關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題

1、 山東大學博士學位論文關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題姓名:楊連中申請學位級別:博士專業(yè):基礎數(shù)學指導教師:儀洪勛關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題要摘引進了亞純函數(shù)的特征函數(shù),二十世紀二十年代,芬蘭數(shù)學家并建立了兩個基本定理,被稱為理論值分布論;他所創(chuàng)建的這一理理論研論也是二十世紀最重大的數(shù)學成就之一。半個多世紀以來,究在不斷發(fā)展,而且在復微分方程振蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論研究等方面有著廣泛的應用。亞純函數(shù)的唯一性理論,是近幾十年國際上較為活躍的研究課題,有著極為豐富的研究內(nèi)容。涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性問題理論研究起源于.,的一些研究工作,他不僅為唯一性問題研究奠定了理論基礎,并為亞

2、純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入了新的活力。他所建立的公共值定理、公共值定理等都是這一研究領域的經(jīng)典結(jié)果。后來我國著名數(shù)學家熊慶來?、楊樂【等都得到了內(nèi)容深刻的結(jié)果。隨著亞純函數(shù)唯一性理論的不斷發(fā)展與完善,一些問題得到了解決,新的研究問題又不斷出現(xiàn),如本文提到的問題,都是許多數(shù)學問題,猜想,一問題及家所關注的研究對象。 ,. .等數(shù)學家都獲得不少研究成果。近二十年來,儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一生理論方面作出了重要貢獻.取得了一系列令人注目的結(jié)果。本文主要介紹了作者在儀洪勛教授的精心指導下所完成的一些研究工作見文獻】¨¨】【】【,全文共分五章。第一章主要介紹了基礎理論中的常

3、用記號,并敘述亞純函數(shù)唯一性理論中的一些基本概念、結(jié)果及與本文研究相關的幾個問題。第二章,我們研究了整函數(shù)與其導函數(shù)僅有一個有窮公共值時的唯一性問題。年,.提出了如下猜想。猜想:設,是非常數(shù)整函數(shù),其超級曠?盟寄幽為有窮且不為正整數(shù)。如果與以有窮復數(shù)。為公共值,則一。二。?一其中為非零常數(shù)。設,是非常數(shù)整函數(shù),%是正整數(shù),為非零常數(shù)如果與,以為公共值,則由園子分解定理可知衛(wèi)竺:。,?其中是整函數(shù)記/一,則滿足下列線性微分方程:一:.上述論證說明,函數(shù)與其導函數(shù),芝具有一個有窮非零公共值與一類線性微分方程的解有著密切關系。我們通過研究一類復微分方程解的增長性質(zhì),對有窮級整函數(shù)證明了 猜想成立。主

4、要定理有定理設是非常數(shù)多項武為正整數(shù)則微分方程一毋:的任何解。必為無窮級整函數(shù)。定理設,是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮。如果與,以有窮復數(shù)為公共值,則,女一丁副,其中為非零常數(shù),是正整數(shù)。在第三章中,我們進一步研究了函數(shù)與其導數(shù)具有一個公共值時的唯一性問題,回答了?問題及鐘華梁提出的一個問題,并推廣了.,.和的結(jié)果。主要定理有定理設,是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復數(shù),為正整數(shù)。如果,以及,以為公共值,則,三關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題定理設,是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復數(shù),禮為正整數(shù)。如果和,“以為公共值,并且當時,“,則三礦,其中是非零常數(shù)。第四章我們考慮兩個非常數(shù)亞純函數(shù)與,研究了當,和,

5、?一,具有公共值時的唯一性問題。對超級小于的亞純函數(shù)解決了的一個問題,例子表明其結(jié)果是精確的。具體結(jié)果有定理設與是超級小于 的非常數(shù)亞純函數(shù).如果,與口,以和為公共值 則和下列情況之一:,為常數(shù)釅”,。,為常數(shù)一“,一一,為常數(shù)/一。,/?一.為常數(shù),是非常數(shù)整函數(shù)。第五章主要研究了具有公共值集的亞純函數(shù)唯一性問題。函數(shù)的公共值集概念首先是有首先給出的,并在年提出了一個關于亞純函數(shù)唯一性此問題引起了許,和,當,為和的公共值集時,必有三多數(shù)學家研究興趣,這方面的研究也越來越多。下面的幾個結(jié)果是我們關于問題研究的有關工作,其中定理回答了問題。定理設與是非常數(shù)亞純函數(shù),是有窮復數(shù),是正整數(shù)。如果,凡

