對面積的曲面積分

1、14.5 第一型曲面積分 (對面積的曲面積分) 2oxyz引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “分割, 近似和, 取極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值. 一一. 第一型曲面積分的背景與性質(zhì)第一型曲面積分的背景與性質(zhì)Szyxd),( 3定理定理: 設(shè)有光滑曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),(: Sd uvDdudvFEG2),(),(),(vuzvuyvuxr 二、曲面的面積二、曲面的面積 則則曲面的面積曲面的面積其中其中,| uvDvu

2、dudvrr,222uuuzyxrrEuu ,222vvvzyxrrGvv .vuvuvuvuzzyyxxrrF 曲面的曲面的Gauss系數(shù)系數(shù)4oxyz情形情形1: 光滑曲面光滑曲面yxDyxyxzz),(),(: yxDyxyxzyxzyxdd),(),(122yxD則則曲面的面積曲面的面積 Sd),(,(yxzyxr 特別地特別地, 若若曲面為曲面為,2222Rzyx 則在球坐標系下則在球坐標系下,.sin2ddRdS 5oxyz情形情形2: 光滑曲面光滑曲面, 0),(: zyxH yxDyxyxzyxzyxdd),(),(122 yxD則則曲面的面積曲面的面積 SdzyyzxxHHz

3、HHz ,.),(),(xyDyxyxzz dxdyHHyxDz |6定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),(: uvDdudvFEGvuzvuyvuxf2),(),(),(三、對面積的曲面積分的計算法三、對面積的曲面積分的計算法則則曲面積分曲面積分f (x, y, z) 在在 上連續(xù)上連續(xù),Szyxfd),(存在, 且有Szyxfd),(7oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxd

4、d),(),(122則曲面積分證明證明: 由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(8kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而( 光滑光滑)9說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式. 如果曲

5、面方程為10yxD例例1. 計算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha11思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則hhoxzy12例2：. 已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影

6、為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(413221313例3：設(shè) 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計算.d)1 (12SyxI解解: 在四面體的四個面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0 zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域14yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(102101zyx11o15xozy例例4. 設(shè)2222:azyx)

7、,(zyxf計算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當22yxz當與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD則 1d)(22SyxI161d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD思考思考: 若例4 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當22yxz當計算結(jié)果如何 ? 17例例5. 計算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標

8、系, 則,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d18例例6. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km, 運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: yzxohRR建立坐標系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 , 利用球坐標系, 則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd 0202dsindR)cos1 (22RhRRcoshRhR2219故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(

9、21036%5 .40由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. yzxohRR20zzd例例7. 計算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計算較繁. 21xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x

10、軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx22xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因為的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積S 的 )(2ttttd)()(22S注意注意:側(cè)面積為23xRyo例例8. 計算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .解解: 對曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當球臺高 h2R 時,

11、得球的表面積公式24 RS1x2xozyx24例例9. 求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos25星形線星形線taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種.t點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)26內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利