構(gòu)造等腰三角形解題的常見途徑

1、構(gòu)造等腰三角形解題的常見途徑等腰三角形是研究幾何圖形的基礎，因此在許多幾何問題中，常常需要構(gòu)造等腰三角形才能使問題獲解，那么如何構(gòu)造等腰三角形呢？一般說來有以下幾種途徑：一、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形如圖1中，若AD平分BAC，ADEC，則ACE是等腰三角形；如圖1中，AD平分BAC，DEAC，則ADE是等腰三角形；如圖1中，AD平分BAC，CEAB，則ACE是等腰三角形；如圖1中，AD平分BAC，EFAD，則AGE是等腰三角形圖1ADCBEECBDABACDEABFCDEG例1如圖2，ABC中，ABAC，在AC上取點P

2、，過點P作EFBC，交BA的延長線于點E，垂足為點F求證：AEAP圖4FCDEBAM簡析要證AEAP，可尋找一條角平分線與EF平行，于是想到ABAC，則可以作AD平分BAC，所以ADBC，而EFBC，所以ADEF，所以可得到AEP是等腰三角形，故AEAPCABEDO圖3圖2FBACDPE例2如圖3，在ABC中，BAC、BCA的平分線相交于點O，過點O作DEAC，分別交AB、BC于點D、E試猜想線段AD、CE、DE的數(shù)量關系，并說明你的猜想理由簡析猜想：AD+CEDE理由如下：由于OA、OC分別是BAC、BCA的平分線，DEAC，所以ADO和CEO均是等腰三角形，則DODA，ECEO，故AD+C

3、EDE例3如圖4，ABC中，AD平分BAC，E、F分別在BD、AD上，且DECD，EFAC求證：EFAB簡析由于這里要證明的是EFAB，而AD平分BAC，所以必須通過輔助線構(gòu)造出平行線，這樣就可以得到等腰三角形了，于是DECD的提示下，相當于倍長中線，即延長AD至M，使DMAD，連結(jié)EM，則可證得MDEADC，所以MEAC，又EFAC，MCAD，所以MEFM，即CADEFM，又因為AD平分BAC，所以BADEFDCAD，所以EFAB二、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形如圖5中，若AD平分BAC，ADDC，則AEC是等腰三角形E圖5

4、ABCD圖6BFDECA例4如圖6，已知等腰RABC中，ABAC，BAC90°，BF平分ABC，CDBD交BF的延長線于D求證：BF2CD簡析由BF平分ABC，CDBD，并在圖5的揭示之下，延長線BA、CD交于點E，于是BCE是等腰三角形，并有EDCD，余下來的問題只需證明BFCE，而事實上，由BAC90°，CDBD，AFBDFC，得ABFDCF，而ABAC，所以ABFACE，則BFCE，故BF2CD三、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形如圖7中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，則DBC是等腰三

5、角形；如圖7中，若ABC2C，如果延長線CB到D，使BDBA，連結(jié)AD，則ADC是等腰三角形；如圖7中，若B2ACB，如果以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作ACDACB，交BA的延長線于點D，則DBC是等腰三角形圖7BCDABCDABCDAE圖8CBAD例5如圖8，在ABC中，ACB2B，BC2AC求證：A90°簡析由于條件中有兩個倍半關系，而結(jié)論與角有關，因此首先考慮對ACB2B進行技術處理，即作CD平分ACB交AB于D，過D作DEBC于E，則由ACB2B知BBCD，即DBC是等腰三角形，而DEBC，所以BC2CE，又BC2AC，所以ACEC，所以易證得ACDECD，所以AD

6、EC90°說明本題也可以利用圖7的、來構(gòu)造等腰三角形求解手腦并用巧解題湖北畢保洪隨著課程標準深入實施：“有效的數(shù)學學習活動不能單純的依賴模仿與記憶，動手實驗、自主探索與合作交流成為學習的重要方法”因此，以等腰三角形為背景的動手操作、動腦設計的手腦并用的中考題悄然興起一、模擬畫圖例1 已知在如圖1的ABC中，AB=AC，A=36°，仿照圖1，請你再用兩種不同的方法，將ABC分割成3個三角形，使每個三角形都是等腰三角形（圖2、圖3供畫圖用，作圖工具不限，不要求寫出作法，不要求證明，但要標出所分得每個等腰三角形的內(nèi)角度數(shù)）解：如圖4、圖5、圖6、圖7此題不僅培養(yǎng)同學們的動手能力，

7、而且考查同學們的發(fā)散思維能力二、手腦并用例2在平面內(nèi)，分別用3根、5根、6根火柴，首尾依次相接可以搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試，列表如下所示：問: （1）4根火柴能搭成三角形嗎?（2）8根、12根火柴分別能搭成幾種不同形狀的三角形？并畫出圖形解：（1）4根火柴不能搭成三角形因為1+1=2不滿足三邊關系（2）8根火柴能搭成等腰三角形，如圖8；而12根能搭成等邊三角形，如圖9，或等腰三角形，如圖10，或直角三角形，如圖11此題動手操作性強而且有助于培養(yǎng)同學們探究學習的學習習慣三、動手剪裁例3在勞技課上老師請同學們在一張邊長為16cm的正方形紙板上，剪下一個腰長為10cm的等腰三角形（要求等腰三角形至