6、與“以,。為公共值,則,“蘭或者三,從而存在常數(shù)和滿足“,。使得,三或者,三定理設,與是非常數(shù)整函數(shù),”“是有窮復數(shù),是正整數(shù)。記“,島 “如果,則蘭?壁墾壘旦旦星墾墮旦墨旦墮旦堡型堡望望鯊設,?一,?！?曼。,及,其中/,/,則我們有下面的定理成立。定理設與是非常數(shù)亞純函數(shù)。如果,和以,為公共值集,并且,則,蘭,“;或者,?蘭,“定理設與是非常數(shù)亞純函數(shù)。如果,和以為公共值集,以&為公共值集,并且禮,則,三,護;或者,三,“.定理設與是非常數(shù)亞純函數(shù)。如果,和以為公共值集,以島為公共值集,并且,則,三,”;或者,.三,“關鍵詞亞純函數(shù)整函數(shù) 公共值公共值集 唯一性關于亞純函數(shù)唯一性理

7、論中的幾個問題 ?. ? . ,?,., ?, ,.?, . 】【】【】【】【】?.【, , ?,.: ,?一蛐籌幽, ,/。 ,一乇一三?,%, ,刖 , 塑一。:。?. /一:一:, , .?？凇耙?沁酶.。 ,四女 一萬孔 半, , ?關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題 ., .,. 丘, 扎拈, .,?,“,三. ,?,。.,”口,。口,三。,。 /, , ,.?口. 四一,”,?！?一“,一“一,。,. “,/一。./一。一,。 ,: ,島島與 , , .、旦坫扣, ,盯“十。 “十&,“蘭“,”“三。,。,。,“ ,.】 “,島”, 三:,.,“,。,/,、, 三 “:,“

8、,一三,. , ,.:.關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題序 言數(shù),并建立了兩個基本定理,被稱為理論值分布論;他所創(chuàng)建的這一理論也是二十世紀最重大的數(shù)學成就之一。半個多世紀以來, 理論研究在不斷發(fā)展,而且在復微分方程振蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論研究等方面有著廣泛的應用。亞純函數(shù)的唯一性理論,是近幾十年國際上較為活躍的研究課題,有著極為豐富的研究內(nèi)容。涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性問題理論研究起源于的一些研究工作,他不僅為唯一性蚓題研究奠定了理論基礎,并為亞純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入新的活力。他所建立的公共值定理、公共值定理等都是這一研究領域的經(jīng)典結(jié)果。后來我國著名數(shù)學家熊慶來【?、楊樂

9、陽:等都得到了內(nèi)容深刻的結(jié)果。隨著亞純函數(shù)唯一性理論的不斷發(fā)展與完善,一些問題得到了解決,新的研究問題又不斷出現(xiàn),如本文提到的問題,猜想,?問題及.問題,都是許多數(shù)學家所關注的研究對象。.,., , 等數(shù)學家都獲得不少研究成果。近二十年來,儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一性理論方面作出了重要貢獻,取得了一系列令人注目的結(jié)果。本文主要分紹了作者在儀洪勛教授的精心指導下所完成的一些研究工作見文獻】了】【¨】【】【。關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題第一章理論概要值分布理論的發(fā)展中, 有著巨大的貢獻。年他引進了亞純函數(shù)的特征函數(shù),并且建立了兩個基本定理,被稱為理論。半個多世紀以來,理論不斷發(fā)展與完

10、善,而且在復微分方程振蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論等方面有著廣泛的應用。本章我們將給出基礎理論中的常用記號,并敘述亞純函數(shù)唯一性理論中的一些基本概念、結(jié)果及相關問題見文獻【¨【等。理論簡介§.在本文中,如無特別聲明,我們所提及的亞純函數(shù)均是指開平面 。中的亞純函數(shù),用。表示擴充復平面。正對予 定義 的 對數(shù)一礦泉定義.設為亞純函數(shù).對。.規(guī)定,;”。,徊目,二掣。,【。, ,”型學,其中,表示在?上的極點之個數(shù),且重級極點按重數(shù)計算;,表示在川上的不同極點之個數(shù);,表示在原點處極點的童數(shù)當/。時,.,;當。時,瓦,理論概要,和一,分別稱為的極點的計數(shù)函數(shù)與精簡計數(shù)函數(shù);丁,

