機(jī)械振動(dòng)學(xué)總結(jié)全

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)機(jī)械振動(dòng)學(xué)總結(jié)機(jī)械振動(dòng)學(xué)總結(jié)第一章第一章 機(jī)械振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)第二節(jié)第二節(jié) 機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)概念機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)概念機(jī)械振動(dòng)是種特殊形式的運(yùn)動(dòng)。在這運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)將圍繞其平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)看，機(jī)械振動(dòng)式研究機(jī)械系統(tǒng)的某些物理量在某一數(shù)值近旁隨時(shí)間 t 變化的規(guī)律。用函數(shù)關(guān)系式)(xtx來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)。如果運(yùn)動(dòng)的函數(shù)值，對(duì)于相差常數(shù) T 的不同時(shí)間有相同的數(shù)值，亦即可以用周期函數(shù), 2 , 1)()(nnTtxtx來(lái)表示，則這一個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)周期運(yùn)動(dòng)。其中 T 的最小值叫做振動(dòng)的周期，Tf1定義為振動(dòng)的頻率。簡(jiǎn)諧振動(dòng)式最簡(jiǎn)單的振

2、動(dòng)，也是最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)。一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，位移 x 和時(shí)間 t 的關(guān)系可用三角函數(shù)的表示為)2sin()2cos(tTAtTAx式中：A 為振幅，T 為周期，和稱(chēng)為初相角。如圖所示的正弦波形表示了上式所描述的運(yùn)動(dòng)， 角速度稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度就是位移表達(dá)式關(guān)于時(shí)間 t 的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即)sin()cos(2tAxatAxv 可見(jiàn)，若位移為簡(jiǎn)諧函數(shù)，其速度和加速度也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，且具有相同的頻率。因此在物體運(yùn)動(dòng)前加速度是最早出現(xiàn)的量。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)可以看出，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度，其大小與位移成正比，而方向與位移相反，始終指

3、向平衡位置。這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的重要特征。在振動(dòng)分析中，有時(shí)我們用旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)。圖 P6旋轉(zhuǎn)矢量的模為振幅 A，角速度為角頻率若用復(fù)數(shù)來(lái)表示，則有)sin()cos()(tjAtAzAeztj用復(fù)指數(shù)形式描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)，給計(jì)算帶來(lái)了很多方便。因?yàn)閺?fù)指數(shù)tje對(duì)時(shí)間求導(dǎo)一次相當(dāng)于在其前乘以j，而每乘一次 j，相當(dāng)于有初相角2。二二周期振動(dòng)周期振動(dòng)滿(mǎn)足以下條件：1)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，且間斷點(diǎn)上函數(shù)左右極限存在；2)在一個(gè)周期內(nèi)，只有有限個(gè)極大和極小值。則都可展成 Fourier 級(jí)數(shù)的形式，若周期為 T 的周期振動(dòng)函數(shù)，則有10)sin(2)(nnNtnAatx式中22nn

4、nbaAnnnbatan三三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向振動(dòng)的合成1.倆個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng))sin(222tAx，)sin(2222tAx它們的合成運(yùn)動(dòng)也是該頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng))sin(tAx2.倆個(gè)不同頻率振動(dòng)的合成tAx111sintAx222sin若21，則合成運(yùn)動(dòng)為tAtAxxxx221121sinsin精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)若21，對(duì)于AAA21,則有ttAxtAtAxxxx)2sin()2cos(2sinsin2121221121上式可表示為ttAsin2sin2二、兩垂直方向振動(dòng)的合成1.同頻率振動(dòng)的合成如果沿 x 方向的運(yùn)動(dòng)為tAxsin沿 y 方向

5、的運(yùn)動(dòng)為)sin(tBy精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)2 不同頻率振動(dòng)的合成對(duì)于倆個(gè)不等的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))sin(sin21tBytAx它們的合成運(yùn)動(dòng)也能在矩形中畫(huà)出各種曲線。第三節(jié)第三節(jié) 構(gòu)成機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本元素構(gòu)成機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本元素構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。慣性就是能使物體當(dāng)前運(yùn)動(dòng)繼續(xù)下去的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡位置的性質(zhì)。第四節(jié)第四節(jié) 自由度與廣義坐標(biāo)自由度與廣義坐標(biāo)系統(tǒng)受到約束時(shí)，其自由度數(shù)為系統(tǒng)無(wú)約束時(shí)的自由度數(shù)與約束條件數(shù)之差。對(duì)于 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移可用 3n 個(gè)直角坐標(biāo)來(lái)描述。當(dāng)有 r 個(gè)約束條

