不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)

1、不等式與不等式組一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二、知識(shí)要點(diǎn)（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符號(hào)（“”“”“”“”）表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。不等號(hào)主要包括：、 、 、。2、不等式的解：使不等式左右兩邊成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。3、不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集（即未知數(shù)的取值范圍）。4、解不等式：求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。5、不等式的解集可以在數(shù)軸上表示，分三步進(jìn)行：畫(huà)數(shù)軸定界點(diǎn)定方向。規(guī)律：用數(shù)軸表示不等式的解集，應(yīng)記住下面的規(guī)律：大于向右畫(huà)，小于向左畫(huà)，等于用實(shí)心圓點(diǎn)，不等于用空心圓圈。（二、）不

2、等式的基本性質(zhì)不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變 。用字母表示為：如果，那么；如果，那么 ；不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè) 正數(shù) ，不等號(hào)的方向不變 。用字母表示為： 如果，那么(或)；如果，不等號(hào)那么(或)；不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè) 負(fù)數(shù) ，的方向改變 。用字母表示為： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；解不等式思想就是要將不等式逐步轉(zhuǎn)化為xa或xa的形式。（注：傳遞性：若ab,bc,則ac.利用不等式的基本性質(zhì)可以解簡(jiǎn)單的不等式）（三、）一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中

3、只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、任何一個(gè)一元一次不等式都可以化為最簡(jiǎn)形式：或（a0）的形式。3、解一元一次不等式的一般步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)； 系數(shù)化為1（特別要注意不等號(hào)方向改變的問(wèn)題） 。這與解一元一次方程類似，在解時(shí)要根據(jù)一元一次不等式的具體情況靈活選擇步驟。（四、）一元一次不等式組1、一元一次不等式組的概念：幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。不等式組中含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1。2、使不等式組中的每個(gè)不等式都成立的未知數(shù)的值叫不等式組的解，一個(gè)不等式組的所有的解組

4、成的集合，叫這個(gè)不等式組的解集解(簡(jiǎn)稱不等式組的解)。3、不等式組的解集可以在數(shù)軸上表示出來(lái)。求不等式組的解集的過(guò)程叫解不等式組。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法:解一元一次不等式組的一般步驟：分別求出這個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解集；利用數(shù)軸表示出各個(gè)不等式的解集；找出公共部分；用不等式表示出這個(gè)不等式組的解集。如果這些不等式的解集的沒(méi)有公共部分，則這個(gè)不等式組無(wú)解 ( 此時(shí)也稱這個(gè)不等式組的解集為空集 )。6、求出各個(gè)不等式的解集后，確定不等式組的解的口訣：大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小無(wú)處找。（五、）一元一

5、次不等式（組）的應(yīng)用一般方法步驟：（1）審：分析題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；（3）列：列出不等式組；（4）解：解不等式組；（5）檢驗(yàn)：從不等式組的解集中找出符合題意的答案；（6）答：寫出問(wèn)題答案。1、不等式與不等式組不等式：用符號(hào)，=，號(hào)連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。2、不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。3、一元一次不等式：左右

6、兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。4、一元一次不等式組：關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。5、一元一次不等式解題的一般步驟：去分母、去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)候要變號(hào)，同類項(xiàng)合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉，兩邊除（以）負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)改向別忘了6、一元一次不等式組的解集：大大取較大，小小取較小，小大、大小取中間，小小、大大無(wú)處找7、 由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集通常有如下四種類型（其中ab）不等式組數(shù)軸表示

7、解集順口溜x>bx>axb大大取較大x<bx<axa小小取較小x<bx>aaxb大小、小大中間找x>bx<a無(wú)解大大、小小解不了練習(xí)題一1已知不等式3x-a0的正整數(shù)解恰是1，2，3，則a的取值范圍是。2已知關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是。3不等式組的整數(shù)解為。4如果關(guān)于x的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，則a的值為。5已知關(guān)于x的不等式組的解集為，那么a的取值范圍是。6當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值不大于零7.若<，則（用“>”“=”或“”號(hào)填空）8.不等式>，的正整數(shù)解是9.不等式>的解集為<

8、;，則10.若>>，則不等式組的解集是11.若不等式組的解集是<<，則的值為12.有解集<<的不等式組是（寫出一個(gè)即可）13.一罐飲料凈重約為g，罐上注有“蛋白質(zhì)含量”其中蛋白質(zhì)的含量為 _g14. 若不等式組的解集為>，則的取值范圍是練習(xí)題二一、 判斷題（每題1分，共6分）1、 ab，得ambm （ ）2、 由a3，得a （ ）3、 x = 2是不等式x34的解 （ ）4、 由1，得a （ ）5、 如果ab，c0，則ac2bc2 （ ）6、 如果ab0，則1 （ ）二、 填空題（每題2分，共34分）1、若ab，用“”號(hào)或“”號(hào)填空：a5b5；12a1