11、稱為,的特征函數(shù),簡稱的特征函教定理.第一基本定理設于內(nèi)亞純?nèi)魹槿我挥懈F復數(shù),而且則對于有.丁,。,。,其中為/一在原點的展開式按井冪排列中第一個非零系數(shù),而且有., 通常我們將 簡寫為丁一擊丁,定義.設,為亞純函數(shù),則忙,翌掣警唑警?。兒曠?。型籌叢稱為,的超級。為 上連續(xù)、非減函數(shù)定理.引理設.則至多除去的一個集合后恒有赤,且的線性測度不超過.關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題定理.對數(shù)導數(shù)引理設為非常數(shù)亞純函數(shù),且及。則對于有, ,了。礦,。擊。,廁注:當或時,適當變更一下 .右端的最后兩個常數(shù)項及其余各項系數(shù)后結(jié)論仍成立.定理.第二基本定理設,。為非常數(shù)亞純函數(shù),? ,為口芝個己中的判

12、別元素,則沁弦,善去卜十酬門,由.,一,擊,手萋,南。和定理. ,關于第二基本定理中的余項,根據(jù)定理我們有如下估計。確定理.設為非常數(shù)亞純函數(shù),有定理.中的.定,則當為有窮級時有,當?shù)募墳闊o窮時有,÷,掣其中是一線性測度為有窮的集合“,理論概要確定中的推論.設為非常數(shù)亞純函數(shù),有定理則當為有窮級時有,當?shù)募墳闊o窮時有,÷,仁, .其中是一線性測度為有窮的集合.對于非常數(shù)亞純函數(shù),一般我們用,表示滿足,丁,÷,彰的量,是一線性測度為有窮的集合,但每一次出現(xiàn)不一定完全相同。通過對定理中項估計,我們有第二基本定理如下常用形式。定理.設,為非常數(shù)亞純函數(shù),?一,為個中的判

13、別元素,則, ,四丁,喜礬,擊一,“其中,/表示對應,的零點但不是,一嗎, ,的零點的計數(shù)函數(shù)。定義.設為非常數(shù)亞純函數(shù),為亞純函數(shù)當。時.在該定義中約定,若,。,則稱。為,的小函數(shù)或慢增長函數(shù).四曾提出能否將第二基本定理定理.中的常數(shù)。 .,。,換為的小函數(shù),?一,的問題對于這一問題在僅考慮三個小函數(shù)的情況下,證明了如下定理。定理.三密度不等式設為非常數(shù)亞純函數(shù),關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題其中有一個可恒等于為的三個判別小函數(shù),則¨,丁小善磯,麗與,對于上述提出的一般問題,圻泰教授曾進行了研究,并在整函數(shù)的情況下給出了涉及小函數(shù)的第二基本定理,問題已獲解決。直到年,對亞純函數(shù)

14、的研究才有本質(zhì)進展,與,及等人都發(fā)表了相關的研究論文,其中的結(jié)果是二十世紀年最重大的成果之一,他證明了如下結(jié)果。定理.【】定理設,為非常數(shù)亞純函數(shù),嗎,一,為,的叮個判別的小函數(shù),為任意給定的正數(shù),則丁,、擊,丁,宴呻、擊?小,其中曼,。十。.,與及,有關且,李玉華【】去掉了定理,中的,從而涉及帶非精簡密指量的問題己完全解決了,對于帶精簡密指量的第二基本定理能否推廣到小函數(shù)情形仍是尚未解決的問題。定義.設,。為非常數(shù)亞純函數(shù),定義,粵翼黼,七肛粵磐鬻顯然我們有,.如果,我們稱。為,的虧值,而,稱為。關于,的虧量。定理.虧量關系設,為非常數(shù)亞純函數(shù),則,的虧值至多有可理論概要數(shù)個,且相應這些虧值

15、的虧量總和滿足 ,。,§.亞純函數(shù)唯一性理論中的基本概念和定理理論在亞純函數(shù)的唯一性理論方面有著廣泛的應用。本節(jié)我們將給出亞純函數(shù)唯一性理論中的常用記號,并敘述一些基本概念、結(jié)果及相關問題。定義.設與均為非常數(shù)亞純,可等于為任意復數(shù),如果一與一有相同的零點不計重數(shù),則稱與。以為公共值;如果,與。的零點相同,且零點的重數(shù)亦相同,則稱,。與以為公共值當時,一與一的零點理解為,與的極點。定義.設與為非常數(shù)亞純函數(shù),為四個有窮復數(shù)若,竺型。一,。一。?”?！?則稱是的分式線性變換亦稱變換應用他所建立的兩個基本定理,得到了涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性方面的如下四個著名定理:定理.公共值定理設與為

