離散鞅論及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上離散鞅論及應(yīng)用一、 基礎(chǔ)定義設(shè)為概率空間，整數(shù)集合，表示的一個(gè)“區(qū)間”，指的不間斷子集，比如：，等。定義1：設(shè)為單調(diào)上升（或下降），指，（或）。設(shè)為隨機(jī)變量序列，若關(guān)于可測(cè)，稱為適可測(cè)隨機(jī)變量。定義2：設(shè)為適可測(cè)隨機(jī)變量，若下兩條滿足：1. ，2. 。則稱為一個(gè)鞅。若2改寫成，稱為下鞅（上鞅），合稱為半鞅。定義3設(shè)為適可測(cè)隨機(jī)變量，下降，若，且，則稱為一個(gè)反鞅。命題1.對(duì)于區(qū)間,為適可測(cè)隨機(jī)變量列，則為一個(gè)鞅，當(dāng)且僅當(dāng)為一個(gè)反鞅。定義4 設(shè)為適可測(cè)隨機(jī)變量列，若，稱為一個(gè)鞅差。命題2 設(shè)為上升域（列），下兩條成立：（1） 若為一個(gè)鞅，則為一個(gè)鞅差，其中（2） 若為一個(gè)

2、鞅差，則為一個(gè)鞅，其中。簡(jiǎn)言之，“鞅=鞅差的部分和”。設(shè)為一個(gè)鞅，為內(nèi)實(shí)值可測(cè)函數(shù)，問(wèn)是否是鞅？首先，關(guān)于可測(cè)，理由：關(guān)于可測(cè)，假定，其次，和的關(guān)系？若為凸函數(shù)，由條件Jensen不等式，表明為一個(gè)下鞅。命題3設(shè)為適可測(cè)隨機(jī)變量列，為上凸函數(shù)，且，則下兩條成立：1若為鞅，則為下鞅。2 若為下鞅，為單調(diào)不減，則為下鞅。有意思的推論：若為下鞅，則為下鞅；若為鞅，則為下鞅（，假定）。二、 鞅的停時(shí)定理關(guān)于停時(shí)，設(shè)為上升域列，為取值正整數(shù)的隨機(jī)變量，若對(duì)每，均有，稱為關(guān)于的停時(shí)。命題4 如果和是兩個(gè)停時(shí)，則，也是停時(shí)。要證明上述命題，需要下面的引理：引理1 設(shè)為任意的取值于的隨機(jī)變量，下屬三者等價(jià)：（

3、1）；（2）；（3）。命題5 設(shè)是一列關(guān)于的鞅，是一個(gè)關(guān)于的停時(shí)，并且有界，則，特別地。這個(gè)命題是鞅停時(shí)定理的一個(gè)特殊情況，可以看出，它的條件太強(qiáng)了，實(shí)際上我們感興趣的問(wèn)題中許多都不滿足有界這一嚴(yán)格的條件。假設(shè)是一停時(shí)并且，也就是說(shuō)以概率1，可以保證會(huì)停止（相對(duì)于），但與有界不同的是，并沒(méi)有確定的使。在這種情況下，何時(shí)可以得到的結(jié)論呢？考慮停時(shí)注意到，從而?？梢钥闯觯且粋€(gè)有界停時(shí)（），由上面命題可知。我們希望當(dāng)時(shí)，后面兩項(xiàng)趨于0，對(duì)于第二項(xiàng)來(lái)說(shuō)，這是不困難的，因?yàn)?，?dāng)，相當(dāng)于對(duì)限制在一個(gè)趨于空集的集合上取期望。容易看出，若要求，就可以保證。第三項(xiàng)就更麻煩一些，當(dāng)時(shí)，第三項(xiàng)并不趨于0。然而如果

4、和滿足條件。我們就可以得出結(jié)論。定理1 鞅停時(shí)定理設(shè)是一關(guān)于的鞅，是停時(shí)滿足：（1）；（2）；（3）。則有。定理2 設(shè)是關(guān)于的上鞅，是關(guān)于的停時(shí)，設(shè)存在一非負(fù)隨機(jī)變量，滿足，且使得，則有。特別地，若，則有。推論1設(shè)是關(guān)于的上鞅，是關(guān)于的停時(shí)，且，則有。我們已經(jīng)知道對(duì)于上鞅，有，此處上鞅停止定理說(shuō)明檔把換為停時(shí)時(shí)，在附加某些條件前提下，結(jié)論也成立。三、 一個(gè)應(yīng)用關(guān)于期權(quán)值的界設(shè)某種股票的每股上市價(jià)，以表示第天的開(kāi)盤價(jià)，令，則有。考慮一種期權(quán)，它保證期權(quán)持有人可以在一限定的期限內(nèi)，以預(yù)定的價(jià)格購(gòu)入股票。不妨設(shè)這一預(yù)定的行使期權(quán)的價(jià)位為1，并假設(shè)我們考慮的期權(quán)行使期限為無(wú)限。若，則期權(quán)持有人有可能在

5、第天行使期權(quán)，以價(jià)位1購(gòu)入股票，立即以價(jià)位拋出，從而獲利；若則無(wú)法獲利。由此，期權(quán)持有人在第天的潛在利潤(rùn)為，設(shè)貼現(xiàn)率為，將貼現(xiàn)到第1天為，可任取一停時(shí)作為行使期權(quán)的時(shí)刻，我們要尋找的期望的值的上界，即這一期權(quán)最高多次潛在利潤(rùn)為多少。為此要對(duì)作出一個(gè)假設(shè)，假定存在使得 （1）稱為初始每股價(jià)格為的期權(quán)值。（1）式中的上確界是對(duì)一切關(guān)于的停時(shí)取的。因?yàn)闈M足（1）式，所以該期權(quán)值與（1）式中的參數(shù)有關(guān)。定理3設(shè)為以上定義并滿足（1）式，則期權(quán)值滿足下述不等式。其中 （2）證明：證明分為四部分，略。注1： 對(duì)任意固定，定義，則有 （3）則有，若初始每股價(jià)格超過(guò)，則期權(quán)的平均潛在利潤(rùn)至多為。這一值可通過(guò)即刻行使期權(quán)獲得（取）。這表示，一旦單股股票的價(jià)格超過(guò)，期權(quán)持有人就應(yīng)馬上行使他的期權(quán)，以期獲得最大限度的潛在利潤(rùn)。 注2