9、2b；6a6b；2、x與3的和不小于6，用不等式表示為；3、當(dāng)x時(shí)，代數(shù)式2x3的值是正數(shù)；4、代數(shù)式2x的不大于8的值，那么x的正整數(shù)解是；5、如果x75，則x；如果0，那么x；6、不等式axb的解集是x，則a的取值范圍是；7、一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米，寬為50米，如果它的周長(zhǎng)不小于280米，那么x應(yīng)滿足的不等式為；練習(xí)題三一、選擇題1下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（） A B C D2下列說(shuō)法正確的是（） A不等式組的解集是5<x<3 B的解集是3<x<2 C的解集是x=2 D的解集是x33不等式組的最小整數(shù)解為（） A1 B0 C1 D44在平面直角坐標(biāo)系中，

10、點(diǎn)P（2x6，x5）在第四象限，則x的取值范圍是（） A3<x<5 B3<x<5 C5<x<3 D5<x<35不等式組的解集是（） Ax>2 Bx<3 C2<x<3 D無(wú)解二、填空題6若不等式組有解，則m的取值范圍是_7已知三角形三邊的長(zhǎng)分別為2，3和a，則a的取值范圍是_8將一筐橘子分給若干個(gè)兒童，如果每人分4個(gè)橘子，則剩下9個(gè)橘子；如果每人分6個(gè)橘子，則最后一個(gè)兒童分得的橘子數(shù)將少于3個(gè)，由以上可推出，共有_個(gè)兒童，分_個(gè)橘子9若不等式組的解集是1<x<1，則（a+b）2006=_三、解答題10解不等式組（

11、1） （2）11若不等式組無(wú)解，求m的取值范圍12、若關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是_13、已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有5個(gè)，則 a的取值范圍是_易錯(cuò)點(diǎn)分析：易錯(cuò)點(diǎn)1：誤認(rèn)為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個(gè)數(shù)之間的部分例1 解不等式組錯(cuò)解：由，得x1，由，得x2，所以不等式組的解集為2x1錯(cuò)因剖析：解一元一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式解集的公共部分此題錯(cuò)在對(duì)“公共部分”的理解上，誤認(rèn)為兩個(gè)數(shù)之間的部分為“公共部分”（即解集）實(shí)際上，這兩部分沒(méi)有“公共部分”，也就是說(shuō)此不等式組無(wú)解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分

12、此外，有些同學(xué)可能會(huì)受到解題順序的影響，把解集表示成1x2或2x1等，這些都是錯(cuò)誤的正解：由，得x1由，得x2，所以此不等式組無(wú)解易錯(cuò)點(diǎn)2：誤認(rèn)為“同向解集哪個(gè)表示范圍大就取哪個(gè)”例2解不等式組錯(cuò)解：解不等式，得x解不等式，得x5由于x的范圍較大，所以不 等式組的解集為x錯(cuò)因剖析：本例錯(cuò)解中，由于對(duì)不等式組的解集理解得不深刻，在根據(jù)兩個(gè)解集的范圍確定不等式組的解集時(shí)，形成錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)其實(shí)在求兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集時(shí)，可歸納為以下四種基本類型（設(shè)ab）， 利用數(shù)可確定它們的解集分別為 xb，xa，axb，空集也可以用下面的口訣來(lái)幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小

13、小取不了（空集）”正解：解不等式，得x解不等式，得x5所以不等式組的解集為x5易錯(cuò)點(diǎn)3：混淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法例3 解不等式組錯(cuò)解：由，得2x14，即x7，所以不等式組的解集為x7錯(cuò)因剖析：本例錯(cuò)在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中產(chǎn)生此類錯(cuò)誤的根本原因是沒(méi)有正確區(qū)分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點(diǎn)，（1）解二元一次方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是單獨(dú)存在的；（2）由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨(dú)立解，集中到”，即獨(dú)立地解不等式組中的每一個(gè)不等式組中的每一個(gè)不等式，在解的過(guò)

14、程中，各不等式彼此不發(fā)生關(guān)系，“組”的作用在最后，即每一個(gè)不等式的解集都要求出來(lái)后，再利用數(shù)軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集正解：由不等式，得x17，即x由不等式，得x3，即 x所以原不等式組的解集為x易錯(cuò)點(diǎn)4：在去分母時(shí)，漏乘常數(shù)項(xiàng)例4 解不等式組錯(cuò)解：由，得x2在x212x的兩邊同乘2，得x122x于是有x，所以原不等式組的解集為2x錯(cuò)因剖析：解一元一次不等式組，需要先求出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的公共部分對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，一定要使用同解變形，不然就容易出錯(cuò)本例的解答過(guò)程中沒(méi)有掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)，在去分母時(shí)漏乘了中間的一項(xiàng)此外，還要注意在表示“大小小大中間取”這類不等式的解

