大學(xué)物理學(xué)_第四章機(jī)械振動(dòng)

1、14.1 簡諧振動(dòng)及其描述簡諧振動(dòng)及其描述4.2 簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程4.3 簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能量4.4 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振作業(yè)：作業(yè)：2、8、10、11、12、13、14、15、16、17.2 因?yàn)檎駝?dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必須的因?yàn)檎駝?dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必須的基礎(chǔ)知識(shí)，自然界中還有許多現(xiàn)象，如交變電流、基礎(chǔ)知識(shí)，自然界中還有許多現(xiàn)象，如交變電流、 交變的電磁場(chǎng)等，都屬于廣義的振動(dòng)現(xiàn)象。這些運(yùn)交變的電磁場(chǎng)等，都屬于廣義的振動(dòng)現(xiàn)象。這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)械運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描動(dòng)的本質(zhì)雖然

2、并非機(jī)械運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此，述卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此， 機(jī)械振動(dòng)的研究也機(jī)械振動(dòng)的研究也為光學(xué)、電學(xué)、為光學(xué)、電學(xué)、 交流電工學(xué)、無線電技術(shù)等打下交流電工學(xué)、無線電技術(shù)等打下了一定的基礎(chǔ)。了一定的基礎(chǔ)。 任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)簡諧任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)簡諧振動(dòng)的疊加。振動(dòng)的疊加。學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義 一個(gè)物理量的取值在某一數(shù)值附近作來回 往復(fù) 的變化則稱該物理量在振動(dòng)。 機(jī)械振動(dòng) 物體在某一位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。 振動(dòng)在空間的傳播。波動(dòng)振動(dòng)4閱讀材料閱讀材料: :頻譜分析頻譜分析利用付里葉分解可將任意振動(dòng)分解成若干簡

3、諧振動(dòng)利用付里葉分解可將任意振動(dòng)分解成若干簡諧振動(dòng)( (S.H.V.) ) simple harmonic vibration 的疊加的疊加 (合成的逆運(yùn)算）。合成的逆運(yùn)算）。 對(duì)周期性振動(dòng)：對(duì)周期性振動(dòng)： T 周期周期) cos(2)(10kkktkAatxT2=k = 1 基頻基頻（ ） k = 2 二次諧頻二次諧頻（2 ） k = 3 三次諧頻三次諧頻（3 ）決定決定音調(diào)音調(diào)決定決定音色音色高次諧頻高次諧頻5物理上：物理上：一般振動(dòng)是多個(gè)簡諧振動(dòng)的合成一般振動(dòng)是多個(gè)簡諧振動(dòng)的合成數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上： 付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù) 付氏積分付氏積分也可以說也可以說 S.H.V.是振動(dòng)的基本模型是振動(dòng)的基本

4、模型或說或說 振動(dòng)的理論建立在振動(dòng)的理論建立在S.H.V.的基礎(chǔ)上。的基礎(chǔ)上。) cos(2)(10kkktkAatx4.1 簡諧振動(dòng)及其描述簡諧振動(dòng)及其描述 簡諧振動(dòng)：簡諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移( (或角或角位移位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。)cos(0tAx速度速度)sin(dd0tAtxv加速度加速度)cos(dd0222tAtxa6:A離開平衡位置的最大距離。圓頻率：秒內(nèi)所作的全振動(dòng)次數(shù) 2單位時(shí)間內(nèi)所作的全振動(dòng)的次數(shù)T2完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間T1:初位相。周期: . ( 時(shí)刻的位相）：tt：

5、， A簡諧振動(dòng)的特征參量簡諧振動(dòng)的特征參量.振幅:頻率:71 振動(dòng)曲線法振動(dòng)曲線法t (s)x(m)00.020.51.0)2 2cos(02. 0tx二 簡諧振動(dòng)的幾何描述方法8x x = A cos( t + 0) 0oxt = 0A t+ 0t = tA優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 初位相直觀明確。初位相直觀明確。 比較兩個(gè)簡諧振動(dòng)的位相比較兩個(gè)簡諧振動(dòng)的位相差直觀明確。差直觀明確。2.旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法1212)()(tt2A2 1A1x09oxA2A1A31212)()(tt) 12(k(A2、A3) 兩個(gè)振動(dòng)為反相兩個(gè)振動(dòng)為反相. .(A1、A2) 兩個(gè)振動(dòng)為同相；兩個(gè)振動(dòng)為同相；k2例例: :