16、非常數(shù)亞純函數(shù),為五個判別的復數(shù)其中之一可為無窮大。如果,與以,為公共值,則 。定理.公共值定理如果兩個非常數(shù)亞純函數(shù)與以四個判別的復數(shù),為公共值,則,是的分式線性變換。關于¨一純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題定理.?公共值定理 設與為非常數(shù)亞純函數(shù),為四個判別的復數(shù)其中之一可為無窮大。如,與以,.,為公共值,則有如下結(jié)論成立:,一,/一,十,對任意復數(shù)%,/?丁,定理.不存在個判別的非常數(shù)亞純函數(shù)具有個公共值§.關于亞純函數(shù)的幾個唯一性問題一性的幾個經(jīng)典結(jié)果,這些理論結(jié)果標志著涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性理論研究的開始,但在隨后二十多年里,這方面的研究處于相對停滯狀態(tài),直到二十

17、世紀五十年代末才有一些研究結(jié)果出現(xiàn),中國著名數(shù)學家熊慶來“、楊樂口都得到了內(nèi)容深刻的結(jié)果。后來,又引進了函數(shù)公共值集的概念,為亞純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入了新的活力。從此以后,涉及函數(shù)公共值與公共值集的亞純函數(shù)唯一性理的研究日趨活躍,并提出了許多研究問題。本節(jié)主要介紹幾個與本文研究有關的幾個問題。定義.設為非常數(shù)亞純函數(shù),為一中的一非空子集。定義,重級零點按重數(shù)計算,重級零點僅計一次西定義.設與為非常數(shù)亞純函數(shù),為中的一非空子集。如果,島,則稱與以為公共值集;如果百,:,則稱與以為公共值集。理論概要公共值;如果雷,一,則,與必以為公共值。問題一問題是否存在兩個非空集合,和,使得對任何

18、兩個整函數(shù),和,使得如果巧馬島馬,必有,三。,.嚀題二問題“剛設,為非常數(shù)亞純函數(shù),和幾為兩不同時為奇數(shù)或偶數(shù)的正整數(shù),如果,和,以】為叁共值。囊否必硐,三,。, ,問,三猜想吲設.廠為非常數(shù)整函數(shù),其超級為有限且不為正整數(shù),如果,與,以為公共值,則必有,?了其中為非零常數(shù)。問題四問題【是否存在一個正整教啊使得對任何兩個亞純與,?,見以和為公共值,則,和,為常數(shù)、,“”,?！?。,口為常數(shù).,。一。,為常數(shù),”,。/?。,/一。一,為常數(shù),是非常數(shù)整函數(shù)。關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題本章我們將研究函數(shù)與其導函數(shù),五具有一個非零公共值時的唯一性問題,給出了一類線性微分方程解的增長性質(zhì),對有限

19、級整函數(shù)證明了.】猜想及其推廣形式。§.線性微分方程解的增長性質(zhì)設,是非常數(shù)整函數(shù),%是正整數(shù),為非零常數(shù)如果與,以為公共值,則有因子分解定理可知掣型;。咐?其中是整函數(shù)記/一,則滿足下列線性微分方程:一口:上述論證說明,研究函數(shù),與其導函數(shù),%具有一個有窮非零公共值時的唯一性問題與研究一類線性微分方程的解有著密切關系。關于復微分方程振蕩理論及解的增長性質(zhì),是國際上較為活躍的研究課題,國內(nèi)外有許多數(shù)學家如何育贊【】,高仕安,.,. 等都曾從事該理論的作,其結(jié)果本身也有一定意義。引理.【“】設是非常數(shù)亞純函數(shù),其級為有窮,再設是一給定正,使得如果譏【,一,則存在一常數(shù)妒,對所有滿足?島

20、的。,有梨外“?:西上無界。理.【設是非常數(shù)整函數(shù),并且在射線則存在一無窮點列。÷。,使得當如÷。時,。且最近,我們改進了上述引理. ,證明了引理.設是非常數(shù)整函數(shù),并且在射線 咖上無界。則存在一無窮點列。÷。,使得當?。時。?且端協(xié)。證明:設,¨,西: , 曲,由于。在射線妒上無界。則存在一無窮點列。÷。,使得當。÷時,÷且。,刖,咖,磊由?。:一十/“,可得/%/.再由¨:。”協(xié)吣, 皿曲,上,厶,如關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題通過次上面的方法,我們不難推得。 。 。“從而當:。時黼七?結(jié)論得證。年,我們