6、件時(shí)，約束方程為rkzyxzyxfnnnk, 2 , 10),(111為了確定各質(zhì)點(diǎn)的位置，可選取 N=3n-r 個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)Njzyxzyxqqnnnjj, 2 , 1),(111來(lái)代替 3n 個(gè)直角坐標(biāo)，這種坐標(biāo)叫做廣義坐標(biāo)。第二章第二章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)第二節(jié)第二節(jié) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程0kxxm 令mkwn/2，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)02xwxn 函數(shù) x(t)必須具有這樣的性質(zhì)：在微分過(guò)程中不改變其形式。因而假定方程的解為tBetx)(的形式是合理的。式中 B 和是待定常數(shù)，代入方程中0)(

7、2tnBew方程決定于022nw方程叫做系統(tǒng)的特征方程或頻率方程， 它有一對(duì)共軛虛根：nj1，nj2，叫做系統(tǒng)的特征值或固有值，方程的倆個(gè)獨(dú)立的特接分別為tjneBtx11)(tjneBtx22)(式中1B和2B是任意常數(shù)。方程的通解為tDtDtxtBBjtBBtxeBeBtxnnnntjtjnnsincos)(sin)(cos)()()(21212121方程的通解從物理意義上說(shuō)， 表達(dá)了系統(tǒng)對(duì)于確定的初始條件，系統(tǒng)發(fā)生某種確定的運(yùn)動(dòng)為txtxtxnnnsincos)(00它是由倆個(gè)相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所組成。 再將這倆個(gè)相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成為)sin()(tAtxn式中002020tan,)

8、(xxxxAnnA 為振幅，為初相角。線性系統(tǒng)自由振動(dòng)振幅的大小只決定于施加給系統(tǒng)的初始條件和系統(tǒng)本身的固有頻率，而與其他因素?zé)o關(guān)。線性系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率mkn/只決定于系統(tǒng)本身參數(shù)，與初始條件無(wú)關(guān)，因而叫做系統(tǒng)的固有頻率或無(wú)阻尼固有頻率。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第三節(jié)第三節(jié) 能量法能量法一個(gè)無(wú)阻尼的彈簧系統(tǒng)做自由振動(dòng)時(shí)， 由于不存在阻尼， 沒(méi)有能量從系統(tǒng)中散逸，沒(méi)有能量輸入，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。T+U=E=常數(shù)最大動(dòng)能和最大勢(shì)能為222maxmax11,22nTmw A UkA由于2221122nmwAkA， 并定義212mTkA，故可得maxnmUkwTm。第四節(jié)第四節(jié)有阻尼

9、自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)在實(shí)際系統(tǒng)中總存在著阻尼，總是有能量的散逸，系統(tǒng)不可能持續(xù)作等幅的自由振動(dòng)， 而是隨著時(shí)間的推移振幅將不斷減小， 這種自由振動(dòng)叫做有阻尼自由振動(dòng)。最常見(jiàn)的阻尼有粘性阻尼、庫(kù)倫阻尼或干摩擦阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。一、粘性阻尼的一個(gè)粘性阻尼器，直徑為 d，長(zhǎng)為 L 的活塞，帶有倆個(gè)直徑為 D 的小孔，油的粘度為，密度為。作用于活塞上阻力的大小近似地表示為vDdLpdFd42)(44這表明，粘性阻尼器的阻尼力與速度成正比，方向和速度相反。這是，阻尼系數(shù)為4)(4DdLc二、粘性阻尼自由振動(dòng)具有粘性阻尼的單自由度系統(tǒng)的理論模型，粘性阻尼力與相對(duì)速度成正比，應(yīng)用牛頓定律，可列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方

10、程0kxxcxm 其中無(wú)阻尼固有頻率和阻尼比分別是kmcmkn2,精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)動(dòng)力學(xué)方程：022xxxnn 系統(tǒng)的特征方程或頻率方程02kcm方程的特征值的表達(dá)式可寫(xiě)成n)11 (22, 1當(dāng)1，這時(shí)，系統(tǒng)叫做過(guò)阻尼系統(tǒng)或強(qiáng)阻尼系統(tǒng)，其特征值為倆個(gè)實(shí)數(shù)，即n)1(22, 1三、結(jié)構(gòu)阻尼內(nèi)摩擦所消耗的能量等于滯回環(huán)所圍面積2cAE其中 k 是等效彈簧常數(shù)，A 是振幅，等效粘性阻尼系數(shù)是hkce其中是無(wú)量綱的結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)第五節(jié)第五節(jié)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)的理論模型系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