6、一物體沿一物體沿X軸作簡諧振動(dòng)，振幅軸作簡諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期周期T=2s。當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí), ,物體的位移物體的位移x=0.06m, ,且向且向 X 軸正向運(yùn)動(dòng)。軸正向運(yùn)動(dòng)。求求:(1):(1)簡諧振動(dòng)表達(dá)式簡諧振動(dòng)表達(dá)式;(2) ;(2) t =T/4時(shí)物體的位置、速度時(shí)物體的位置、速度和加速度和加速度;(3);(3)物體從物體從x = -0.06m向向X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。次回到平衡位置所需時(shí)間。10例例: :一物體沿一物體沿X軸作簡諧振動(dòng)，振幅軸作簡諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期周期T=2s。當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí), ,物體的位移物體的位移x

7、=0.06m, ,且向且向X軸正向運(yùn)動(dòng)。求軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1):(1)簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)表達(dá)式表達(dá)式;(2) ;(2) t =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3);(3)物體從物體從x = -0.06m向向X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解: (1): (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,諧振動(dòng)表達(dá)式寫為：諧振動(dòng)表達(dá)式寫為：)cos(0tAx其中其中A=0.12m, T=2s, T2初始條件：初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12. 0030, 0sin00Av

8、30) 3cos(12. 0tx(2) (2) 由由(1)(1)求得的簡諧振動(dòng)表達(dá)式得求得的簡諧振動(dòng)表達(dá)式得: :) 3sin(12. 0ddttxv) 3cos(12. 0dd2ttva在在t =T/4=0.5s時(shí)時(shí)，代入所列的表達(dá)式可求代入所列的表達(dá)式可求! !11(3) (3) 當(dāng)當(dāng)x = -0.06m時(shí)時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為該時(shí)刻設(shè)為t1 1, ,得得21) 3cos(1t34,3231t因該時(shí)刻速度為負(fù)因該時(shí)刻速度為負(fù)( (向向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)) ), ,應(yīng)舍去應(yīng)舍去4 4 /3/3，設(shè)物體在設(shè)物體在t2 2時(shí)刻第一次回到平衡位置時(shí)刻第一次回到平衡位置( (x=0)=0)，相位是，

9、相位是3 3 /22332ts83. 12t因此從因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間處第一次回到平衡位置的時(shí)間：。s83. 012ttt另解另解：從從t1 1時(shí)刻到時(shí)刻到t2 2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為：653223s83. 0tx1320 x23 振幅矢量的角速度振幅矢量的角速度 ， t= ) 3cos(12. 0tx) 3sin(12. 0ddttxv12例一 彈簧振子0 dd222xtx2mk令0 dd22xmktx dd 22txmkx maf 而整理得：xox kxf f4.2 簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題一 簡諧振動(dòng)實(shí)例) cos(tAx解

10、得：13二 簡諧振動(dòng)特征參量的確定), (A1：由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)確定。,A2：由初始條件確定。確定和即由時(shí)的位置坐標(biāo)和速度，000vxt 2簡諧振動(dòng)的證明： 0 t222xdxd) cos( tAx114cos0Axsin 0Av22020vxA00 tgxv) t(cos Ax) t(sin Av:0t15（1）單擺）單擺 mmg幾種常見的簡諧振動(dòng)幾種常見的簡諧振動(dòng)sinmgM重力的切向分力：重力的切向分力：.! 5! 3sin53sintmamgsin)(ta22ddsintmmg 很小很小, ,小于小于50 時(shí)，時(shí)，0dd22gtg2令gT2所以：單擺作小角度擺動(dòng)，也是諧振動(dòng)（角所以：單