21、利用引理 和引理 證明了如下定理。則微分方程定理.七設是非常數(shù)多項武的任何解必為整函數(shù),其級為無窮。年,我們又進一步證明了定理.【設是非常數(shù)多項武為正整數(shù)則微分方程一。的任何解必為無窮級整函數(shù)。證明:不難看出,方程的任何解均為整函數(shù),我們用反證法給出定理的證明。假設定理.不成立,并設是方程.整函數(shù)的解,其級為有窮。由方程 .可得譬五:曇設為一給定正數(shù),則由引理,則存在一線性測度為零的數(shù)集,使得如果】,一,則存在一常數(shù)風妒,對所有滿足。妒的,有¨刪.眨¨,錯關于 猜想的研究現(xiàn)在我們假設【,一是任何滿足對任意有、. 生竺箬÷。,。一的實數(shù)。則由 .,. 和 .,當&#

22、247;.坩÷再設咖,是任何滿足對任意盧有口。”,÷。. 的實數(shù)。我們證明。在射線上是有界的。假若不然,即。在射線西上是無界的,則有理,存在一無窮點列÷,使得當時,。÷且¨黠協(xié)由于怕。:。,從.和. 可得。÷于是從 ., 以及不難推出:,。÷,此與÷。相矛盾此矛盾說髓,必在射線?？嫌薪?利用積分恒等式怕一/。叫訓,容易得到?。拈一對所有滿足:西的。成立,其中擊是某一常數(shù)。采用類似的方法,由 .并多次利用積分公式%,。一一。,便推得當 時。.關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題對所有滿足 咖的:成立.其中是一%次多項

23、式。我已經(jīng)證明:式對任何具有性質(zhì) 的,成立,.武對任何具有性質(zhì).的,一成立。由于是一非常數(shù)多項式,從而.中使】武或 武不成立的實數(shù)至多僅有有限多個;再注意到是一線性測度為零的集合,于是除去和【,中某一零測度集合外, 中之一成立。因為為有窮級整函數(shù),根據(jù)?定理, .及定理,必為一次數(shù)不超過的多項武此與式中。是一;常數(shù)多項式矛盾。定理】得證。§關于亞純函數(shù)與其導函數(shù),具有或公共值時的唯一性問題,國際上已有很多研究工怍,但其結(jié)果幾乎全是在兩個或兩個以上公共值的條件下獲得的。至于函數(shù)與其導函數(shù)分擔一個公共值的情況,年提出了如下猜想。猜想吲設是非常數(shù)整函數(shù),其超級爐?.塑籌她為有窮且不為正整數(shù)

24、。如果與以有窮復數(shù)為公共值,則,瓠,其中為非零常教。用另法證明。從微分方程等”及等叫:關于 猜想的研究的解我們看出、當,的超級為正整數(shù)或無窮時,猜想不再成立。設式并不。/。,則與,以為公共值,但成立。此例表明猜想對亞純函數(shù)亦不成立。年,對函數(shù)導數(shù)的零點較少的整函數(shù)證實其猜想,獲得了如下定理。定理.設,是非常數(shù)整函數(shù)。如果,與,以為公共值,且滿足 ,則?巴了二其中為非零常數(shù)。年,張慶彩改進了定理 ,證明了如下定理。定理.四設,是非常亞純函數(shù)。如果,與,以為/如果對某一實數(shù)./.有.,。,則了一其中為非零常數(shù)。年,作者對有窮級整函數(shù)證明了猜想,獲得了如下定理。定理.【”設,是非常數(shù)整函數(shù)其級為有窮

25、。如果,與,以有窮復數(shù)。為公共值,則?:.一其中為非零常數(shù)。證明:我們僅證明的情況,當?shù)那闆r包含在下面定理.的證明中。由于,與,以為公共值,于是,和,均是無零點的整函關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題數(shù),且其級為有窮。從而,其中是非常數(shù)多項武再由無零點得證。可知,;常數(shù),于是三定理最近,作者推廣了定理. ,證明了如下定理。定理.【設,是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮。如果與,以有窮復數(shù)為公共值,則,一百刮其中為非零常數(shù),%是正整數(shù)。證明:因為是有窮級整函數(shù),如果,與,以。為公共值,則由因子分解定理可得。、??；浾梦??其中是多項式。記,/一,則滿足下列線性微分方程:一。.可知是無窮級整函數(shù),此與如果

