




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、二次型第一節(jié)二次型與其矩陣表達第一節(jié)第一節(jié)二次型二次型及其矩陣表示及其矩陣表示二次型的定義二次型的定義二次型的表示法二次型的表示法矩陣的合同矩陣的合同非退化線性變換(非退化線性變換(可逆線性變換)可逆線性變換)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形稱為稱為n元二次型。元二次型。二次型的定義二次型的定義 定義定義5.15.1含有含有n個變量個變量的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)nxxx,21 如不特別聲明,今后我們只討論實二次型如不特別聲明,今后我們只討論實二次型ija當(dāng)系數(shù)當(dāng)系數(shù)取復(fù)數(shù)時取復(fù)數(shù)時,稱為復(fù)二次型稱為復(fù)二次型;當(dāng)系數(shù)當(dāng)系數(shù)取實數(shù)時取實數(shù)時,稱為實二次型稱為實二次型.ija例如
2、:例如:都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)。稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)。例如:例如:都為二次型;都為二次型;為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。1 1用和號表示二次型用和號表示二次型二次型的表示法二次型的表示法2 2用矩陣表示二次型用矩陣表示二次型由此可見由此可見任給一個二次型,可唯一確定一個對稱矩陣;任給一個二次型,可唯一確定一個對稱矩陣;反之,任給一個對稱矩陣,可唯一確定一個二次型。反之,任給一個對稱矩陣,可唯一確定一個二次型。即二次型與對稱矩陣之間是一一對應(yīng)關(guān)系即二次型與對稱矩陣之間是一一對應(yīng)關(guān)系!TfX
3、 AX 二次型二次型把對稱矩陣把對稱矩陣稱為二次型稱為二次型的矩陣的矩陣Af也把二次型也把二次型稱為對稱矩陣稱為對稱矩陣的二次型的二次型fA對稱矩陣對稱矩陣的秩稱為二次型的秩稱為二次型的秩的秩Af 定義定義5.25.2例例1 寫出下列二次型的矩陣表達式寫出下列二次型的矩陣表達式j(luò)iijaa解解 按按的要求不改變完全平方項,把的要求不改變完全平方項,把交叉乘積項的系數(shù)取半得:交叉乘積項的系數(shù)取半得:注意注意僅當(dāng)僅當(dāng)A滿足滿足AAT時時,為二次型的矩陣表示式為二次型的矩陣表示式),(321xxxf二次型二次型的矩陣為:的矩陣為:則二次型為則二次型為以以為矩陣二次型的為矩陣二次型的001010100
4、例例2:求二次型:求二次型的矩陣的矩陣f11031223002A 解:解:1100121001020027A 解:解:1000021100022100002100002100002A 解:解:12323101012A 例例3:求對稱矩陣:求對稱矩陣所對應(yīng)的二次型。所對應(yīng)的二次型。A1232221231213(,)22 3f xxxxxxx xx x 解:解:例例3:已知二次型:已知二次型的秩為的秩為2,求參數(shù),求參數(shù)c。222123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x f51315333Ac 解:解:關(guān)系式關(guān)系式記作(記作(2)稱為由變量稱為由變量到變量
5、到變量的一個線性變量的一個線性變量替換,簡稱線性變換。替換,簡稱線性變換。非退化線性變換(可逆線性變換)非退化線性變換(可逆線性變換) 定義定義5.35.3系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣稱為線性變換矩陣稱為線性變換矩陣C若若是可逆矩陣,是可逆矩陣,則稱線性變換(則稱線性變換(2)是非退化線性變換)是非退化線性變換或可逆線性變換或可逆線性變換C若若是正交矩陣,是正交矩陣,則稱線性變換(則稱線性變換(2)是正交線性變換)是正交線性變換系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣則線性變換(則線性變換(2)可記作:)可記作:n元變量元變量說明:說明:對于二次型,我們討論的主要問題是:尋求可逆的線性變換對于二次型,我們討論的主要問題是:尋求可
6、逆的線性變換使二次型只含平方項使二次型只含平方項.,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型經(jīng)過可逆線性變換經(jīng)過可逆線性變換CYX 這種只含平方項的二次型,稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型這種只含平方項的二次型,稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型2221122nnfk yk yk y 使得使得解解 2321xxx 例例1 1 2321xxx 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形所用變換矩陣為所用變換矩陣為其矩陣其矩陣所用變換矩陣為所用變換矩陣為因原二次型矩陣為因原二次型矩陣為通過計算可以驗證通過計算可以驗證是對角矩陣是對角矩陣即二次型即二次型由此可見由此可見要把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,關(guān)鍵在于求出一個非奇異矩陣要把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,關(guān)鍵在于求出一個非奇異矩陣,使得,使得是對角矩陣。是對角矩陣。上列是通過配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,間接找到非奇異矩上列是通過配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,間接找到非奇異矩陣陣,一般說來,這種方法較麻煩。后面將介紹用初等變,一般說來,這種方法較麻煩。后面將介紹用初等變換和正交變換的方法求矩陣換和正交變換的方法求矩陣注意注意CCC經(jīng)過非退化線性變換經(jīng)過非退化線性變換CYX 可化為可化為則則分析:分析:矩陣的合同矩陣的合同因為因為:以上說明:以上說明: 定義定義5.45.4 定義定義5.55.5等價的二次型等價的二次型,它們的矩陣之間是合同的它們的矩陣之
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年浙江省寧波市國際學(xué)校英語八下期中學(xué)業(yè)水平測試試題含答案
- 網(wǎng)絡(luò)技術(shù)應(yīng)用試題及答案
- 2025年物流行業(yè)綠色發(fā)展協(xié)議范本
- 2025年夫妻協(xié)議解除婚姻關(guān)系策劃樣本
- 2025年策劃合作伙伴股權(quán)轉(zhuǎn)讓協(xié)議書樣本
- 現(xiàn)代化設(shè)備與技術(shù)在人防工程中的應(yīng)用
- 人防工程地下結(jié)構(gòu)施工技術(shù)創(chuàng)新
- 資源配置效率提升促進經(jīng)開區(qū)創(chuàng)新突破
- 精細化管理在油菜增產(chǎn)中的應(yīng)用
- 理賠責(zé)任界定基礎(chǔ)知識點歸納
- 1999年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試.文科數(shù)學(xué)試題及答案
- 國家開放大學(xué)2025年春《形勢與政策》形考任務(wù)1-5和大作業(yè)參考答案
- 安全生產(chǎn) 規(guī)章制度和安全操作規(guī)程
- 河南省洛陽市伊川縣2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期期中生物試題(含答案)
- 工人下班免責(zé)協(xié)議書
- 美術(shù)有趣的課件
- 健康活動:快樂生活的源泉
- 創(chuàng)業(yè)扶持政策對數(shù)字化轉(zhuǎn)型的影響研究試題及答案
- 產(chǎn)后出血的觀察及護理
- 2025-2030中國蘆筍行業(yè)市場發(fā)展趨勢與前景展望戰(zhàn)略研究報告
- 港口安全AI大模型自主研發(fā)的關(guān)鍵技術(shù)與應(yīng)用研究
評論
0/150
提交評論