11、擺作小角度擺動(dòng)，也是諧振動(dòng)（角諧振動(dòng)）。重力的分力（準(zhǔn)彈性力）。諧振動(dòng)）。重力的分力（準(zhǔn)彈性力）。0dd222t通解為：通解為：)cos(0tm16（2）復(fù)擺復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為C, , 對(duì)過對(duì)過O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I, , O、C 兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為h。令令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得若若 角度較小時(shí)角度較小時(shí)sindd22mghtImghtI22ddImgh20dd222tmghIT22gmCOh17例1. 已知一彈簧振子，振幅為，頻率為 , A。 0,2:000vAxt求振動(dòng)方

12、程。)3- tcos( Ax 2cos:00AAxt0sin 0Av33) tcos( Ax解18hMkm0 xmMghmv2022020vxA00 tgxv例2. 如圖示，在倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧下，掛一質(zhì)量為M的托盤。質(zhì)量為m的物體由距盤底高h(yuǎn)處自由下落與盤做完全非彈性碰撞，而使其作簡諧振動(dòng)，設(shè)兩物體碰后瞬時(shí)為t=0時(shí)刻，求振動(dòng)方程。 x?第幾象限kmggkMkmMx)(0解: 關(guān)鍵是求振幅和初位相，取碰后m+M整體振動(dòng)的平衡位置位坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正方向，則初始條件為19 例例3. 已知某簡諧振動(dòng)的曲線如圖所示已知某簡諧振動(dòng)的曲線如圖所示,試寫出該振動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系試寫出該振動(dòng)的位移與

13、時(shí)間的關(guān)系. 解解:簡諧振動(dòng)的方程為簡諧振動(dòng)的方程為x=Acos(t+),其中其中A=6.010-2m. 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí),x0=A/2由曲線可知由曲線可知:當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí),切線的斜率大于零切線的斜率大于零,因此速度因此速度v00,所以所以=-/3. 當(dāng)當(dāng)t=1s時(shí)時(shí)x=0由曲線可知由曲線可知:當(dāng)當(dāng)t=1s時(shí)時(shí),切線的斜率切線的斜率小于零小于零,因此因此v0所以所以- /3 =/2,可得可得=/2+/3=5/6.簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)的方程為的方程為256.0 10 cos()m63.xt(由曲線可知由曲線可知:當(dāng)當(dāng)t=1s時(shí)時(shí),位位移由正值變?yōu)樨?fù)值移由正值變?yōu)樨?fù)值,旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矢量應(yīng)該處于矢量應(yīng)該處于/

14、2的位置的位置,亦可知亦可知- /3 =/2.)t/s06x/cm31xO-/3= /2=-/3t=0t=1s20簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能量( (以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例) )(1) (1) 動(dòng)能動(dòng)能4.3 簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能量)(sin212102222tAmmvEK0,21min2maxkkEkAE2411kAdtETETttkk)(sin21022tkA)(cos21210222tkAkxEP(2) (2) 勢(shì)能勢(shì)能情況同動(dòng)能情況同動(dòng)能。pppEEE,minmax系統(tǒng)總的機(jī)械能：系統(tǒng)總的機(jī)械能：221kAEEEpk簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒) (s

15、in 0tAvmk21諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線: :221kAE PEkEE0ttAxcos0tx241kAEEpk22簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法1. 由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā)( (由牛頓定律列方程由牛頓定律列方程) )2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)( (將能量守恒式對(duì)將能量守恒式對(duì)t 求導(dǎo)求導(dǎo)) )例：例：彈簧豎直放置時(shí)物體的振動(dòng)。彈簧豎直放置時(shí)物體的振動(dòng)。m0l0 xxxo彈簧原長彈簧原長掛掛m后伸長后伸長某時(shí)刻某時(shí)刻m位置位置f伸伸 長長受彈力受彈力平衡位置平衡位置k解：求平衡位置解：求平衡位置mgkx 0