26、。不為常數(shù),則從. 式及定理.成立。定理是有窮級整函數(shù)矛盾。于是必為常數(shù)。由. 武知定理得證。對有窮級整函數(shù)的情況,利用定理可以改進先前的有關函數(shù)唯一性許多研究工作。以下定理是定理的推論.定理.設,是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是正整數(shù)。如果與,%以有窮復數(shù)為公共值,且存在一點如使得/,詢.則三,¨定理.設,是非常數(shù)有窮級整函數(shù),%是正整數(shù),和是兩個判別的有窮復數(shù)。如果,與,以。為公共值,以為公共值,則關于 猜想的研究三,定理.設,是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是正整數(shù)。如果,與以有窮復數(shù)為公共值,且存在一點韌使得,如,十翔則,三.定理.設,是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是正整數(shù)。如果與,

27、以有窮復數(shù)為公共值,且存在一點使得,恤動,則,三,?。關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題第三章關于?問題及其相關研究理以來,已有很多有關具有公共值的亞純函數(shù)唯一性的研究成果;特別在近三十年來,該課題的研究一直是許多科學家感興趣的研究對象,其中關于亞純函數(shù)與其導函數(shù)具有公共值時的唯一性問題研究也越來越多。年,證明了如果整函數(shù)與其導數(shù), 分擔兩個判別的有窮非零復數(shù),則/三,.年,和】推廣了?的工作到,與其導數(shù),分擔兩個判別的有窮非零復數(shù)。年,和考慮了亞純函數(shù)的情況并證明了如果,與其%階導數(shù),怕分擔三個判別的復數(shù),則,三,.以上結(jié)果是在函數(shù)與其導數(shù)具有多個公共值的條件下獲得的。本章主要在函數(shù)與其導數(shù)

28、僅有一個公共值的條件下研究唯一性問題,回答了提出的問題。§.關于?問題年,和研究了函數(shù)與其兩個導數(shù)具有一個公共值時的唯一性問題,證明了如下定理。定理.】設,是非常數(shù)整函數(shù) 是有窮復數(shù)。如果,和,以為公共值,并且當時,” ,則三和,“定理.”設,是非常數(shù)亞純函數(shù),是有窮復數(shù)。如果,以為公共值,則,三.年,鐘華梁推廣了定理 .證明了如下結(jié)果當時即為定理的結(jié)果。定理.【設,是非常數(shù)整函數(shù),是有窮復數(shù),是正整數(shù)。如果,和,以為公共值,并且當時,“,“則三,?.年,儀洪勛和楊重駿教授提出了如下問題“設,是非常數(shù)亞純函數(shù),是有窮復數(shù),與?問題【是兩個不同時為奇數(shù)或偶數(shù)的正整數(shù)。如果,和,以為公共

29、值。是否必有三,“年,作者在文獻中回答了?問題。設和是滿足的正整數(shù),又設是滿足?的常數(shù)。置扎, ,一則,?,及,“以為公共值,但是,?.此例說明對?問題的回答一般是否定的。如果我們要得到?問題的肯定回答,我們必須對函數(shù),或者對正整數(shù)札和附加適當?shù)臈l件。注意到上述例子中的函數(shù),一?具有性質(zhì),我們獲得了如下定理。定理.設,是非常數(shù)整函數(shù),是有窮復數(shù),扎和是正整數(shù)。如果,?,和,”以為公共值,并且,則三,?.證明:假設,“,?.記北,等掣則由條件可知西是整函數(shù),并且滿足,咖,.由于一,一一,一,此 一。條與 陣叭廠,從而,/, 相矛盾。于是必有,“三,通過積分我們可求得其中尸。是多項式。如果。,則?

