概率論與數(shù)理統(tǒng)計 獨立事件

1、西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計一、事件的相互獨立性一、事件的相互獨立性二、幾個重要定理二、幾個重要定理三、例題講解三、例題講解第第5 5節(jié)節(jié) 事件的獨立性事件的獨立性四、小結(jié)四、小結(jié)西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(一一) 兩個事件的獨立性兩個事件的獨立性由條件概率，知由條件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 這意味著：事件這意味著：事件B的發(fā)生對事件的發(fā)生對事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率有影響率有影響.然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：)()(APBAP 一、事件的相互獨立性一、事件的相互獨立性西安電子科技大學計算機

2、學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計,.,),23(5取取到到綠綠球球第第二二次次抽抽取取取取到到綠綠球球第第一一次次抽抽取取記記有有放放回回地地取取兩兩次次每每次次取取出出一一個個紅紅綠綠個個球球盒盒中中有有 BA則有則有 )(ABP.發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小的的發(fā)發(fā)生生并并不不影影響響它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 53)(BP ，則則若若0)( AP1.引例西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計.,)()()(,獨獨立立簡簡稱稱相相互互獨獨立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 注注. 1則則若若, 0)(

3、AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 說明說明 事件事件 A 與與 B 相互獨立相互獨立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān).2. 定義西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計2 獨立與互斥的關(guān)系獨立與互斥的關(guān)系這是兩個不同的概念這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 則則例如例如二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系獨立是事獨立是事件間的概件間的概率屬性率屬性互斥是事互斥是事件間本身件間本身的關(guān)系的關(guān)系1

4、1ABAB由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨立相互獨立但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件兩事件相互獨立相互獨立兩事件兩事件互斥互斥.西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計AB)(21)(,21)(如圖如圖若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件兩事件互斥互斥但但不獨立不獨立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP又如：又如：兩事件兩事件相互獨立相互獨立.兩事件兩事件互斥互斥西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計可以證明：可以證明： 特殊地，特殊地，時時，有有當當0)(, 0)( BPAPA與與B 獨立獨立 A與與B 相容相容( 不互斥不互斥) 或或

5、 A與與B 互斥互斥 A與與B 不獨立不獨立證證若若A與與B 獨立獨立, 則則 )()()(BPAPABP 0)(, 0)( BPAP0)()()( BPAPABP AB故故即即 A與與B 不互斥不互斥(相容相容).西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計若若A與與B互斥，則互斥，則 AB = B發(fā)生時，發(fā)生時，A一定不發(fā)生一定不發(fā)生.0)( BAP這表明這表明: B的發(fā)生會影響的發(fā)生會影響 A發(fā)生的可能性發(fā)生的可能性(造成造成A不發(fā)生不發(fā)生), 即即B的發(fā)生造成的發(fā)生造成 A發(fā)生的概率為零發(fā)生的概率為零. 所以所以A與與B不獨立不獨立.理解理解: BA西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理

6、統(tǒng)計(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨立相互獨立.證證 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A)= P( ) P(A)即即 與與A獨立獨立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 與與A獨立獨立.3.性質(zhì)西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2) 若事件若事件A與與B相互獨立相互獨立, 則以下三對事件則以下三對事件也相互獨立也相互獨立.；與與 BA；與與 BA.BA 與與證證 BAABBBAAA )()()()(BAPABPAP )()()(ABPAPBAP 注注 稱此為二事件的獨立性稱此為

7、二事件的獨立性 關(guān)于逆運算封閉關(guān)于逆運算封閉.西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計又又 A與與B相互獨立相互獨立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(對偶律對偶律BABA )()(BAPBAP )(1BAP 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計)(1BAP )()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計甲甲, 乙兩人乙兩人同時同時向敵人炮擊向敵人炮擊,已知甲擊中已知甲擊中敵機的概率為敵

