng)的可靠性為.)1)(1 (1 )()()()(12114niiinniisrCPCPCPCPP特別地，當(dāng) 時(shí)（1in）， .rsriinnrrP)2(4 一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性. 如圖, 設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式聯(lián)接. 設(shè)第i個(gè)元件的可靠性為pi(i=1,2,3,4), 求系統(tǒng)的可靠性.1234例5 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i個(gè)元件正常工作, 以A

18、表示系統(tǒng)正常工作.P(A)=P(A1A2)+P(A3A4) - P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4) - p(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1 p2+p3 p4 -p1 p2 p3 p4由系統(tǒng)的獨(dú)立性, 得系統(tǒng)的可靠性:A=A1A2 A3A4伯努利家族伯努利家族 伯努利家族，這個(gè)非凡的瑞士家族產(chǎn)生過十一個(gè)數(shù)學(xué)家的家族。伯努利家族在數(shù)學(xué)與科學(xué)上的地位正如巴赫家族在音樂領(lǐng)域的地位一樣地顯赫。（其中三位是杰出的，他們是雅可布、約翰、丹尼爾），他們又生出了在許多領(lǐng)域里嶄露頭角的成群后代。雅科布雅科布伯努利伯努利（Jakob Bernoulli,1654170

19、5)。巴塞爾大學(xué)教授。變分法的創(chuàng)始人之一。曾和萊布尼茨共同獲得過微積分學(xué)的不少結(jié)果，對(duì)常微分方程的積分法有貢獻(xiàn)，也是概率論的早期研究者，提出了關(guān)于大數(shù)法則的伯努利定理及伯努利數(shù)。 約翰約翰伯努利伯努利（Johann Bernoulli，16671748）。雅科布的弟弟。巴塞爾大學(xué)的醫(yī)學(xué)博士。歷任荷蘭格羅寧根大學(xué)和巴塞爾大學(xué)教授。也是變分法的創(chuàng)始人之一。在微積、微分方程、幾何和力學(xué)方面有貢獻(xiàn)。丹尼爾丹尼爾伯努利伯努利(Daniel Bernoulli,17001782)。約翰的次子。巴塞爾大學(xué)醫(yī)學(xué)博士。曾去俄國彼得堡科學(xué)院任教，回國后任巴塞爾大學(xué)教授。在流體力學(xué)、氣體動(dòng)力學(xué)、微分方程和概率論等方

20、面都有貢獻(xiàn)。1738年出版流體動(dòng)力學(xué)一書，提出的著名的伯努利定理。他解決的微分方程現(xiàn)稱為伯努利方程。 雅可布的弟弟約翰伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）原來也錯(cuò)選了職業(yè)，他起先學(xué)醫(yī)，并在年獲得巴塞爾大學(xué)博士學(xué)位，論文是關(guān)于肌肉收縮問題的。但他也愛上了微積分，很快就掌握了它，并用它來解決幾何學(xué)、微分方程和力學(xué)上的許多問題。年他任荷蘭戈羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授，而在他的哥哥雅可布死后繼任巴塞爾大學(xué)教授。我們都知道極限論中有一個(gè)“羅比塔法則”，羅比塔（Guillaume Francois Antonie de lHospital 1661-1704)是約翰的一個(gè)學(xué)生，在年約

21、翰把自己發(fā)現(xiàn)的“羅比塔法則”寫信告訴了羅比塔，羅比塔將這一法則寫進(jìn)了自己的著作無窮小分析中了。 雅可布和約翰兩兄弟有時(shí)致力于研究同一個(gè)問題，但是由于彼此嫉妒和易于激動(dòng)，這一情況是很遺憾的。有時(shí)兩人之間的摩擦爆發(fā)成為公開的嫉恨詬罵。年約翰向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出一個(gè)很艱難的問題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受地心引力的作用，自較高點(diǎn)下滑至較低點(diǎn)，不計(jì)摩擦，問沿著什么曲線下滑，時(shí)間最短？” 這就是著名的“最速降線”問題。它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個(gè)未知函數(shù)（曲線），來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔、伯努利兄弟、萊布尼茨和牛頓都得到了解

22、答。約翰的解法比較漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費(fèi)勁，卻更為一般化。后來歐拉和拉格朗日發(fā)明了這一類問題的普遍解法，引出了一個(gè)數(shù)學(xué)的新分支變分學(xué)。 由于解決“最速降線”問題，兄弟兩個(gè)因?yàn)榻夥ǖ膬?yōu)劣而爭論不休，兩人之間的口角紛爭達(dá)數(shù)年之久，其所用言辭之粗野很像市井上的對(duì)罵而非科學(xué)討論。這兩人之中約翰的脾氣似乎更壞，因?yàn)槎嗄曛螅捎谒亩鹤荧@得了他自己渴望獲得的法蘭西科學(xué)院獎(jiǎng)金，約翰竟把他摔出窗外。他的二兒子叫做丹尼爾。伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）起初也像他父親一樣學(xué)醫(yī)，寫了一篇關(guān)于肺的作用的論文獲得醫(yī)學(xué)學(xué)位，并且也像他父親一樣馬上放棄了醫(yī)學(xué)而改攻他天生的專長。

23、他在概率論、偏微分方程、物理和流體動(dòng)力學(xué)上都有貢獻(xiàn)。而最重要的功績是在流體動(dòng)力學(xué)上，其中的“伯努利定理”就是他的貢獻(xiàn)。他曾經(jīng)榮獲法國科學(xué)院獎(jiǎng)金次之多，其中就包括那項(xiàng)惹他父親惱怒的獎(jiǎng)。 伯努利家族在整個(gè)歐洲漸漸出了名，連遠(yuǎn)在東方俄羅斯的沙皇也有所耳聞。當(dāng)時(shí)文治武功的沙皇喀得林一世正在試圖振興俄羅斯，急需各種優(yōu)秀人才來俄羅斯工作。年，約翰的兩個(gè)兒子尼古拉。伯努利（Nicolaus Bernoulli 1695-1726）和丹尼爾同被沙皇邀請赴彼得堡去。約翰的一個(gè)得意門生歐拉也被丹尼爾推薦去了彼得堡。尼古拉在那里提出了一個(gè)概率論的問題，后來以“彼得堡問題”聞名于世?？上У氖撬诖文昃鸵陨厝A年光死在那

24、里。歲的丹尼爾在那里解決了黎卡提方程的解。并發(fā)表了一系列的科學(xué)論著。年回到巴塞爾，先后擔(dān)任巴塞爾大學(xué)的植物學(xué)、解剖學(xué)與物理學(xué)教授。以歲高齡離開人世，許多人認(rèn)為他是第一位真正的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。 1、甲,乙,丙三人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽, 已知甲的命中率為0.9, 乙的命中率為0.8, 丙的命中率為0.7, 現(xiàn)每人各投一次, 求:(1)三人中至少有兩人投進(jìn)的概率;(2)三人中至多有兩人投進(jìn)的概率.解: 設(shè)A=甲投進(jìn), B=乙投進(jìn), C=丙投進(jìn)則三人中至少兩人投中的事件為AB+AC+BC三人中至多有兩人投進(jìn)的事件為ABC課堂練習(xí)因此0.4960.50410.70.80.91C)P(A)P(B)P(1P(ABC)1)ABCP(2)0.9021.0081.911.0080.560.630.720.70.80.920.70.80.70.90.80.9(C)2P(A)P(B)PP(B)P(C)P(A)P(C)P(A)P(B)2