16、kmgx 0以平衡位置以平衡位置O為原點(diǎn)為原點(diǎn)kxkxkxmgxxkmgF00)(因此因此, , 此振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。此振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。23如果振動(dòng)系統(tǒng)除去本身如果振動(dòng)系統(tǒng)除去本身恢復(fù)力之外還有其它恒恢復(fù)力之外還有其它恒力作用。振動(dòng)系統(tǒng)仍作力作用。振動(dòng)系統(tǒng)仍作簡諧振動(dòng)。以振動(dòng)系統(tǒng)簡諧振動(dòng)。以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫出簡諧振動(dòng)的微立刻寫出簡諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。分方程或振動(dòng)表達(dá)式。在本例中在本例中0dd22xmktx)cos(tAxm0l0 xxxo彈簧原長彈簧原長掛掛m后伸長后伸長某時(shí)刻某時(shí)刻m位置位置f伸伸 長長受彈

17、力受彈力平衡位置平衡位置k24例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m的物體從傾角為的物體從傾角為 的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行止滑下，滑行 后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為M 的物體發(fā)生完全非彈性的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。碰撞。M與倔強(qiáng)系數(shù)為與倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧相連，碰前的彈簧相連，碰前M 靜止于斜面。靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。求：運(yùn)動(dòng)方程。 mMk解解1：取取m與與M 碰撞連在一起碰撞連在一起后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)此時(shí)彈簧在設(shè)此時(shí)彈簧在m與與M的壓的壓縮下退了縮下退了x0 。x0原長原長Mmx0 坐標(biāo)系如圖坐標(biāo)系如圖0X，0sin)(kxgMmkxtxMm

18、22dd)(以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫出簡諧振為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫出簡諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。kxxxkgMmtxMm)(sin)(/dd)(022，25例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m的物體從傾角為的物體從傾角為 的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行止滑下，滑行 后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為M的物體發(fā)生完全非彈性的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。碰撞。M與倔強(qiáng)系數(shù)為與倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧相連，碰前的彈簧相連，碰前M靜止于斜面。靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。求：運(yùn)動(dòng)方程。kxtxMm22dd)(Mmk

19、以以碰撞時(shí)作為碰撞時(shí)作為記時(shí)起點(diǎn)記時(shí)起點(diǎn)動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒sin20gMmmv初位置初位置sin0gkmx002020/xvtgvxA)cos(tAxA和和 0由初始條件由初始條件確定確定26CkxvMm2221)(210dd)(kxtvMm0dd)(22kxtxMm解解2 : 取平衡位置取平衡位置（x = 0）為為系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)( (將能量守恒式對(duì)將能量守恒式對(duì)t 求導(dǎo)求導(dǎo)) )Mmk27解：平衡時(shí)解：平衡時(shí)0 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到x 處時(shí)

20、，處時(shí)，速度為速度為v .設(shè)此時(shí)彈簧的長度為設(shè)此時(shí)彈簧的長度為L,ddvLltxLl速度為：速度為：彈簧、物體的動(dòng)能分別為：彈簧、物體的動(dòng)能分別為：202161)d(21vvmLllLmELK2221vMEK例：勁度系數(shù)為例：勁度系數(shù)為k、質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻彈簧的均勻彈簧，一端固定，另一端，一端固定，另一端系一質(zhì)量為系一質(zhì)量為M 的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。( ( m M ) )前提前提: 彈簧各等長小段變形彈簧各等長小段變形相同，位移是線性規(guī)律相同，位移是線性規(guī)律彈簧元彈簧元dl的質(zhì)量的質(zhì)量lLmmdd位移為位移為xLlxX

21、M0vdll28系統(tǒng)彈性勢(shì)能系統(tǒng)彈性勢(shì)能為為系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得整理后可得 因此，彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)量，且系統(tǒng)作微運(yùn)動(dòng)時(shí)，因此，彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)量，且系統(tǒng)作微運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可視為是簡諧運(yùn)動(dòng)。彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可視為是簡諧運(yùn)動(dòng)。常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)22kxEP222216121kxmMvv2221)3(21kxmMv0dd)3(kxtmMv03dd22xmMktx2kmMT) 3(22294.4 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成1.1.同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)分振動(dòng) :x1=A1cos( t