11、方程為wtFkxxcxmsin 式中 F 為激勵(lì)力振幅，w 為激勵(lì)頻率。方程是一個(gè)非齊次方程，在一般情況下，還受到初始條00)0()0(xxxx，的作用， 實(shí)部和虛部分別與wtF cos0和wtF sin0相對(duì)應(yīng)受力分析精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)振動(dòng)微分方程為jwtFekxxcxm X 為復(fù)數(shù)變量，分別與wtF cos0和wtF sin0相對(duì)應(yīng)，對(duì)于此方程的通解等于齊次微分方程的通解與非齊次微分方程特解之和，即暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)假定方程的特解為jwtSeXtx)(式中X為復(fù)振幅，代入方程中，有jXejwcmwkFX2式中 X 為振幅，是復(fù)振幅X的模，繼而得到方程的相角，是復(fù)振幅

12、X的幅角，有mwkwcXArg21tan因此，方程的特解為)()(wtjSXetx對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，齊次方程的通解為)sin()(twAetxdtwhn因此，對(duì)于弱阻尼系統(tǒng)，方程的通解為hSxxtx)(定義強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 X 與 Xo 的比為放大因子，用 M 表示，則有2220)2()1 (1rrXXM式中 Xo=F/k,r=w/nw,Xo 叫做等效靜位移，r 叫做頻率比。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)（類(lèi)似）當(dāng) r0 是，M1，而與阻尼無(wú)關(guān)，這意味著，當(dāng)激勵(lì)頻率接近于零時(shí)，振幅與靜位移相近。當(dāng) r時(shí)，M0，也與阻尼大小無(wú)關(guān)，在激勵(lì)頻率很高時(shí)，振幅趨于零，質(zhì)量不能跟上力的快速變化，將

13、停留在平衡位置不動(dòng)。當(dāng) r=1 時(shí)，=0，在理論上 M,將產(chǎn)生共振現(xiàn)象。強(qiáng)迫振動(dòng)和激勵(lì)力之間有相位差，方程可改寫(xiě)成212112tantanrrmwkwc下圖便是以為參數(shù)，相角隨 r，即 w 變化的曲線二、旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)在許多旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，轉(zhuǎn)動(dòng)部分總存在著質(zhì)量不平衡，所以構(gòu)建了如下圖的系統(tǒng)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為wtmewkxxcxMsin2 系統(tǒng)的放大因子可表示為2222)2()1 (rrrmeMX其關(guān)系曲線表示在圖上第六節(jié)第六節(jié)簡(jiǎn)諧激勵(lì)強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用簡(jiǎn)諧激勵(lì)強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用一、隔振用來(lái)消除對(duì)機(jī)器、儀器和設(shè)備的工作性能產(chǎn)生有害影響振動(dòng)的措

14、施叫做隔振，隔振分為倆種，積極隔振和消極隔振。積極隔振： 把震源與地基隔離開(kāi)來(lái)以減少它對(duì)周?chē)挠绊懚扇〉拇胧┙凶龇e極隔振。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)消極隔振：為了減少外界震動(dòng)對(duì)設(shè)備的影響而采取的隔振措施叫做消極隔振。二、振動(dòng)測(cè)試儀器1、位移傳感器2、加速度傳感器3、速度傳感器第七節(jié)第七節(jié)非簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)非簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)一、奏起激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)于線性系統(tǒng)在受到周期激勵(lì)作用時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算為：10)sincos(2nnnnwtbnwtaakxxcxm 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為112222220)2()1 ()cos()2()1 (2)(nnnnnrrbnw

15、trrkaatx二、非周期激勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)受到單位脈沖的激勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)為0, 00,sin1)(tttwemwthdtwdn第三章第三章 兩自由度系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)第一節(jié)第一節(jié) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)一、固有模態(tài)振動(dòng)凡 需 要 用 倆 個(gè) 獨(dú) 立 坐 標(biāo) 來(lái) 描 述 其 運(yùn) 動(dòng) 的 系 統(tǒng) 都 是 兩 自 由 度 系 統(tǒng) 。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)由圖建立坐標(biāo)，坐標(biāo)1x和2x是倆個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)，它們完全描述了系統(tǒng)在任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓定律得)()()()(212222121111tFxkxkkxmtFxkxkkxmcccc )()(00212121212

