圓的概念 公式及推導(dǎo)(完整版)

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流圓的概念 公式及推導(dǎo)(完整版).精品文檔.圓的定義 幾何說：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。 軌跡說：平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。 集合說：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。圓的相關(guān)量 圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是3.14159265358979323846，通常用表示，計(jì)算中常取3.1416為它的近似值。 圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦

2、。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。 圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。 內(nèi)心和外心：過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。 扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑成為圓錐的母線。圓和圓的相關(guān)量字母表示方法圓 半徑r 弧 直徑d 扇形弧長圓錐母線l 周長C 面積S 圓和其他圖形的位置關(guān)系 圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在O外，POr；P在O上，PO

3、r；P在O內(nèi)，POr。 直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。以直線AB與圓O為例（設(shè)OPAB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與O相離，POr；AB與O相切，POr；AB與O相交，POr。 兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且Rr，圓心距為P：外離PR+r；外切P=R+r；相交R-rPR+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含PR-r。【

4、圓的平面幾何性質(zhì)和定理】有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理 圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。 圓的對稱性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。 有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理 一個(gè)三

5、角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。有關(guān)切線的性質(zhì)和定理 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個(gè)圓的切線。 切線判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。 切線的長定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長相等。有關(guān)圓的計(jì)算公式1.圓的周長C=2r=d 2.圓的面積S=r² 3.扇

6、形弧長l=nr/1804.扇形面積S=nr²/360=rl/2 5.圓錐側(cè)面積S=rl弦切角定義頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另 圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。 如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有PCA=PBC(PCA為弦切角）。 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半. (弦切角就是切線與弦所夾的角） 弦切角定理證明： 證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,連接BA并延長交直線T于點(diǎn)P。 TCB=90-OCB BOC=180-2OCB 此圖證明的是弦切角TCB,BOC=2TCA（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半

7、） BOC=2CAB（圓心角等于圓周角的兩倍） TCA=CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角） 證明已知：AC是O的弦，AB是O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角BAC所夾的弧. 求證：（弦切角定理） 證明：分三種情況： （1）圓心O在BAC的一邊AC上 AC為直徑，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 為半圓, CAB=90=弦CA所對的圓周角 B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)左側(cè)（2）圓心O在BAC的內(nèi)部. 過A作直徑AD交O于D, 若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點(diǎn)E 那么，連接EC、ED、EA 則有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理） （3）圓心O在BAC的外部, 過A作直徑AD交

8、O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 弦切角推論:若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等 舉例: 例1：如圖，在中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點(diǎn)A，CBA=60° , AB=a 求BC長. 解：連結(jié)OA，OB. 在中, C=90 BAC=30° BC=1/2a(中30°角所對邊等于斜邊的一半） 例1：如圖，在中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點(diǎn)A，CBA=60° , AB=a 求BC長. 解：連結(jié)OA，OB. 在中, C=90 BAC=30° BC=1/2a(中30°

9、角所對邊等于斜邊的一半） 例2：如圖，AD是ABC中BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn). 求證：EFBC. 證明：連DF. AD是BAC的平分線BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC 例3：如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O直徑，CDAB于D，MN切O于C， 求證：AC平分MCD，BC平分NCD. 證明：AB是O直徑 ACB=90 CDAB ACD=B， MN切O于C MCA=B， MCA=ACD， 即AC平分MCD， 同理：BC平分NCD.切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓

10、心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。 如圖中，切線長AC=AB。 ABO=ACO=90° BO=CO=半徑 AO=AO公共邊 RtABORtACO（H.L） AB=AC AOB=AOC OAB=OAC 切線長定理推論：圓的外接四邊形的兩組對邊的和相等 切線長的概念 如圖，P是O外一點(diǎn)，PA，PB是O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點(diǎn)P到O的切線長 引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量. 切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角 推廣

11、：連接BC，BCAO相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等） 相交弦說明幾何語言： 若弦AB、CD交于點(diǎn)P 則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 幾何語言： 若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P， 則PC2=PA·PB（相交弦定理推論） 編輯本段如何證明證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得AD，CB。（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.） PACPDB，PAPDPCPB，PA·PBPC

12、83;PD 注：其逆定理可作為證明圓的內(nèi)接三角形的方法. P點(diǎn)若選在圓內(nèi)任意一點(diǎn)更具一般性。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。是圓冪定理的一種。 幾何語言： PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT的平方=PA·PB（切割線定理） 推論： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 幾何語言： PBA，PDC是O的割線 PD·PC=PA·PB（切割線定理推論）(割線定理） 由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD 證明切割線定理證明: 設(shè)ABP是O的一條割

13、線，PT是O的一條切線，切點(diǎn)為T，則PT²=PA·PB 證明：連接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) P=P(公共角) PBTPTA(兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似) 則PB：PT=PT：AP 即：PT²=PB·PA 相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等） 相交弦說明幾何語言： 若弦AB、CD交于點(diǎn)P 則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 幾何語言： 若AB是直

14、徑，CD垂直AB于點(diǎn)P， 則PC2=PA·PB（相交弦定理推論） 如何證明證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得AD，CB。（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.） PACPDB，PAPDPCPB，PA·PBPC·PD 注：其逆定理可作為證明圓的內(nèi)接三角形的方法. P點(diǎn)若選在圓內(nèi)任意一點(diǎn)更具一般性。 從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD。 證明：如圖直線ABP和CDP是自點(diǎn)P引的O的兩條割線，則PA·PB=PC·PD 證明:連接AD、BC A和C都對弧BD 由圓周角定理，

15、得 A=C 又APD=CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合 102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合 103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合 104同圓或等圓的半徑相等 105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半 徑的圓 106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直 平分線 107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線 108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距 離相等的一條直線 109定理 不在同一直

16、線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。 110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧 111推論1 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形 114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦 相等，所對的弦的弦心距相等 115推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等 116定理 一條弧所對的圓周角

17、等于它所對的圓心角的一半 117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所 對的弦是直徑 119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它 的內(nèi)對角 121直線L和O相交 dr 直線L和O相切 d=r 直線L和O相離 dr 122切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 124推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 125推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 126切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角 127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角 129推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等 130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積 相等 131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項(xiàng) 132切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割 線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)