合肥工業(yè)大學計算方法復化梯形公式實驗

1、計算機科學與工程學院計算方法實驗報告學號 姓名班級實驗項目名稱實驗二 數(shù)值積分一、實驗名稱實驗二數(shù)值積分二、 實驗目的：(1) 熟悉復化梯形方法、復化Simpson方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(2) 能編程實現(xiàn)復化梯形方法、復化Simpson方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(3) 理解并掌握自適應算法和收斂加速算法的基本思想；(4) 分析實驗結(jié)果體會各種方法的精確度，建立計算機求解定積分問題的感性認識三、 實驗內(nèi)容及要求（1）設計復化梯形公式求積算法，編制并調(diào)試相應的函數(shù)子程序（2）設計復化辛浦生求積算法，編制并調(diào)試相應的函數(shù)子程序（3）用龍貝格算法計算輸入：積分區(qū)間，誤差限輸出：序列Tn

2、，Sn，Cn,Rn及積分結(jié)果（參考書本P81的表2-5） 取n=2，4，8，16，精確解為0.9460831 四、 實驗原理及算法描述在許多實際問題中，常常需要計算定積分的值。根據(jù)微積分學基本定理，若被積函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，只要能找到f(x)的一個原函數(shù)F(x)，便可利用牛頓-萊布尼茲公式求得積分值。但是在實際使用中，往往遇到如下困難，而不能使用牛頓-萊布尼茲公式。（1） 找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)（2） 雖然找到了原函數(shù)，但因表達式過于復雜而不便計算（3） f(x)是由測量或計算得到的表格函數(shù)由于以上種種困難，有必要研究積分的數(shù)值計算問題。利用插值多項式 則積分轉(zhuǎn)化為，顯然易算

3、。稱為插值型求積公式。最簡單的插值型求積公式是梯形公式和Simpson公式，。當求積結(jié)點提供較多，可以分段使用少結(jié)點的梯形公式和Simpson公式，并稱為復化梯形公式、復化Simpson公式。如步長未知，可以通過誤差限的控制用區(qū)間逐次分半的策略自動選取步長的方法稱自適應算法。梯形遞推公式給出了區(qū)間分半前后的遞推關(guān)系。由梯形遞推公式求得梯形序列，相鄰序列值作線性組合得Simpson序列, Simpson序列作線性組合得柯特斯序列, 柯特斯序列作線性組合的龍貝格序列。若|R2-R1|e,則輸出R2;否則依此類推。如此加工數(shù)據(jù)的過程叫龍貝格算法，如下圖所示：復化梯形公式復化Simpson公式梯形遞推

4、公式加權(quán)平均公式： 龍貝格算法大大加快了誤差收斂的速度，由梯形序列O(h2) 提高到龍貝格序列的O(h8)五、 程序代碼及實驗結(jié)果1 主程序int main()/cout longbeige(0, 1, 0.0000001);cout 請輸入 你的區(qū)間 和 誤差限度： x y z;cout 根據(jù)龍貝格算法 求出的精確值為： longbeige(x, y, z) endl;cout K T S C R endl;cout 0 tixing(0, 1, 1) endl;cout 1 tixing(0, 1, 2) xingbusheng(0, 1, 1) endl;cout 2 tixing(0,

5、 1, 4) xingbusheng(0, 1, 2) (double (16/15)* xingbusheng(0, 1, 2) -(double (1/15)*xingbusheng(0, 1, 1) endl;cout 3 tixing(0,1,8) xingbusheng(0,1,4) (double(16 / 15)* xingbusheng(0, 1, 4) - (double(1 / 15)*xingbusheng(0, 1, 2) longbeige(0, 1, 0.000000001) endl;cout 4 tixing(0, 1, 16) xingbusheng(0, 1

6、, 8) (double(16 / 15)* xingbusheng(0, 1, 4) - (double(1 / 15)*xingbusheng(0, 1, 2) longbeige(0, 1, 0.00000001) endl;cout the result 4 is longbeige(0, 1, 0.00000001);return 0;2 復化梯形公式子程序:double tixing(double a, double b, int n)double fa = f(a);double fb = f(b);double h = (b-a) / n;double fxk = 0.0;fo

7、r (int k = 1; k = n - 1; k+)double xk = a + k*h;fxk = f(xk) + fxk;double res = (h / 2.0)*(fa + 2.0*fxk + fb);return res;3 復化辛浦生公式子程序：double xingbusheng(double a, double b, int n)double h = (b - a) /n;double fa = f(a);double fb = f(b);/double s = fb - fa;double x = a;double fxk12 = 0.0;double fxk = 0

8、.0;/*for (int k = 1; k =n; k+)x = x + h / (2.0);double fx = f(x);s = s + 4.0*f(x);x = x + h / (2.0);s = s + 2.0*f(x);s = (h / 6.0)*s;return s;*/for (int k = 0; k = n - 1; k+)double xk1 = a + k*h;x = xk1 + h / 2.0;fxk12 = fxk12 + f(x);for (int k = 1; k = n - 1; k+)double xk = a + k*h;fxk = fxk + f(xk

9、);double s = (h / 6)*(fa + 4 * fxk12 + 2 * fxk + fb);return s;4 龍貝格公式子程序：double longbeige(double a, double b, double wuchaxian)double h = b - a;double T1 = (h / 2.0)*(f(a) + f(b);int k = 1;double S,x,T2,S2,S1=0,C1=0,C2,R1=0,R2;double Tck100,Sck100,Cck100,Rck100;loop1: S = 0; x = a + h / 2.0;while (x= wuchaxian)R1 = R2;C1 = C2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2;goto loop1;elsereturn R2;實驗結(jié)果： 圖1 六、 實驗總結(jié)1. 梯形公式的收斂速度太慢，所以我們才會選