8、機的概率為0.6, 乙擊中敵機的概率為乙擊中敵機的概率為0.5, 求敵機被擊中的概率求敵機被擊中的概率.解解設(shè)設(shè) A= 甲擊中敵機甲擊中敵機 B= 乙擊中敵機乙擊中敵機 C=敵機被擊中敵機被擊中 .BAC 則則依題設(shè)依題設(shè),5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP A與與B不互斥不互斥 ( P(A)+P(B)=1.11P(A+B) )例1西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計由于由于 甲，乙甲，乙同時同時射擊，甲擊中敵機并不影射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以響乙擊中敵機的可能性，所以 A與與B獨立獨立,進而進而.獨獨立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(

9、1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.8西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計1. 三事件三事件兩兩兩兩相互獨立的概念相互獨立的概念定義定義.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨立兩兩相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA (二) 多個事件的獨立性西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計2. 三事件相互獨立的概念三事件相互獨立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相相互互獨獨立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿

10、足足等等式式是是三三個個事事件件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 定義1.10西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計 設(shè)設(shè) A1，A2 ， ，An為為n 個事件個事件，若對于任意若對于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 定義定義 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件中任意兩個事件相互獨立，即對于一切相互獨立，即對于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21兩兩兩兩相相互互獨獨立立，則則稱稱nAAA定義定義)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互

11、獨獨立立，則則稱稱nAAA3. n 個事件的獨立性西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計注注. 相互獨立相互獨立nAAA,21兩兩相互獨立兩兩相互獨立nAAA,21設(shè)一個口袋里裝有四張形狀相同的卡設(shè)一個口袋里裝有四張形狀相同的卡片片.在這四張卡片上依次標有下列各組在這四張卡片上依次標有下列各組數(shù)字：數(shù)字：110，101，011，000 從袋中任取一張卡片，記從袋中任取一張卡片，記1位位上上的的數(shù)數(shù)字字為為取取到到的的卡卡片片第第 iAi 證明：證明：;,)1(321兩兩相互獨立兩兩相互獨立AAA.,)2(321不相互獨立不相互獨立AAA(i = 1,2,3)例2西安電子科技大學計算機學院概

12、率論與數(shù)理統(tǒng)計證證 (1)()(2142)(321APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321兩兩相互獨立兩兩相互獨立AAA )()2(321AAAP040 81)()()(321 APAPAP.,321不相互獨立不相互獨立AAA110，101， 011，000西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計.)2(,)2(,. 121個個事事件件也也是是相相互互獨獨立立其其中中任任意意則則相相互互獨獨立立若若事事件件nkknAAAn )( . ,)(,.運運算算封封閉閉獨獨立立性性關(guān)關(guān)于于個個

13、事事件件仍仍相相互互獨獨立立所所得得的的立立事事件件們們的的對對中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨獨立立個個事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 兩個結(jié)論西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計n 個獨立事件和的概率公式個獨立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)設(shè)事件事件 相互獨立相互獨立, ,則則）nAAAP211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互獨立也相互獨立nAAA,21即即 n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積減去各自對立事件概率的乘積.)(nAAAP21結(jié)論的

14、應(yīng)用結(jié)論的應(yīng)用西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計nAAA,21則則“ 至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”的概率為的概率為 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若設(shè)若設(shè)n個獨立事件個獨立事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率分別為分別為類似可以得出：類似可以得出：nAAA,21至少有一個不發(fā)生至少有一個不發(fā)生”的概率為的概率為“)(nAAAP21=1- - p1 pn 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%, 假設(shè)每個人血清中是否含有肝炎假設(shè)每個人血清

15、中是否含有肝炎病毒相互獨立，混合病毒相互獨立，混合100個人的血清，個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒個人的血清含有肝炎病個人的血清含有肝炎病第第記記iAi 則則004. 0)( iAP10021AAAB 100肝肝炎炎病病毒毒個個人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B(i = 1,2,100)例3西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計依題設(shè)，依題設(shè)，相互獨立相互獨立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004.

