晶體中電子的能態(tài)密度

1、§5-7 晶體中電子的能態(tài)密度571 帶底附近的能態(tài)密度在本章第一節(jié)中，我們已經(jīng)得到自由電子的態(tài)密度N（E），圖5-7-1 自由電子能態(tài)密度（5-7-1）而且N(E)E的關(guān)系曲線(xiàn)已由圖5-7-1給出。晶體中電子受到周期性勢(shì)場(chǎng)的作用，其能量E(k)與波矢的關(guān)系不再是拋物線(xiàn)性質(zhì)，因此式（5-7-1）不再適用于晶體中電子。下面以緊束縛理論的簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)晶格的s態(tài)電子狀態(tài)為例，分析晶體中電子態(tài)密度的知識(shí)。由前面的緊束縛理論，我們已經(jīng)得到簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)晶格的s能帶的E(k)形式為：（5-7-2）其中能量極小植在點(diǎn)k=(0, 0, 0)處，其能量為，所以在點(diǎn)附近的能量，可以通過(guò)將展開(kāi)為在k=0處的泰勒

2、級(jí)數(shù)而得到，以，取前兩項(xiàng)代入，可以得到：（5-7-3）在第五節(jié)，我們已經(jīng)根據(jù)有效質(zhì)量的定義，算得簡(jiǎn)立方晶格s帶點(diǎn)處的有效質(zhì)量為一個(gè)標(biāo)量，（5-7-4）代入后，可得到（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能帶底k=0附近，等能面是球面，如果以及分別代替自由電子的能量E及質(zhì)量m，就可得到晶體中電子在能帶底附近的能態(tài)密度函數(shù)：（5-7-6）572 帶頂附近的能態(tài)密度能帶頂在的R點(diǎn)處，容易知道，其能量為。以R點(diǎn)附近的波矢代入E(k)表達(dá)式中，就得到在能量極大值附近的能量表達(dá)式：（5-7-7）再利用(，就可得到：（5-7-8）將式中余弦函數(shù)展開(kāi)為后，上式變成：（5-7-9）或?qū)懗桑?-7-10）式中，是

3、波矢k與能帶頂R的波矢之差。所以，若以R點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系軸，則的意義就與的意義是一樣的。因此，式（5-7-10）表示能量極大值附近的等能面是一些以R點(diǎn)為球心的球面。這樣，我們就得到能帶極大值附近的態(tài)密度函數(shù)：（5-7-11）雖然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是從一個(gè)特例出發(fā)得到的，但卻具有普遍意義。也就是說(shuō)，當(dāng)能帶極值處的有效質(zhì)量是各向同性的，等能面是球面時(shí)，式（5-7-10）和（5-7-11）均適用。573 非極值點(diǎn)處能態(tài)密度圖5-7-2 緊束縛近似等能面AC當(dāng)能量遠(yuǎn)離極值點(diǎn)時(shí)，晶體電子的等能面不再是球面。圖5-7-2給出在截面上的簡(jiǎn)立方晶格電子等能面示意圖。從圖看出，從原點(diǎn)（點(diǎn)

4、，是能帶底）向外，等能面基本上保持為球面的原因在于周期性場(chǎng)的作用，使晶體電子能量下降，為得到與自由電子相同的能量E，晶體電子的波矢k就必然要大。當(dāng)能量超過(guò)邊界上的A點(diǎn)的能量時(shí)，等能面將不再是完整的閉合面。在頂角C點(diǎn)（能量極大值處）附近，等能面是被分割在頂角附近的球面，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，等能面縮成幾個(gè)頂角點(diǎn)。在能量接近時(shí)，等能面向外突出，所以，這些等能面之圖5-7-3 自由電子與晶體中電子態(tài)密度E自由電子近自由電子間的體積顯然比球面之間的體積大，因而所包含的狀態(tài)代表點(diǎn)也較多，使晶體電子的態(tài)密度在接近時(shí)比自由電子的顯著增大（見(jiàn)圖5-7-3）。當(dāng)能量超過(guò)時(shí)，由于等能面開(kāi)始?xì)埰?，它們之間的體積愈來(lái)愈小，最后

5、下降為零。因此，能量在到之間的態(tài)密度將隨能量增加而逐漸減小，最后下降為零，如圖5-7-3所示。如果考慮兩個(gè)沒(méi)有交疊的能帶的態(tài)密度，下面一個(gè)帶的態(tài)密度曲線(xiàn)亦如圖5-7-3所示，在能帶頂處態(tài)密度為零。在禁帶內(nèi)亦一直保持為零（因禁帶內(nèi)無(wú)電子的量子態(tài)存在），當(dāng)能量到達(dá)上面能帶的帶底時(shí)，態(tài)密度才又隨能量的增加而增加，如圖5-7-4（a）所示。如果所考慮的能帶有交疊，則兩能帶態(tài)密度也會(huì)發(fā)生交疊，態(tài)密度函數(shù)如圖5-7-4（b）所示?？梢?jiàn)，交疊能帶與不交疊能帶的態(tài)密度函數(shù)是很不相同的，這一點(diǎn)，可以從軟X射線(xiàn)發(fā)射譜中得到證明。 （a） (b)圖5-7-4 （a）不交疊能帶（b）交疊能帶當(dāng)晶體受到能量約為電子伏特

6、的電子撞擊時(shí)，低能帶中的一些電子被激發(fā)，因而在能帶中留下空能級(jí)。由于低能帶是很窄的，可近似看作是分立能級(jí)。當(dāng)高能帶中的電子落入低能帶中的空能級(jí)上時(shí)，就發(fā)射出x射線(xiàn)。因這種X射線(xiàn)的波長(zhǎng)較長(zhǎng)(約100Å)，所以，稱(chēng)之為軟x射線(xiàn)軟x射線(xiàn)發(fā)射譜的強(qiáng)度I(E)與能量等于E處的態(tài)密度N(E)成正比，亦與能量為E的電子向空能級(jí)躍遷的幾率W(E)(或稱(chēng)發(fā)射幾率)成正比，即 I(E)W(E)N(E)圖5-7-5 金屬與非金屬的X射線(xiàn)發(fā)射譜上式中的W(E)是一個(gè)隨E連續(xù)緩變的函數(shù)，所以，可以認(rèn)為，I(E)主要由E（E)隨E的變化來(lái)決定。也就是說(shuō)，軟x射線(xiàn)發(fā)射譜的形狀直接反映出晶體電子態(tài)密度的特征。圖5-7-5是幾種典型的金屬與非金屬的X射線(xiàn)發(fā)射譜由圖看出，各晶體的發(fā)射譜在低能方面都是隨能量增加而逐漸上升的，說(shuō)明從能帶底起，隨著電子能量的增加，態(tài)密度逐漸增大；在高能端，金屬的x射線(xiàn)發(fā)射譜是突然下降的，所對(duì)應(yīng)的能量大致與費(fèi)米能相同；非金屬的發(fā)射增則隨能量增加而逐漸下降為零這正好反映了金屬與非金屆的電子填充能帶的狀況。金屬中的電子沒(méi)有填滿(mǎn)能帶，電子填充的最高能級(jí)的能量約為，態(tài)密度，所以，發(fā)射譜就突然下降