15、集時(shí)應(yīng)按一般順序，把小的那個(gè)數(shù)放在前面，大的那個(gè)數(shù)放在后面，用“”連接正解：由，得x2在2x的兩邊同乘2，得x142x于是有x1，所以原不等式組的解集為1x2易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)的符號(hào)，導(dǎo)致不等式方向出錯(cuò)例5 解關(guān)于x的不等式（a）x12a錯(cuò)解：去分母，得(12a)x2(12a)將不等式兩邊同時(shí)除以（12a），得x2錯(cuò)因剖析：在利用不等式的性質(zhì)解不等式時(shí)，如果不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)是含字母的式子，應(yīng)注意討論含字母的式子的符號(hào)本例中不等式兩邊同乘(或除以)的(12a)，在不確定取值符號(hào)的情況下進(jìn)行約分，所以出錯(cuò)正解：將不等式變形，得(12a)x2(12a)（1）當(dāng)12

16、a0時(shí)，即a時(shí)，x2；（2）當(dāng)12a0時(shí)，即a時(shí)，不等式無(wú)解；（3）當(dāng)12a0時(shí)，即a時(shí)，x2例6 如果關(guān)于x的不等式(2ab)xa5b0的解集是x，則關(guān)于x的不等式axb的解集是_錯(cuò)解：因?yàn)椴坏仁剑?ab）xa5b0的解集是x，所以，則有解得從而知axb的解集是x錯(cuò)因剖析：本題錯(cuò)因有兩個(gè)，一是忽視了原不等式的不等號(hào)方向與解集的不等號(hào)方向正好相反；二是對(duì)含有字母系數(shù)的不等式?jīng)]有根據(jù)解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，所以在解題時(shí)錯(cuò)誤得出解得從而錯(cuò)誤得到axb的解集是x正解：由不等式（2ab）xa5b0的解集是x，得解得所以axb的解集是x易錯(cuò)點(diǎn)6：尋找待定字母的取值范圍時(shí)易漏特殊情況例7 若關(guān)于

17、x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是_錯(cuò)解：由得又因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解，所以a的取值范圍是a3錯(cuò)因剖析：由已知不等式的解集確定不等式組的解集時(shí)，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規(guī)律求解，但當(dāng)已知不等式組的解集而求不等式的解集中待定字母取值范圍時(shí)則不能完全套用此規(guī)律，還應(yīng)考慮特例，即a3，有x3及 x3，而此時(shí)不等式組也是無(wú)解的因此，本題錯(cuò)在沒(méi)有考慮待定字母的取值范圍的特殊情況正解：由得又因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解，所以a的取值范圍是a3例8 已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有5個(gè)，則 a的取值范圍是_錯(cuò)解：由解得又因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解共有5個(gè)，所以ax2，這 5個(gè)整數(shù)解為3，2

18、，1，0，1，從而有a3(或a3)錯(cuò)因剖析：本題主要考查同學(xué)們是否會(huì)運(yùn)用逆向思維解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解上述解法錯(cuò)在忽視ax2中有5個(gè)整數(shù)解時(shí)，a雖不唯一，但也有一定的限制，a的取值范圍在3與4之間，其中包括3，但不應(yīng)包括4，所以錯(cuò)解在確定 a的取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍正解：由解得又因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解共有5個(gè)，所以ax2又知這5個(gè)整數(shù)解為3，2，1，0，1故a的取值范圍是4a3總之，對(duì)于解一元一次不等式（組）問(wèn)題，我們要深刻領(lǐng)會(huì)一元一次不等式（組）的基礎(chǔ)知識(shí)，熟悉這6個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠(yuǎn)離解一元一次不等式（組）的錯(cuò)誤深淵模擬試卷一、選擇題（共8小題，每小題4分，滿分32分）1（2002昆明）將不等式組的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（）ABCD2（2002重慶）已知，關(guān)于x的不等式2xa3的解集如圖所示，則a的值等于（）A0B1C1D23（2004日照）已知關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是（）Aa1Ba2C1a2Da1，或a24不等式axa的解集為x1，則a的取值范圍是（）Aa0Ba0Ca0Da05如果mn0，那么下列結(jié)論不正確的是（）Am9n9BmnCD6關(guān)于x的方程5x+12=4a