第4章-利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第4章 利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡一、 利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡相關(guān)知識(shí)假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)中的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為： 則閉環(huán)特征方程為：特征方程的根隨參數(shù)K的變化而變化，即為閉環(huán)根軌跡?？刂葡到y(tǒng)工具箱中提供了rlocus()函數(shù)，可以用來(lái)繪制給定系統(tǒng)的根軌跡，它的調(diào)用格式有以下幾種： rlocus(num，den) rlocus(num，den，K) 或者 rlocus(G) rlocus(G，K) 以上給定命令可以在屏幕上畫(huà)出根軌跡圖，其中G為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)G0(s)的對(duì)象模型,K為用戶(hù)自己選擇的增益向量。如果用戶(hù)不給出K向量，則該命令函數(shù)會(huì)自動(dòng)選擇K向量。如果在函

2、數(shù)調(diào)用中需要返回參數(shù)，則調(diào)用格式將引入左端變量。如R，K=rlocus(G) 此時(shí)屏幕上不顯示圖形，而生成變量R和K。R為根軌跡各分支線上的點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)數(shù)矩陣，K向量的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)于R矩陣中的一行。若需要畫(huà)出根軌跡，則需要采用以下命令：plot(R，¹¹) plot()函數(shù)里引號(hào)內(nèi)的部分用于選擇所繪制曲線的類(lèi)型，詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)表1?？刂葡到y(tǒng)工具箱中還有一個(gè)rlocfind()函數(shù)，該函數(shù)允許用戶(hù)求取根軌跡上指定點(diǎn)處的開(kāi)環(huán)增益值，并將該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)顯示出來(lái)。這個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：K，P=rlocfind(G) 這個(gè)函數(shù)運(yùn)行后，圖形窗口中會(huì)出現(xiàn)要求用戶(hù)使用鼠標(biāo)定位的提示，用

3、戶(hù)可以用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊所關(guān)心的根軌跡上的點(diǎn)。這樣將返回一個(gè)K變量，該變量為所選擇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益，同時(shí)返回的P變量則為該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)位置。此外，該函數(shù)還將自動(dòng)地將該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)直接在根軌跡曲線上顯示出來(lái)。例4.1已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)模型為：利用下面的MATLAB命令可容易地驗(yàn)證出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-1所示。>> G=tf(1,conv(1,1,1,2),0); rlocus(G); grid title(¹Root_Locus Plot of G(s)=K/s(s+1)(s+2)¹) xlabel(¹Real Axis¹)%

4、給圖形中的橫坐標(biāo)命名。 ylabel(¹Imag Axis¹) % 給圖形中的縱坐標(biāo)命名。 K,P=rlocfind(G)用鼠標(biāo)點(diǎn)擊根軌跡上與虛軸相交的點(diǎn)，在命令窗口中可發(fā)現(xiàn)如下結(jié)果select_point=0.0000+1.3921i K=5.8142 p=-2.29830-0.0085+1.3961i-0.0085-1.3961i所以，要想使此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，其增益范圍應(yīng)為0<K<5.81。參數(shù)根軌跡反映了閉環(huán)根與開(kāi)環(huán)增益K的關(guān)系。我們可以編寫(xiě)下面的程序，通過(guò)K的變化，觀察對(duì)應(yīng)根處階躍響應(yīng)的變化?？紤]K=0.1,0.2,1,2,5,這些增益下閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

5、曲線?？捎梢韵翸ATLAB命令得到。>> hold off;% 擦掉圖形窗口中原有的曲線。圖4-1 系統(tǒng)的根軌跡 t=0:0.2:15; Y= ; for K=0.1:0.1:1,2:5GK=feedback(K*G,1);y=step(GK,t);Y=Y,y; endplot(t,Y)對(duì)于for循環(huán)語(yǔ)句，循環(huán)次數(shù)由K給出。系統(tǒng)畫(huà)出的圖形如圖4-2所示。可以看出，當(dāng)K的值增加時(shí)，一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)起作用，且響應(yīng)速度變快。一旦K接近臨界K值，振蕩加劇，性能變壞。圖4-2不同K值下的階躍響應(yīng)曲線4.MATLAB繪圖的基本知識(shí)通過(guò)以上實(shí)例的應(yīng)用，我們已初步嘗試了MATLAB的繪圖功能。MATL