22、+ 10)x2=A2cos( t+ 20)合振動(dòng)合振動(dòng) : x = x1+ x2 x =A cos( t+ 0 )合振動(dòng)是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡諧振動(dòng), 其頻率仍為其頻率仍為 兩個(gè)同方向同頻率兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成仍簡諧振動(dòng)的合成仍是簡諧振動(dòng)。合振是簡諧振動(dòng)。合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同。的頻率相同。 30) cos(111tAx) cos(222tAxA1A2A1xA1xA2xA12ox221xxx) cos(tA) ( cos 2122122212AAAAAyA2yA1221122112121coscossinsin tgAAAAAAAAxxyyox1A2AnAA12

23、A一 同直線上 同頻率簡諧振動(dòng)的合成31兩種特殊情況兩種特殊情況 (1)若兩分振動(dòng)同相若兩分振動(dòng)同相 20 10 = 2k ( k = 0,1,2, ) (2)若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相 20 10 = (2k+1) ( k = 0,1,2, )如如 A1=A2 , 則則 A=0則則A=A1+A2 , 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)則則A=|A1-A2|, 兩分振動(dòng)相互減弱兩分振動(dòng)相互減弱)cos(21020212221AAAAA兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，這種兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，這種現(xiàn)象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義現(xiàn)象在波的干涉與衍射中具有特殊

24、的意義 323.3.同方向不同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成 拍拍兩個(gè)簡諧振動(dòng)的頻率兩個(gè)簡諧振動(dòng)的頻率 1和和 2很接近，且很接近，且12兩個(gè)簡諧振動(dòng)合成得：兩個(gè)簡諧振動(dòng)合成得：)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x2合振動(dòng)可視為合振動(dòng)可視為角頻率為角頻率為( 1+ 2)/2、振幅為、振幅為|2Acos( 2 - 1)t/2| 的準(zhǔn)簡諧振動(dòng)。的準(zhǔn)簡諧振動(dòng)。隨時(shí)間變化很慢可隨時(shí)間變化很慢可看作合振動(dòng)的振幅看作合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間變化較快可隨時(shí)間變化較快可看作作諧振動(dòng)的部分看作作諧振動(dòng)的部分)cos(),cos(022011tAxtAx331AoX

25、12A2A, 同一直線上同一直線上 不同頻率簡諧振動(dòng)合成不同頻率簡諧振動(dòng)合成旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量幾何法分析幾何法分析) cos(2222tAx) cos(1111tAx重合：重合：21AAA21AAA反向：反向：12121222T121221T拍拍: :合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象34561拍頻拍頻: 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)的次數(shù) =| 2- 1| 好拍頻.swf35兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式消時(shí)間參數(shù)，得消時(shí)間參數(shù)，得)cos(101tAx)(sin)cos(210202102021222212AyAxAyAx)c

26、os(202tAy 合運(yùn)動(dòng)一般是在合運(yùn)動(dòng)一般是在2A1 ( x 向向)、2A2 2 ( y 向向)范圍內(nèi)范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓。的一個(gè)橢圓。 橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì)( (方位、長短軸、左右旋方位、長短軸、左右旋 ) )在在 A1 、A2確定之后確定之后, ,主要決定于主要決定于 = 20 - 10。4. 相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成36(1) 20- 10 0 0, , 兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得xAAy12在任一時(shí)刻離開坐標(biāo)原點(diǎn)位移為：在任一時(shí)刻離開坐標(biāo)原點(diǎn)位移為：)cos(2221tAAs(2) 20- 10 , 兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，得兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，得xAAy1

27、2幾種特殊情況：幾種特殊情況：)(sin)cos(210202102021222212AyAxAyAx37(3) 20- 10 /2，得，得1222212AyAx(4) 20- 10 3/2，仍然得，仍然得1222212AyAx這是坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，這是坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。與與(3)(3)相同，只是質(zhì)點(diǎn)的軌相同，只是質(zhì)點(diǎn)的軌跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。38幾種特殊情況幾種特殊情況10200243452347439方向垂直的不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成方向垂直的不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成兩分振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小 可看作兩頻率相等而可