16、1tFtFxxkkkkkkxxmmcccc 常數(shù)矩陣M和 K分別叫做質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。第二節(jié)第二節(jié)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)于兩自由度系統(tǒng)，無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式可表示為)()(2121221221112122211211tFtFxxkkkkxxmmmm 把強(qiáng)迫振動(dòng)方程寫(xiě)成簡(jiǎn)明的形式 wttFxKxMsin)( 用 jwteF代替 wtF sin方程的解為)2(2)(111)()(wtjwtjjwteXeXewXtx由于現(xiàn)在討論的事物阻尼系統(tǒng)，1X和2X表達(dá)中 各元素都是實(shí)數(shù)，因此，與單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)相同，對(duì)于不同的激勵(lì)頻率，相角1和2值分別為 0或，這些曲線分別叫做

17、幅頻特性曲線和相頻特性曲線。第三節(jié)第三節(jié)無(wú)阻尼吸振器無(wú)阻尼吸振器設(shè)計(jì)安裝一個(gè)由質(zhì)量和彈簧都不同的輔助系統(tǒng)吸振器 。形成的兩自由度系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程為00021222212121Fxxkkkkkxxmm 解方程，得精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)222211221222222112212221)()()()()(kmwkmwkkFkwXkmwkmwkkFmwkwX式中，111/mkw 為主系統(tǒng)的固有頻率，222/mkw 為吸振器的固有頻率，10/kFX 為主系統(tǒng)的等效靜位移。21/mmu 吸振器質(zhì)量與主系統(tǒng)質(zhì)量的比。第四節(jié)第四節(jié) 有阻尼振動(dòng)有阻尼振動(dòng)一、自由振動(dòng)一個(gè)具有粘性阻尼的兩自由度系

18、統(tǒng) 如下圖所示1 11211212222()()0m xcc xkkxc xk x22222221210m xc xk xc xk x把方程寫(xiě)成矩陣形式1112211221222222220000mxcccxkkkxmxccxkkx 對(duì)于阻尼系統(tǒng)，自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程一般形式表示為 ( )gMxCxKxF t假定方程的解為 12ttBxtB eeB有阻尼振動(dòng)分別有自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)組成。與有阻尼單自由度系統(tǒng)相同，由初始條件引起的自由自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，將隨時(shí)間不短減小。這表明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將是振幅按指數(shù)函數(shù)衰減的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 兩自由度有阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)對(duì)于線性系統(tǒng)，疊加原理在這里也成立，對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)

19、態(tài)響應(yīng)，用復(fù)指數(shù)法求解。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第五節(jié)第五節(jié)位移方程位移方程一、柔度影響系數(shù)定義彈簧常數(shù)為 k 的彈簧的柔度系數(shù)為d=1/k則對(duì)于前面討論的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程表示為212111121FFdddddxx或 FDx 其中 D叫做柔度矩陣，其元2 , 1,jidij，叫做柔度影響系統(tǒng)，定義為jiijFxd 2 , 1,ji即，值在 j 點(diǎn)作用已單位力時(shí)，在 i 點(diǎn)引起的位移的大小。利用柔度影響系數(shù)的定義，就可以確定系統(tǒng)的柔度矩陣。對(duì)于系統(tǒng)的剛度矩陣，其元素ijk，也叫做剛度影響系數(shù)，定義為jiijxFk 2 , 1,ji它表明只在 j 點(diǎn)產(chǎn)生一單位位移時(shí)，在 i 點(diǎn)需要

20、施加的力的大小。利用這一定義可以確定系統(tǒng)的剛度矩陣。 22221kkkkkK對(duì)于有阻尼系統(tǒng)， 阻尼矩陣的元素阻尼影響系數(shù)也可按其定義以類(lèi)似的方法確定。改寫(xiě)為1111211 122122222( )( )xddF tm xxddF tm x精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)因而有 1( )xKF tMx與位移方程相比較，得 1DK系統(tǒng)的柔度矩陣是系統(tǒng)剛度矩陣的逆矩陣，但系統(tǒng)的剛度必須是非奇異的。第四章第四章 多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)第一節(jié)第一節(jié)Lagrange 方程方程對(duì)于許多復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)，利用 Lagrange 方程去建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程常常是非常有效的。Lagrange 方程的一般形