30、三:三】、關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題,我們有于是,/,此又與條件,矛盾。因此三,”?很顯然,和,“以為公共值,利用和上面完全相同的方法得證。我們可以得到,?.定理.年,我們對有窮級整函數(shù)推廣了定理 .同時在的條件下,肯定回答了儀洪勛和楊重駿教授提出的問題。證明了如下結(jié)果。定理.【】設,是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是有窮復數(shù),是正整數(shù)。如果,、,“以為公共值,“和,以為公共值,則,三,.推論.設,是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是有窮復數(shù),是正整數(shù)。如果,“以及,凡以為公共值,則,蘭證明: 我們僅給出定理的證明,推論的證明是明顯的。由于,是有窮級整函數(shù),且 “和“以為公共值,利用已證明的猜想

31、定理.,我們有,“一,?一,其中為非零常數(shù)。根據(jù)定理的條件我們知道不可能是多項武。記蘭,?,則的解,從而我們可求得.。蘭,“,其中和為常數(shù)。對. 式求積分,我們又得七,這里是一次數(shù)不超過的多項式。于是從 .式一,“一“一.關于?問題及其相關研究注意到。,知道一。必有無窮多個零點。利用,?,以及,以為公共值,容易看出函數(shù) 一,一亦必有無窮多個零點。但從和 ,我們有一一,一“?這意味著“?三,從而必為一常數(shù)。記,則從式,。晏擴,從而和,“?！?,”。 .由于,?,以及,”以。為公共值,從 .和.式我們可推得.得證。及因此從便得,于是,定理注: 對有窮級整函數(shù)、定理.推廣了?的定理。如果把定理中的“

32、”換為“”,則容易推出,三,其中為常數(shù)。條件。為了定理證明的需要,我們首先給出幾個引理。引理.設,是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復數(shù),凡為正整數(shù)。如果,”以及,“ 以為公共值,且下列條件之一成立:,“一“一?,”一,一,?,則,三,證明:有條件可知,必滿足下列線性微分方程,”。關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題的及引理其中,和是常數(shù)。從而,必為有窮級整函數(shù)、根據(jù)推論得證。條件便得,引理引理.設是非常數(shù)整函數(shù)為正整數(shù)。如果,”,?,且,“一,一,產(chǎn)“,一,這里。和口是非常數(shù)整函數(shù)則丁,。丁.盧,證明從引理的條件可知,“及,“以為公共值。記,一,?一,?,”一,?一,則和是整函數(shù)且丁,根據(jù).第二基本定

33、理,我們有日 卜 日十盯 吣/一擊印一司三鼽汪意到。/一及“,我化得到和,。, .,引理 .得證。引理.設和盧。是非常數(shù)整函數(shù),是正整數(shù)。如果是整函數(shù)并且滿足?:“¨一一:.關于、問題及其相關研究則一 十一.一日其中?！币?amp;,是的次微分多項式。證明:由于“一:和”¨一盧對第一個方程求導并結(jié)合第二個方程,我們有:擴記“.口一“一血則且“七、一這說護:理 對知成立。在我:;理結(jié)二寸成立,即下式成立,“,”十。一日一一?.”一十則求導礙“】“。一“一。一?！倍胧啡?。一舊。一?由于的,次微分多項式易 的導數(shù)仍然是的,芝次微分多項式這里我們用巧表示的次微分多項式但每次出現(xiàn)未

34、必完全相同,我們有:“。”一。一一”日一?日“風風一上?“一日?關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題根據(jù)數(shù)學歸納法原理,引理 得證。引理.【】設:是非常數(shù)亞純函數(shù),是正整數(shù)。記?！耙?,其中和,一,是滿足,?,的亞純函數(shù)。則,.利用上述引理,我們可以證明如下定理。定理.腳設,是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復數(shù),為正整數(shù)。如果,/十以及,“以。為公共值,則/證明:不失一般性,我們假設以為公。.等卅和州,一坐,其中和口是整函數(shù)。如果,盧和盧中之一為常數(shù),則有引理.可推出三,此時定理成立?，F(xiàn)假設&.和一盧均不為常數(shù)。由 及引理. 可知,。丁,.,.我們有置一則從:.“一.關于問題及其相關研究根據(jù)引理 ,我們得到“”%一鞏十鞏.一】“其中。,一。一及塢是的次微分多項武。從及上述方程可得拈“些塑墜生字竺螋.如果。一。一“一日“一則從和 ,我們有丁,冬丁,十丁,丁,這是不可能的。如果。一一一蘭則從及馬和的定義可知三“?,。口一?！笆谝?。“一口?！耙??, 其中., ?,是盧,。,及導數(shù)的多項式。如果存在,。中一測度為無窮的值集,.使得丁,。,。,則從 ,我們有,。,.了,“,關于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個問題這是不可