等比數(shù)列的前n項和數(shù)列總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上等比數(shù)列的前n項和一、等比數(shù)列的前n項和公式1乘法運算公式法Sna1a2a3ana1a1qa1q2a1qn1 a1(1qq2qn1)a1·，Sn.2方程法Sna1a1qa1q2a1qn1 a1q(a1a1qa1qn2) a1q(a1a1qa1qn1a1qn1) a1q(Sna1qn1)，(1q)Sna1a1qn. Sn.3等比性質(zhì)法an是等比數(shù)列，q.q，即q于是Sn.二、等比數(shù)列前n項和公式的理解(1)在等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式中共有a1，an，n，q，Sn五個量，知道其中任意三個量，都可求出其余兩個量(2)當(dāng)公比q1時，等比數(shù)列的前n項和公式是S

2、n，它可以變形為Sn·qn，設(shè)A，上式可寫成SnAqnA.由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是由關(guān)于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)當(dāng)公比q1時，因為a10，所以Snna1是n的正比例函數(shù)(常數(shù)項為0的一次函數(shù))等比數(shù)列前n項和性質(zhì)（1）在等比數(shù)列an中，連續(xù)相同項數(shù)和也成等比數(shù)列，即：Sk，S2kSk，S3kS2k，仍成等比數(shù)列（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，偶數(shù)項之和與奇數(shù)項之和的比等于等比數(shù)列的公比，即q.（3）若一個非常數(shù)列an的前n項和SnAqnA(A0，q0，nN*)，則數(shù)列an為等比數(shù)列，即SnAqnA數(shù)列an為等比數(shù)列題型一等比數(shù)列前n

3、項和公式的基本運算（在等比數(shù)列an的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1和q表示an與Sn，從而列方程組求解，在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達到整體消元的目的，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用；在解決與前n項和有關(guān)的問題時，首先要對公比 q1或q1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論）1、 在等比數(shù)列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若q2，S41，求S8.2、 設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q.題型二等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用3、 一個等比數(shù)列的首項為1，項

4、數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項和為170，求出數(shù)列的公比和項數(shù) 4、 等比數(shù)列an中，若S27，S691，求S4.題型三等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用5、借貸10 000元，以月利率為1%，每月以復(fù)利計息借貸，王老師從借貸后第二個月開始等額還貸，分6個月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)規(guī)范解答 方法一設(shè)每個月還貸a元，第1個月后欠款為 a0元，以后第n個月還貸a元后，還剩下欠款an元(1n6)，則a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a， a61.01a5a1.016a011.011.015a. 由題意，

5、可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因為1.0161.061， 所以a1 739.故每月應(yīng)支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，將此借款以相同的條件存儲6個月，則它的本利和為S1104(10.01)6104×(1.01)6(元)另一方面，設(shè)每個月還貸a元，分6個月還清，到貸款還清時，其本利和為S2a(10.01)5a(10.01)4a a1.0161×102(元)由S1S2，得a. 以下解法同法一，得a1 739.故每月應(yīng)支付1 739元方法技巧錯位相減法求數(shù)列的和若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項乘積組成的新數(shù)

6、列為anbn，當(dāng)求該數(shù)列的前 n項的和時，常常采用將anbn的各項乘以公比q，并向后錯位一項與anbn的同次項對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法 6、已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為4. (1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Sn.數(shù)列歸納整合一、數(shù)列的概念及表示方法(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)(2)表示方法：列表法、圖象法、通項公式法和遞推公式法(3)分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關(guān)系可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列 (4)an與Sn

7、的關(guān)系：an二、等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的對比等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì) 設(shè)an是等差數(shù)列，若stmn，則asataman； 從等差數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等差數(shù)列； 等差數(shù)列中連續(xù)m項的和組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差數(shù)列 設(shè)an是等比數(shù)列，若stmn，則as·atam·an； 從等比數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等比數(shù)列； 等比數(shù)列中連續(xù)m項的和組成的新數(shù)列是等比數(shù)列，即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比數(shù)列(注意：當(dāng)q1且m為偶數(shù)時，不是等比數(shù)列) 函數(shù)特性等差數(shù)列an的通項公式是n的一次函數(shù)，即ananb(a0，a

8、d，ba1d)；等差數(shù)列an的前n項和公式是一個不含常數(shù)項的n的二次函數(shù)，即Snan2bn(d0)等比數(shù)列an的通項公式是n的指數(shù)型函數(shù)，即anc·qn，其中c0，c；等比數(shù)列an的前n項和公式是一個關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)，即Snaqna(a0，q0，q1)三、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：an1and(常數(shù))an是等差數(shù)列；q(q為常數(shù)，q0)an是等比數(shù)列(2)中項公式法：2an1anan2an是等差數(shù)列；an12an·an2(an0)an是等比數(shù)列(3)通項公式法：ananb(a，b是常數(shù))an是等差數(shù)列；anc·qn(c，q為非零常數(shù))an是等比

9、數(shù)列(4)前n項和公式法：Snan2bn(a，b為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列；Snaqna(a，q為常數(shù)，且a0，q0，q1，nN*)an是等比數(shù)列 專題一數(shù)列通項公式的求法數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，有解析式便可研究函數(shù)的性質(zhì)，而有了數(shù)列的通項公式，便可求出數(shù)列中的任何一項及前n項和常見的數(shù)列通項公式的求法有以下幾種：(1)觀察歸納法求數(shù)列的通項公式就是觀察數(shù)列的特征，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與序號n的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合常見數(shù)列的通項公式，歸納出所求數(shù)列的通項公式(2)利用公式法求數(shù)列的通項公式數(shù)列符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，求通項時，只需求出a1與

10、d或a1與q，再代入公式ana1(n1)d或ana1qn1中即可(3)利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式如果給出的條件是an與Sn的關(guān)系式，可利用an先求出a1S1，再通過計算求出an(n2)的關(guān)系式，檢驗當(dāng)n1時，a1是否滿足該式，若不滿足該式，則an要分段表示(4)利用累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式形如：已知a1，且an1anf(n)(f(n)是可求和數(shù)列)的形式均可用累加法；形如：已知a1，且f(n)(f(n)是可求積數(shù)列)的形式均可用累乘法 (5)構(gòu)造法(利用數(shù)列的遞推公式研究數(shù)列的通項公式) 若由已知條件直接求an較難，可以通過整理變形等，從中構(gòu)造出一個等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而求出

11、通項公式1、已知數(shù)列an滿足an1an3n2且a12，求an. 2、數(shù)列an中，若a11，an1an(nN*)，求通項公式an.3、已知數(shù)列an滿足an13an2(nN*)，a11，求通項公式4、設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項的和，且Sn(an1)(nN*)，求數(shù)列an的通項公式專題二數(shù)列求和求數(shù)列的前n項和Sn通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注 意對等比數(shù)列q1的討論2、錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列再求和4、裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣)1、求數(shù)列2，4，6，2n的前n項和Sn.2、在數(shù)列an中，an，又bn，求數(shù)列bn的前n項的和3、求和Snx2x23x3nxn. 專題三數(shù)列的交匯問題數(shù)列是高中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，也是高考的必考內(nèi)容及重點考查的范圍，它始終處在知識的交匯點上，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識交匯進行命題1、已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且