21、式可表示為iFqUqDqTqTdtdiiii）（i=1,2,.,n式中iq是廣義坐標(biāo)， 對(duì)于 n 自由度系統(tǒng)有 n 個(gè)廣義坐標(biāo)。iF沿廣義坐標(biāo)iq方向作用的廣義力。 T 是系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)， U 是系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)， D 是系統(tǒng)的散逸函數(shù)。111101122nnnnijijijijijijuUq qk q qq q 12TDqCq列出系統(tǒng)的勢(shì)能、動(dòng)能和散逸函數(shù)后，由 Lagrange 方程可得到 n 自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 )(tFqKqCqM 第二節(jié)第二節(jié)無(wú)阻尼自由振動(dòng)和特征值問(wèn)題無(wú)阻尼自由振動(dòng)和特征值問(wèn)題n 個(gè)自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為 0qKqM 方程表明，時(shí)間函數(shù)和空間函數(shù)是可以分

22、離的，方程左邊與下標(biāo) i 無(wú)關(guān)，方程右邊與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此，其比值一定是一個(gè)常數(shù)。)(tf是時(shí)間的實(shí)函數(shù)，比值一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，假定為，有njjijijumk10)(精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)把它寫(xiě)成矩陣的形式，為 0uMuK式中 Tnuuuu21也可表示為 0)(uMK解上面兩個(gè)方程的問(wèn)題叫做矩陣M和 K的特征值問(wèn)題。方程的通解為 1( )( )sin(nnrrq tq tuAt 21nuuuu第三節(jié)第三節(jié)特征向量的正交性和主坐標(biāo)特征向量的正交性和主坐標(biāo)對(duì)于一個(gè) n 自由度系統(tǒng)，其第 r 階特征值2nrrw對(duì)應(yīng)的特征向量為 ru，其第 s階特征值2nrrw對(duì)應(yīng)的特征向量為 su，

23、它們都滿(mǎn)足前面的方程，因而有 rnrruwMuK2 SnSSuwMuK2由于rsnsww，只有 sruMurTs , 0同理可以得到 sruKurTs , 0上兩個(gè)方程表示了系統(tǒng)特征向量的正交關(guān)系，是對(duì)質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣 K加權(quán)正交。必須強(qiáng)調(diào)，正交性關(guān)系僅當(dāng)剛度和質(zhì)量矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)才成立。由于特征向量 ru（r=1,2,.,n)的絕對(duì)值不是唯一的，振型矩陣也不是唯一的，所以描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的主坐標(biāo)也不是唯一的，實(shí)際上，可能有無(wú)限多組主坐標(biāo)。第四節(jié)對(duì)初始條件的響應(yīng)和初值問(wèn)題N 自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)表達(dá)式為 nrnrnrrrtwAutwuAtq1)sin()sin()(精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你

24、奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)待定常數(shù)rA和r，由施加于系統(tǒng)的初始條件決定。若施加于系統(tǒng)的初始條件 0)0(qq， 0)0(qq則有twEtwDtwtwnrrnrrrnrrnrsincos)sin()sin(即 01101,quwEquDn第五節(jié)第五節(jié)半確定系統(tǒng)半確定系統(tǒng)如果有一個(gè)系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)方程為 0qKqM 變換，用主坐標(biāo)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的方程成為nrpkpmrrrr, 2 , 1, 0 且有rrnrmkw/2，可得01p 因而有tEDp1111D和1E為任意常數(shù)。方程表示，整個(gè)系統(tǒng)沿主坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有發(fā)生彈性變形，它也是系統(tǒng)的一個(gè)固有模態(tài)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)有一個(gè)或幾個(gè)固有頻率等于零的系統(tǒng)叫做半確定系統(tǒng)。并且具有半正定剛度矩陣的系統(tǒng)是一個(gè)半確定系統(tǒng)。第六節(jié)第六節(jié)具有等固有頻率的系統(tǒng)具有等固有頻率的系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性或其他原因，系統(tǒng)可能具有重特征值，也就是有相等的固有頻率運(yùn)動(dòng)限于 xy 平面內(nèi)，兩個(gè)彈簧直交并相等。在微幅振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為02022211kqqmkqqm 它們有兩個(gè)相等的固有頻率，是一個(gè)退化的系統(tǒng)。線性代數(shù)表明，無(wú)論系統(tǒng)是否具有重特征值，系統(tǒng)的所有特征向量