28、看作兩頻率相等而 隨隨t 緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁圖依次緩慢變化上頁圖依次緩慢變化 軌跡稱為李薩如圖形軌跡稱為李薩如圖形兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比t )(120,42:3:1020yx40無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng) 物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下產(chǎn)生的簡諧運(yùn)動(dòng)稱無物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下產(chǎn)生的簡諧運(yùn)動(dòng)稱無阻尼自由振動(dòng)。阻尼自由振動(dòng)。阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 物體在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）和物體在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）和阻力阻力作用下產(chǎn)生的運(yùn)作用下產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)稱阻尼振動(dòng)。動(dòng)稱阻尼振動(dòng)。4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振阻尼振動(dòng)的種類：阻尼振動(dòng)的種類

29、： 在阻尼振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)所具有的能量將在振動(dòng)過在阻尼振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)所具有的能量將在振動(dòng)過程中逐漸減少。能量損失的原因通常有兩種：程中逐漸減少。能量損失的原因通常有兩種： 一種是由于介質(zhì)對(duì)振一種是由于介質(zhì)對(duì)振動(dòng)物體的摩擦阻力，使振動(dòng)物體的摩擦阻力，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸變?yōu)闊嶂饾u變?yōu)闊徇\(yùn)動(dòng)的能量運(yùn)動(dòng)的能量而造成能量損而造成能量損失。這稱失。這稱摩擦阻尼摩擦阻尼。 另一種是由于振動(dòng)物體引起另一種是由于振動(dòng)物體引起鄰近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能鄰近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，量逐漸向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量波動(dòng)的能量，而造成系統(tǒng)能量損，而造成系統(tǒng)能量損失。這

30、稱失。這稱輻射阻尼輻射阻尼。41阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)dtdxvfr彈性力和上述阻力作用下的微分方程：彈性力和上述阻力作用下的微分方程：在流體在流體(液體、氣體液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力阻力 速度，速度， ：阻力系數(shù)。：阻力系數(shù)。txkxtxmdddd22m2;20mk令：令：稱稱 0 為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，稱 為阻尼因子為阻尼因子022022xdtdxdtxd42（1） 2 02 阻尼較小時(shí)阻尼較小時(shí)，此方程的解此方程的解：220)cos()(0tAetxt這種情況稱為這種情況稱為欠阻尼欠阻尼022022xdtdxd

31、txd由初始條件決定由初始條件決定A和初相位和初相位 0, ,設(shè)設(shè)000dd,)0(,0vttxxxt即有即有： 00000cossincosAAAxv,)(220020 xxAv0000 xxtgv43欠阻尼下欠阻尼下1.振幅特點(diǎn)振幅特點(diǎn)振幅：振幅：A(t) = Ae- t)cos()(0tAetxt振幅隨振幅隨 t 衰減。衰減。 2.周期特點(diǎn)周期特點(diǎn)嚴(yán)格講，嚴(yán)格講，阻尼振動(dòng)不阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)是周期性振動(dòng)( (更不是更不是簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)) )，因?yàn)槲灰?，因?yàn)槲灰苮(t)不是不是t 的周期函數(shù)。的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。重復(fù)性。202 )2(阻尼較大時(shí)，方程的解：阻尼較大時(shí)，方程的解：tteetxCC)(2)(1202202)(其中其中C1,C2是積分常數(shù)，由初始條件是積分常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況稱為來決定，這種情況稱為過阻尼過阻尼。無振動(dòng)發(fā)生無振動(dòng)發(fā)生44tetCCtx)()(21（3）如果如果 2= 02 方程的解：方程的解：無振動(dòng)發(fā)生無振動(dòng)發(fā)生C1,C2是積分常數(shù)，由初始條件來決是積分常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況稱為定，這種情況稱為臨界阻尼臨界阻尼。 2 = 02( (臨界阻尼臨界阻尼) ) 情形下情形下: