多維隨機(jī)變量及其分布課件

1、第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布3.4 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 在第二章中，我們討論了一維在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論步討論: 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量 X, Y 的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù)Z = g ( X, Y ) 的分布的分布? 例例1 已知已知(X, Y) 的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布見右表，求見右表，求 （1）Z1 = X+Y 的概率分布的概率分布; （2）Z2 = X- Y 的概率分布的概率分布. 解解 由由(X,Y)的分布可得的分布

2、可得: 1/8 0 3/8 2/8 2/8 0-1 2 0 1 3XYp00(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)(2,1)(2,3)X+Y-102235X-Y-1-2-421-181838282 去掉概率為去掉概率為0的值，并將相同函數(shù)值對應(yīng)的概率求和，的值，并將相同函數(shù)值對應(yīng)的概率求和，從而得到：從而得到：一、離散型隨機(jī)向量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)向量函數(shù)的分布 (1) Z1=X+Y的分布為的分布為 Z1=X+Y-123P81858582Z2=X-Y-4-112P(2) Z2=X-Y的分布為的分布為 83818282 一般地，如果一般地，如果(X, Y)的概率分布為的概率

3、分布為），（，21jipyYxXPijii記記zk(k=1,2,)為為Z=g(X,Y)的所有可能的取值，則的所有可能的取值，則Z的的概率分布為概率分布為 (, )kkP ZzP g X Yz()1 2ijkijg xyzP Xx Yyk，,， 例例2 若若 X、Y 獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 Z=X+Y 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解 )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨(dú)立性由獨(dú)立性r=0,1,2, 解解 依題意依題意 riirYiXP

4、rZP0),()( 例例3 若若 X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.riirYiXPrZP0),()( ri 0i)!-(rei!ei - r2-i1-21 rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.12 i)!-(ri!r!Cirq

5、設(shè)設(shè) X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨(dú)立，且獨(dú)立，具有可加性的兩個(gè)離散分布具有可加性的兩個(gè)離散分布q 設(shè)設(shè) X P ( 1), Y P ( 2), 且獨(dú)立，且獨(dú)立，則則 X + Y B ( n1+n2, p)則則 X + Y P( 1+ 2) 若若X B(n1,p),則則X 是在是在n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率都為出現(xiàn)的概率都為p.同樣，同樣，Y是在是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù),每每次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p. 故故Z=X+Y 是在是在n1

6、+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中數(shù)，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p).二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1. 已知已知(X,Y) f(x,y)，求，求Z = (X,Y)的概率分布的概率分布. ),()(zYXPzZPzFZ若若Z為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量,則在則在f(z)的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)( )(zFzfZZ zyxdxdyyxf),(),( .),0(), 0( , 222的概率密度的概

7、率密度求求且均服從且均服從相互獨(dú)立相互獨(dú)立已知已知YXZNYX 2222exp21)(), 0( xxfNXX 解解 22222exp21),( yxyxf 2222exp21)(), 0( yyfNYY例例1X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立).(),(zfzFZZ設(shè)設(shè)Z的分布函數(shù)和概率密度分別為的分布函數(shù)和概率密度分別為0)(,0 zFzZ時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22YXZ )(,0zZPzFzZ 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22zYXP zyxdxdyyxf22),(,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z zyxZdxdyyxzF2222222exp21)( sincosryrx zrdrdrr 2exp21222222exp1z 其其它它 , 00,2e

8、xp1)(22zzzFZ 其其它它 , 00,2exp)(222zzzzfZ .)()0(分分布布的的瑞瑞利利服服從從參參數(shù)數(shù)為為RayleighZ 例例2 已知已知(X,Y) f(x, y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 對對任任意意解解1)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dxdyyxfxbxa),( )(xyz 令令dxdzxzxfba),( dzdxxzxfba ),(xyoayxbyx)(bZaP dzdxxzxfba ),(由概率密度的定義可知，由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率的概率密度為密度為dxxzxfzfZ),()( 例例2 已知已

9、知(X,Y) f(x, y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 對對任任意意解解2)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dydxyxfybya),( )(yxz 令令dydzyyzfba),( dzdyyyzfba ),(xyoayxbyx)(bZaP 由概率密度的定義可知，由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率的概率密度為密度為 dyyyzfzfZ),()(dzdyyyzfba ),(dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ),()(推論推論 設(shè)設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y). 若若X和和Y獨(dú)立獨(dú)立,

10、 則則 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式卷積公式卷積公式為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為 0 的區(qū)域的區(qū)域 例例3 若若 X 和和Y 獨(dú)立獨(dú)立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式1010 xzx也即也即zxzx110zx zxOz1zx211zz1z 暫時(shí)固定暫時(shí)固定 0.Zfz 故故 當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)時(shí) ,0z 2z

11、 0zZfzdx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) ,01z 12z 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) ,z 11Zzfzdx 2 z 于是于是 ,01,2,12,0 ,.Zzzfzzz 其其它它dxxzfxfzfYXZ)()()(zxzx110 例例4 若若X和和Y 是兩個(gè)相互是兩個(gè)相互獨(dú)立獨(dú)立的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 令令,2ztx22412zteedt 2412ze 2222122ze 可

12、見可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2).用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,),(),(222211NYNX 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論此結(jié)論可以推廣到可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形. 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 則則Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2). 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布分布.2iiiNX，相互獨(dú)立，如果隨機(jī)變量nXXX21，令：niiiXaZ1n

13、i，21 niiiniiiaaNZ1221 ，則則個(gè)實(shí)常數(shù)，為，又naaan21 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布分布.q 若(X ,Y );,;,(222211N則)2,(22212121NYX 特別特別, 若若X1,X2, .Xn獨(dú)立同正態(tài)分布獨(dú)立同正態(tài)分布N(,2) ,niiXnX1,1)n,(NX2則則記記:相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且與與特特殊殊地地：如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX ，nYmX22 ，YXZnmZ2則.,), 2 , 1(,12121分布分布的的服從參數(shù)為服從參數(shù)為則則分布分布的的服從參數(shù)為服從參數(shù)為且且相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若

14、 XXXniXXXXniiniin三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè) X，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為布函數(shù)分別為FX(x) 和和 FY(y),我們來求我們來求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù).FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)即有即有 FM(z)= FX

15、(z)FY(z) Mz XzYz 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Nz XzYz 由于由于 X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為: =1- - P(Xz)P(Yz)FN(z).zYzXP 或或 設(shè)設(shè) X1,Xn 是是 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的它們的分布函數(shù)分別為分布函數(shù)分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的

16、分布函數(shù).(i = 1, , n) 用與二維時(shí)完全類似的方法，可得用與二維時(shí)完全類似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 12nMXXXFzFz FzFz 121111nNXXXFzFzFzFz iXFz 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 nMFzF z 1 1nNFzF z 例例5 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) L 由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) 連接而成連接而成,連接的方式分別為連接的方式分別為 (i) 串聯(lián)串聯(lián), (ii) 并聯(lián)并聯(lián), (iii

17、)備用備用 (當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng) 損壞時(shí)損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) 開始工作開始工作) , 如下圖如下圖所示所示.設(shè)設(shè) 的壽命分別為的壽命分別為 已知它們的概已知它們的概率密度分別為率密度分別為12,L L12,L L1L2L, ,X Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy 0,0 其中其中 且且 試分別就以上三種連接方試分別就以上三種連接方式寫出式寫出 的壽命的壽命 的概率密度的概率密度. LZXY1L2LXY1L2L1LXY2LXY1L2L解解 (i) 串聯(lián)的情況串聯(lián)的情況 由于當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)系統(tǒng) 中有一個(gè)損壞時(shí)中有一個(gè)損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) L 就停就停止工作止工作,12

18、,L L所以此時(shí)所以此時(shí) L 的壽命為的壽命為 min,ZX Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx 因?yàn)橐驗(yàn)?X 的概率密度為的概率密度為所以所以 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xXXFxft dt xXXFxft dt x0 xx 0 xXFxdt 0 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ,1xe 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 類似地類似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx xatXdtaeodtxF00)(于是于是 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 min,ZX Y = 1-1-FX(z

19、)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0 , zezz 的概率密度為的概率密度為 min,ZX Y (),0 ,0 ,0 , z ezz minminfzFz 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy XY1L2L(ii) 并聯(lián)的情況并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng) 都損壞時(shí)都損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) L 才停才停止工作止工作,12,L L所以此時(shí)所以此時(shí) L 的壽命為的壽命為 max,ZX Y 故故 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 max,ZX Y (1)(1) ,0 ,0 ,0 ,zzeezz 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy FZ(z)= FX(z)FY(z) 于是于是 的概率密度為的概率密度為 max,ZX Y . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzzXY1L2L(iii) 備用的情況備用的情況因此整個(gè)系統(tǒng)因此整個(gè)系統(tǒng) L 的壽命為的壽命為 由于當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)系統(tǒng) 損壞時(shí)損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) 才開始工作才開始工作,1L2LZXY ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy dyyfyzfzfYXZ)()()(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)0,0,yzy 0yz即即 時(shí)時(shí),上述積分的