16、01(1 100)996. 0(1 33. 0 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計事件的獨立性在事件的獨立性在可靠性理論可靠性理論中的應(yīng)用：中的應(yīng)用：一個元件的可靠性一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率該元件正常工作的概率.一個系統(tǒng)的可靠性一個系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率工作的概率.設(shè)一個系統(tǒng)由設(shè)一個系統(tǒng)由2n 個元件組成，每個元件個元件組成，每個元件的可靠性均為的可靠性均為 r，且各元件能否正常工作，且各元件能否正常工作是相互獨立的是相互獨立的.(1) 求下列兩個系統(tǒng)求下列兩個系統(tǒng)和和的可靠性；的可靠性；(2) 問：哪個系統(tǒng)的可靠性更大？問：哪個

17、系統(tǒng)的可靠性更大？例4西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計系統(tǒng)系統(tǒng).系統(tǒng)系統(tǒng).解解,個元件正常工作個元件正常工作第第設(shè)設(shè)iAi rAPi )(則則設(shè)設(shè) B1= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n), 2 , 1(ni 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B2= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作考察系統(tǒng)考察系統(tǒng)：設(shè)設(shè) C = 通路通路正常工作正常工作 ， D= 通路通路正常工作正常工作 每條通路正常工作每條通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作兩條通路中兩條通路中至少至少有一條正常工作有一條正常工作DCB 1

18、nnnnAAAAAA22121 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計)()(21nAAAPCP )()()(21nAPAPAP nr )()(221nnnAAAPDP )()()(221nnnAPAPAP nr )()(1DCPBP )(1DCP )(1DCP )()(1DPCP 2)1(1nr )2(nnrr 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作的概率：正常工作的概率：西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計考察系統(tǒng)考察系統(tǒng)：系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作通路上的每對并通路上的每對并聯(lián)元件正常工作聯(lián)元件正常工作 B2= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA )(1)(iniiniAA

19、PAAP )(1iniAAP )()(1iniAPAP 2)1(1r )2(rr ), 2, 1(ni 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計)()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP 所以，系統(tǒng)所以，系統(tǒng)正常工作的概率：正常工作的概率：nrr)2( nnrr)2( (2) 問：哪個系統(tǒng)的可靠性更大？問：哪個系統(tǒng)的可靠性更大？nnnnnnrrrrfrrfrfrfxfyxxnnxfnxxf 2)2(, 12)2(1)1()2)2(2)()2()()0(0)1()()2()(2亦即亦即即即是凹的，從而是凹的，從而故曲線故曲線，則，則令令10 rnnrr 2)2()()(12BP

20、BP 即系統(tǒng)即系統(tǒng)的可靠性比系統(tǒng)的可靠性比系統(tǒng)的大的大.西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計二、內(nèi)容小結(jié))()()(,. 1BPAPABPBA 兩兩事事件件獨獨立立 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三三個個事事件件相相互互獨獨立立.,. 2相相互互獨獨立立與與與與與與相相互互獨獨立立重重要要結(jié)結(jié)論論BABABABA西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計則則相相互互獨獨立立設(shè)設(shè)事事件件,nAAA213)(nAAAP21）nAAAP211( )()()(nAPAPAP211西安電子科技大學計

21、算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計備用題伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一個均勻的正四面體一個均勻的正四面體, 其第一面染成紅色其第一面染成紅色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以現(xiàn)以 A , B, C 分別分別記投一次四面體出現(xiàn)紅記投一次四面體出現(xiàn)紅, 白白, 黑顏色朝下的事件黑顏色朝下的事件, 問問 A,B,C是否相互獨立是否相互獨立?解解由于在四面體中紅由于在四面體中紅, 白白, 黑分別出現(xiàn)兩面黑分別出現(xiàn)兩面, 因此因此,21)()()( CPBPAP又由題意知又由題意知例例2-1,41)()()(

22、 ACPBCPABP西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計故有故有因此因此 A、B、C 不相互獨立不相互獨立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP則三事件則三事件 A, B, C 兩兩獨立兩兩獨立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計 設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊問擊落飛機的概率是多少落飛機的概率是多少?射擊問題射擊問題解解,名名射射手手擊擊

