因式分解教學(xué)設(shè)計(jì)

1、專題五 拓展閱讀9、因式分解教學(xué)設(shè)計(jì) 初中數(shù)學(xué)課程團(tuán)隊(duì)(z0503) 發(fā)表于 2007-11-07 18:03:10 地址： 因式分解教學(xué)設(shè)計(jì) 北大附中  鮑敬宜                                   

2、0;  一.  背景介紹 因式分解，這是初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的經(jīng)典，因式分解是代數(shù)式中的重要內(nèi)容，它與前一章整式和后一章分式聯(lián)系極為密切。因式分解的教學(xué)是在整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因式分解方法的理論依據(jù)就是多項(xiàng)式乘法的逆變形。它不僅在多項(xiàng)式的除法、簡(jiǎn)便運(yùn)算中有直接的應(yīng)用，也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、解方程（組）及三角函數(shù)式的恒等變形提供了必要的基礎(chǔ)。因此，學(xué)好因式分解對(duì)于代數(shù)知識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義。在新課標(biāo)的理念下，必須要重新理解它深刻的內(nèi)涵，重新審視因式分解的教育價(jià)值。傳統(tǒng)的因式分解，是數(shù)學(xué)的工具，使學(xué)生熟練掌握一些因式分解技能技巧，本來(lái)十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題

3、演繹得十分復(fù)雜（如分組法，拆項(xiàng)法，十字相乘法,待定系數(shù)法）,新課程把因式分解作為培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，全面思考，靈活解決問(wèn)題的載體。主要解決三個(gè)方面的問(wèn)題，一是了解因式分解的必要性,深刻理解因式分解的概念，二是與整式乘法的相互關(guān)系。通過(guò)探究與整式乘法的關(guān)系，來(lái)尋求因式分解的原理. 掌握從整式乘法得出因式分解的方法.三是因式分解的方法。為此，就要淡化理論,簡(jiǎn)化難題, 掌握最基本的教學(xué)方法（提取公因式法和公式法即可）.這是新課程體現(xiàn)教育價(jià)值最明顯的變化。通過(guò)整式乘法與因式分解互為逆向變換，使學(xué)生澄清這種逆是反過(guò)來(lái)的變換，不是逆運(yùn)算-是教學(xué)的難點(diǎn)（逆運(yùn)算，是在一個(gè)算式中，以兩種形式不同,實(shí)質(zhì)不變的兩種運(yùn)

4、算，而因式分解是一種恒等變換的兩種說(shuō)法）、二、教學(xué)設(shè)計(jì)(一)【教學(xué)目標(biāo)】1、認(rèn)知目標(biāo)：（1）理解因式分解的意義和概念             （2）認(rèn)識(shí)因式分解與整式乘法的相互關(guān)系?相反變形，并會(huì)運(yùn)用它們之間的      相互關(guān)系尋求因式分解的方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)編因式分解題目的能力            

5、60;   (3) 掌握因式分解的基本方法:提公因式法、公式法.明確公式法分解因式是乘法公式的逆用,提高代數(shù)式的恒等變形能力。 2、能力目標(biāo)：在因式分解的教學(xué)中，注意揭示數(shù)學(xué)中的可逆關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及創(chuàng)造性思維能力, 提高學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。  3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，勇于探索的精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生滿腔熱忱，科學(xué)積極地投入到這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅.(二)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：熟練運(yùn)用提取公因式和公式法這兩種方法解題以及靈活掌握因式分解的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：1.正確尋找公因式2. 靈活

6、運(yùn)用公式法分解因式，正確理解公式中a、b    公式中a、b是變量，可以表示數(shù)也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式（三）教學(xué)過(guò)程一：因式分解的的概念練習(xí)、比一比，看誰(shuí)算得快（搶答）：(1) 20072+2007能被2008整除嗎？ (2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。 (3)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值(4) 已知a-b=2，求的值。(5) 綠湖公園有兩塊長(zhǎng)方形的草地，這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分別是13.2m、16.8m,寬都是9.7 m,求這兩塊草地的總面積請(qǐng)每題答得最快的同學(xué)談思路，得出最佳解題方法。 (1) 20072+2007=2007（20