6、AB具有豐富的獲取圖形輸出的程序集。我們已用命令plot()產(chǎn)生線性x-y圖形（用命令loglog、semilogx、semilogy或polar取代命令plot,可以產(chǎn)生對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖和極坐標(biāo)圖）。所有這些命令的應(yīng)用方式都是相似的，它們只是在如何給坐標(biāo)軸進(jìn)行分度和如何顯示數(shù)據(jù)上有所差別。（）二維圖形繪制如果用戶(hù)將X和Y軸的兩組數(shù)據(jù)分別在向量x和y中存儲(chǔ)，且它們的長(zhǎng)度相同，則命令plot(x,y) 將畫(huà)出y值相對(duì)于x值的關(guān)系圖。例4.2如果想繪制出一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線，則首先應(yīng)該用t=0:0.01:2*pi（pi是系統(tǒng)自定義的常數(shù),可用help命令顯示其定義）命令來(lái)產(chǎn)生自變量t；然后由命令y=si

7、n(t)對(duì)t向量求出正弦向量y,這樣就可以調(diào)用plot(t,y)來(lái)繪制出所需的正弦曲線，如圖4-3所示。圖4-3一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線（）一幅圖上畫(huà)多條曲線。利用具有多個(gè)輸入變量的plot()命令，可以在一個(gè)繪圖窗口上同時(shí)繪制多條曲線，命令格式為：plot(x1，Y1，x2，Y2，xn，Yn) x1、Y1、x2、Y2等一系列變量是一些向量對(duì)，每一個(gè)x-y對(duì)都可以用圖解表示出來(lái)，因而可以在一幅圖上畫(huà)出多條曲線。多重變量的優(yōu)點(diǎn)是它允許不同長(zhǎng)度的向量在同一幅圖上顯示出來(lái)。每一對(duì)向量采用不同的線型以示區(qū)別。另外，在一幅圖上疊畫(huà)一條以上的曲線時(shí)，也可以利用hold命令。hold命令可以保持當(dāng)前的圖形，并且

8、防止刪除和修改比例尺。因此，后來(lái)畫(huà)出的那條曲線將會(huì)重疊在原曲線圖上。當(dāng)再次輸入命令hold，會(huì)使當(dāng)前的圖形復(fù)原。也可以用帶參數(shù)的hold命令hold on 和hold off來(lái)啟動(dòng)或關(guān)閉圖形保持。（）圖形的線型和顏色為了區(qū)分多幅圖形的重疊表示，MATLAB提供了一些繪圖選項(xiàng)，可以用不同的線型或顏色來(lái)區(qū)分多條曲線，常用選項(xiàng)見(jiàn)下表4-表4-MATLAB繪圖命令的多種選項(xiàng)選項(xiàng)意義選項(xiàng)意義-實(shí)線-短劃線: 虛線-.點(diǎn)劃線r紅色*用星號(hào)繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)b藍(lán)色o用圓圈繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)g綠色.用圓點(diǎn)繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)y黃色×用叉號(hào)繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)表4-中繪出的各個(gè)選項(xiàng)有一些可以并列使用，能夠?qū)σ粭l曲線的線型

9、和顏色同時(shí)作出規(guī)定。例如-g表示綠色的短劃線。帶有選項(xiàng)的曲線繪制命令的調(diào)用格式為：plot(X1，Y1,S1,X2,Y2,S2,) (4)加進(jìn)網(wǎng)絡(luò)線、圖形標(biāo)題、x軸和y軸標(biāo)記一旦在屏幕上顯示出圖形，就可以依次輸入以下相應(yīng)的命令將網(wǎng)絡(luò)格線、圖形標(biāo)題、x、y軸標(biāo)記疊加在圖形上。命令格式如下：grid(網(wǎng)絡(luò)線) title(圖形標(biāo)題) xlabel（x軸標(biāo)記） ylabel（y軸標(biāo)記） 函數(shù)引號(hào)內(nèi)的字符串將被寫(xiě)到圖形的坐標(biāo)軸上或標(biāo)題位置。（）在圖形屏幕上書(shū)寫(xiě)文本。如果想在圖形窗口中書(shū)寫(xiě)文字，可以單擊按鈕，選擇屏幕上一點(diǎn)，點(diǎn)擊鼠標(biāo)，在光標(biāo)處輸入文字。另一種輸入文字的方法是用text()命令。它可以在屏