23、落落飛飛機機第第為為設(shè)設(shè)事事件件iAi事件事件 B 為為“擊落飛機擊落飛機”, ,1021AAAB 則則.10, 2 , 1 i例1西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機被一人擊中飛機被一人擊中而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概

24、被兩人擊中而被擊落的概率為率為 0.6 , 若三人都擊中飛機必定被擊落若三人都擊中飛機必定被擊落, 求飛機求飛機被擊落的概率被擊落的概率.解解 ,個個人人擊擊中中敵敵機機表表示示有有設(shè)設(shè)iAiA, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中敵機分別表示甲、乙、丙擊中敵機 , ,1CBACBACBAA 由由于于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP則則例2西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0

25、 .36. 0 ,2BCACBACABA 因因為為)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由全概率公式得飛機被擊落的概率為由全概率公式得飛機被擊落的概率為14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計 要驗收一批要驗收一批(100件件)樂器樂器.驗收方案如下驗收方案如下

26、:自自該批樂器中隨機地取該批樂器中隨機地取3件測試件測試(設(shè)設(shè)3件樂器的測試是件樂器的測試是相互獨立的相互獨立的),如果如果3件中至少有一件在測試中被認件中至少有一件在測試中被認為音色不純?yōu)橐羯患?則這批樂器就被拒絕接收則這批樂器就被拒絕接收.設(shè)一件音色設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認為不純的而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認為不純的概率為概率為0.01.如果已知這如果已知這100件樂器中恰有件樂器中恰有4件是音件是音色不純的色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少試問這批樂器被接收的概率是多少?解

27、解 , 3 )3 , 2 , 1 , 0( 件件樂樂器器隨隨機機地地取取出出件件表表示示事事設(shè)設(shè)以以 iHi, 件件音音色色不不純純其其中中恰恰有有i例3西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計.這批樂器被接收這批樂器被接收表示事件表示事件以以A純的樂器純的樂器 , 經(jīng)測試被認為音色純的概率為經(jīng)測試被認為音色純的概率為 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不純的樂器而一件音色不純的樂器,經(jīng)測試被認為音色純的經(jīng)測試被認為音色純的概率為概率為0.05, 并且三件樂器的測試是相互獨立的并且三件樂器的測試是相互獨立的,于是有于是有,)99. 0()(30 HAP,05. 0)99. 0(2

28、 ,)05. 0(99. 02 ,)05. 0(3 ,3210的的一一個個劃劃分分是是 SHHHH)(1HAP)(2HAP)(3HAP西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計,310019624)(2 HP.310034)(3 HP 30( )() ()iiiP AP H P A H故故000055. 08574. 0 .8629. 0 ,3100396)(0 HP而而,310029614)(1 HP西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計經(jīng)計算得經(jīng)計算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道題題的的概概率率問問能能碰碰對對試試于于是是隨隨意意填填寫寫道道題題不不會

29、會做做有有道道題題生生僅僅會會做做今今有有一一考考其其中中一一個個為為正正確確答答案案可可供供選選擇擇的的答答案案個個每每道道選選擇擇題題有有道道選選擇擇題題設(shè)設(shè)某某考考卷卷上上有有 mm則則道道題題這這一一事事實實道道題題中中碰碰對對表表示示設(shè)設(shè),4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmm例4西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計En: 可看成將可看成將 E 重復了重復了n次次, 這是一個這是一個n重重 貝努里試驗貝努里試驗.,21,互互獨獨立立設(shè)設(shè)各各局局勝勝負負相相利利還還是是采采用用五五局局三三勝勝制制有有有有利利采采用用三三局局二二勝勝制制問問對對甲甲而而言言概概率率為為每每局局甲甲勝勝的的乙乙兩兩人人進進行行乒乒乓乓球球比比賽賽甲甲 pp、解解甲甲勝勝設(shè)設(shè) AE ：觀察觀察1局比賽甲是否獲勝局比賽甲是否獲勝設(shè)在設(shè)在n次試驗中，次試驗中，A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn) k 次的概率為：次的概率為：knkknnppCkP )1()(例5西安電子科技大學計算機學院概率論與數(shù)理統(tǒng)