7、07+1）=2007(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(3)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；(4) =ab(a-b)=7(5) 依題意列式    有簡(jiǎn)便算法嗎?如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分別是a、b,寬都是 m, 則這兩塊草地的總面積為：mamb =m(ab)觀察上面這五道題的做法，你有什么發(fā)現(xiàn)？這幾個(gè)等式的左邊都是整式的和，右邊都是整式乘積的形式.將上面的恒等式從右向左看就是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的整式乘法公式。   我們把上面這種從左式到右式的恒等變形叫做多項(xiàng)式的因式分解.

8、60;  多項(xiàng)式的因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.  多項(xiàng)式的因式分解與整式乘法是方向相反的恒等變形.復(fù)習(xí)我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)整式乘法及乘法公式：如單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，得      ()；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘  ()()2+(n)n.平方差公式：                ()()22.完全平方公式  

9、0;             ()2222，()2222.如果我們把上面的乘法運(yùn)算及乘法公式中的等號(hào)左邊的式子與等號(hào)右邊的式子互換，就得到下列各式()，2()()()，2-2()(-)，222()2，222()2，這些式子中，從等式左邊到等式右邊的變形就是多項(xiàng)式的因式分解.例1請(qǐng)你利用整式乘法與因式分解之間的這種關(guān)系編出一道因式分解的題目(如：由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1)     由(x+2)(x-1

10、)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等等)例2  根據(jù)因式分解的概念，判斷下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？    (1) a(2)2a-a(2) 922-1(3)(3)-1；(3)26(2)(3)；(4)()()；(5) 32()-6332(a)=-3ba2.    (6)(7)  x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；在學(xué)生的實(shí)踐過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到多項(xiàng)式的因式分解是有條件限制的，不是所有的多項(xiàng)式都能因式分解。二.提公因式法分解因式  

11、0; 用兩個(gè)的?回顧前面的數(shù)值例題？給字母賦不同的值，可以出不同的題；整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc  逆變形得到因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)說(shuō)明：多項(xiàng)式ma+mb+mc各項(xiàng)都有的公因式m可以提到括號(hào)外面，寫成m（a+b+c）的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。定義：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法。提公因式法分解因式的關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式確定公因式一般可以從以下二個(gè)方面來(lái)考慮： (1) 先提取數(shù)字因數(shù)。若多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，那么公因式的系數(shù)是這些

12、系數(shù)絕對(duì)值的最大公約數(shù)；若有分?jǐn)?shù)因數(shù)，則最好先提取分?jǐn)?shù)因數(shù)，使多項(xiàng)式系數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化(2)  再提取相同的字母。若多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有相同的字母（因式），就應(yīng)把它作為公因式提取，相同字母（因式）的指數(shù)取該字母（因式）在各項(xiàng)中最低的指數(shù)。例1 把下列各式分解因式（如何檢驗(yàn)?zāi)惴纸獾檬欠裾_性呢？）（1）-   （2）4x3y2+14x2y-2xy     （3）-4a3b2+16ab3c-12a2b2c2 （4）2am-1bn-4ambn+1例2 把下列各式分解因式（1）    （2）&#

13、160;   （3）（4）                                 （5）5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2(6) (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)

14、(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.通過(guò)此題的練習(xí)讓學(xué)生歸納出與的關(guān)系：    當(dāng)為偶數(shù)時(shí)=    當(dāng)為奇數(shù)時(shí)=說(shuō)明：當(dāng)多項(xiàng)式的一項(xiàng)是公因式時(shí)，這項(xiàng)應(yīng)看成它與1的積，提公因式后剩下的是1，不能漏掉。公因式不僅可以是單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式，找公因式時(shí)要注意觀察。三運(yùn)用公式法分解因式我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式：         a2-b2=(a+b)(a-b) 兩個(gè)數(shù)的平方差，等于