10、幕上以（x,y）為坐標(biāo)的某處書(shū)寫(xiě)文字，命令格式如下：text（x，y，text） 例如，利用語(yǔ)句text(3，0.45，sint)將從點(diǎn)（，0.45）開(kāi)始，水平的寫(xiě)出“sint”。（）自動(dòng)繪圖算法及手工坐標(biāo)軸定標(biāo)在MATLAB圖形窗口中，圖形的橫、縱坐標(biāo)是自動(dòng)標(biāo)定的，在另一幅圖形畫(huà)出之前，這幅圖形作為現(xiàn)行圖將保持不變，但是在另一幅圖形畫(huà)出后，原圖形將被刪除，坐標(biāo)軸自動(dòng)地重新標(biāo)定。關(guān)于瞬態(tài)響應(yīng)曲線、根軌跡、伯德圖、奈魁斯特圖等的自動(dòng)繪圖算法已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)，它們對(duì)于各類(lèi)系統(tǒng)具有廣泛的適用性，但是并非總是理想的。因此，在某些情況下，可能需要放棄繪圖命令中的坐標(biāo)軸自動(dòng)標(biāo)定特性，由用戶(hù)自己設(shè)定坐標(biāo)范圍，可

11、以在程序中加入下列語(yǔ)句：v=x-min x-max y-min y-max axis(v) 式中v是一個(gè)四元向量。axis(v)把坐標(biāo)軸定標(biāo)建立在規(guī)定的范圍內(nèi)。對(duì)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，v的元素應(yīng)為最小值和最大值的常用對(duì)數(shù)。執(zhí)行axis(v)會(huì)把當(dāng)前的坐標(biāo)軸標(biāo)定范圍保持到后面的圖中，再次鍵入axis可恢復(fù)系統(tǒng)的自動(dòng)標(biāo)定特性。Axis(sguare)能夠把圖形的范圍設(shè)定在方形范圍內(nèi)。對(duì)于方形長(zhǎng)寬比，其斜率為的直線恰位于45o 上，它不會(huì)因屏幕的不規(guī)則形狀而變形。Axis(normal)將使長(zhǎng)寬比恢復(fù)到正常狀態(tài)。二、附錄 利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡的一些其它實(shí)例例4.3 已知知一單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為

12、試在根軌跡上選擇一點(diǎn)，求出該點(diǎn)的增益k及其閉環(huán)極點(diǎn)的位置，并判斷在該點(diǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。程序：num=1,3;den=conv(conv(conv(1 0,1 5),1 6),1 2 2);rlocus(num,den);k,poles=rlocfind(sys);range=33:1:37'cpole=rlocus(num,den,range);range,cpole結(jié)果：selected_point = -5.3780 - 0.0476ians = Columns 1 through 5 33.0000 -5.5745 + 0.6697i -5.5745 - 0.6697i -1.79

13、90 -0.0260 + 1.3210i 34.0000 -5.5768 + 0.6850i -5.5768 - 0.6850i -1.8154 -0.0155 + 1.3340i 35.0000 -5.5791 + 0.7001i -5.5791 - 0.7001i -1.8313 -0.0052 + 1.3467i 36.0000 -5.5815 + 0.7147i -5.5815 - 0.7147i -1.8466 0.0048 + 1.3591i 37.0000 -5.5838 + 0.7291i -5.5838 - 0.7291i -1.8615 0.0146 + 1.3712i Column 6 -0.0260 - 1.3210i -0.0155 - 1.3340i -0.0052 - 1.3467i 0.0048 - 1.3591i 0.0146 - 1.3712i>> 例4.4 已知帶有延遲因子的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：1） 試?yán)L制根軌跡圖；2） 求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)根軌跡增益；3） 求系統(tǒng)k=0.5時(shí)單位階躍響應(yīng)曲線