15、這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積        a2+2ab+b2=(a+b)2       a2-2ab+b2=(a-b)2兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或者差）的平方。 把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。  這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。（這種方法的關(guān)鍵是弄清公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式）（1）利用平方差公式進(jìn)行因式分解：平方差公式的特點(diǎn)左邊：多項(xiàng)式為二項(xiàng)式；兩項(xiàng)的符號(hào)相反；每

16、項(xiàng)都可化為某數(shù)（或某式）的平方形式。即形如（ ）2（ ）2右邊：這兩個(gè)數(shù)（或式）的和與這兩個(gè)數(shù)（或式）的差的積。例1、    把下列各多項(xiàng)式分解因式：1） m? - 16                    2)    4x?  - 9y?3）    4）例2下列多項(xiàng)式能否用平方差公式分解因式？說(shuō)說(shuō)你的理由

17、。1）4x2+y2                     2) 4x2-(-y)2  3) -4x2-y2                    4) -4x2+y2 通過(guò)例題的講解歸納步

18、驟先判斷能否用此公式，并確定、；再套用公式分解；化簡(jiǎn)。例3 把下列多項(xiàng)式分解因式：1） ( x + z )?- ( y + z )?2） 4( a + b)? - 25(a - c)?3） (x + y + z)? - (x ? y ? z )?4)  (4a+5b)2?(2a-b)25）9x2-(x-2y)2=(3x) 2-(x-2y)2=3x+(x-2y)3x-(x-2y)           =(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中還有公因式。 &

19、#160;         =2(2x-y)?2(x+y)=4(2x-y)(x+y) 公式中的a、b可以是單項(xiàng)式(數(shù)字、字母)、還可以是多項(xiàng)式.分解因式最后結(jié)果中如果有同類項(xiàng)，一定要合并同類項(xiàng)。例4 把下列多項(xiàng)式分解因式：1）8a? -2a        2)  -x4 +1       3) 27a3bc-3ab3c綜合運(yùn)用提公因式法和公式法分解多項(xiàng)式（有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題

20、能力）初次讓學(xué)生體會(huì)到因式分解方法的考慮順序是一“提”二“套”。綜合運(yùn)用提公因式，公式法公解因式時(shí)，同學(xué)們千萬(wàn)要注意分解完畢后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢查，看是否分解徹底了。（2）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解：a2+2ab+b2=(a+b)2 工        a2-2ab+b2=(a-b)2 公式特點(diǎn)：（左邊）1、多項(xiàng)式為三項(xiàng)式；2、其中有兩項(xiàng)同號(hào)，且能寫成兩數(shù)（或式）的平方形式；3、另一項(xiàng)是這兩數(shù)（或式）的積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)。（右邊）這兩數(shù)（或式）的和或差的平方形式。即：（ ）2±2（ ）（ ）+（ ）2例1下列各式是否

21、為完全平方式：                                        16a2+1.          &

22、#160;             4x2-6xy+9y2 例2 填空：  （  ）2+12m+4=（        ）2    若9x2+kxy+36y2是完全平方式，則k=       . 9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，±kxy=2?3x?6y=36xy.k=±36.

23、例3把下列多項(xiàng)式分解因式1）  (x+y)2-6(x+y)+9          2)                3)            4)       

24、60;          例4把下列多項(xiàng)式分解因式1)  x3-4x2+4x   2)  3) 4) 四 因式分解方的應(yīng)用選講1計(jì)算（1）（2）9.982-4×4.492（3）7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；（4）(分析) 本題旨在考查因式分解的靈活運(yùn)用,即=a-b(a+b0).解:原式=+           =(1-2)+(3-4)+(5-6)+(2003-2004)           =(-1)×(2004÷2)       &