一元一次方程知識點(diǎn)整理

1、七年級上一元一次方程知識點(diǎn)整理一、本章知識點(diǎn)梳理：知識點(diǎn)一：方程的相關(guān)概念 知識點(diǎn)二：解方程 知識點(diǎn)三： 用方程解應(yīng)用題 二、各知識點(diǎn)分類講解 知識點(diǎn)一：方程的有關(guān)概念（1）概念總結(jié)1. 方程：含有未知數(shù)的等式就叫做方程.注意未知數(shù)的理解，等，都可以作為未知數(shù)2一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程。 方程：含有未知數(shù)的叫做方程；使方程左右兩邊值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 注意:重點(diǎn)區(qū)分:方程的解與解方程.注： 方程的解和解方程是兩個(gè)不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)值(或幾個(gè)數(shù)值)，而解方程的含義是指求

2、出方程的解或判斷方程無解的過程。 方程的解的檢驗(yàn)方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論。理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用:時(shí)，方程有唯一解；時(shí)，方程有無窮解；時(shí)，方程無解。 一元一次方程：在整式方程中，只含有個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是，系數(shù)不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式為.3.判斷一元一次方程的條件1. 首先是一元一次方程。2. 其次是必須只含有一個(gè)未知數(shù)3. 未知數(shù)的指數(shù)是14. 分母中不含有未知數(shù)例1:判定下列那些方程，那些是一元一次方程？，注意：1、分式的含義，分式不能在方程中出現(xiàn)。2、必

3、須進(jìn)行方程的化簡，最后的結(jié)果中，仍然滿足滿足一元一次方程的定義時(shí)才可。3、是字母，但不是未知數(shù)，是一個(gè)常數(shù)。（2）典型例題例1、下列方程 2（x+1）+3= 3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有( )個(gè).A.1B.2C.3D.4例2、 如果(m-1)x|m| +5=0是一元一次方程，那么m例3、 一個(gè)一元一次方程的解為2，請寫出一個(gè)這樣的一元一次方程.知識點(diǎn)二：解方程1：等式的基本性質(zhì)等式的性質(zhì)(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍是等式。用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc。等式的性質(zhì)(2)：等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果

4、仍是等式。用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c0)，那么 = 等式：用等號“=”來表示關(guān)系的式子叫等式. 性質(zhì)：等式的性質(zhì) 如果，那么；等式的性質(zhì) 如果，那么；如果，那么.要點(diǎn)詮釋：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。即：（其中m0）特別須注意：分?jǐn)?shù)的基本的性質(zhì)主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)（特別是分母中的小數(shù)）化為整數(shù)，如方程：將其化為： 。方程的右邊沒有變化，這要與“去分母”區(qū)別開。典型例題例1、已知等式，則下列等式中不一定成立的是（ ）（A） （B） （C） （D）例2、下列說法正確的是（）A、在等式ab=ac中，兩邊都除以a，可得b=cB

5、、在等式a=b兩邊都除以c2+1可得C、在等式兩邊都除以a，可得b=cD、在等式2x=2a一b兩邊都除以2，可得x=a一b例3、將等式4x=2x+8變形為x=4,下列說法正確的是（ ）A運(yùn)用了等式的性質(zhì)1，沒有運(yùn)用等式的性質(zhì)2 B運(yùn)用了等式的性質(zhì)2，沒有運(yùn)用等式的性質(zhì)1C既運(yùn)用了等式的性質(zhì)1，又運(yùn)用等式的性質(zhì)2 D等式的兩條性質(zhì)都沒有運(yùn)用3.解一元一次方程的一般步驟常用步驟具體做法依據(jù)注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)等式基本性質(zhì)2防止漏乘（尤其整數(shù)項(xiàng)），注意添括號；去括號一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號去括號法則、分配律注意變號，防止漏乘；移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程

6、的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要變號)等式基本性質(zhì)1移項(xiàng)要變號，不移不變號；合并同類項(xiàng)把方程化成axb(a0)的形式合并同類項(xiàng)法則計(jì)算要仔細(xì)，不要出差錯(cuò)；系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x等式基本性質(zhì)2計(jì)算要仔細(xì)，分子分母勿顛倒典型例題例1.巧解含有絕對值的方程|x2|30思路點(diǎn)撥：解含有絕對值的方程的基本思想是先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般的一元一次方程。對于只含一重絕對值符號的方程，依據(jù)絕對值的意義，直接去絕對值符號，化為兩個(gè)一元一次方程分別解之，即若|x|m，則xm或xm；也可以根據(jù)絕對值的幾何意義進(jìn)行去括號，如解法二。解法一：移項(xiàng)，得|x2|3 當(dāng)x20

7、時(shí)，原方程可化為x23，解得x5 當(dāng)x20時(shí)，原方程可化為(x2)3，解得x1。 所以方程|x2|30的解有兩個(gè)：x5或x1。解法二：移項(xiàng)，得|x2|3。 因?yàn)榻^對值等于3的數(shù)有兩個(gè)：3和3，所以x23或x23。 分別解這兩個(gè)一元一次方程，得解為x5或x1。例2.運(yùn)用拆項(xiàng)法解方程：思路點(diǎn)撥：注意到，在解有分母的一元一次方程時(shí)，可以不直接去分母，而是逆用分?jǐn)?shù)加減法法則，拆項(xiàng)后再合并，有時(shí)可以使運(yùn)算簡便。解：原方程逆用分?jǐn)?shù)加減法法則，得移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得。系數(shù)化為1，得例3.利用整體思想解方程：思路點(diǎn)撥：因?yàn)楹械捻?xiàng)均在“”中，所以我們可以將作為一個(gè)整體，先求出整體的值，進(jìn)而再求的值。解：移項(xiàng)通

8、分，得：化簡，得：移項(xiàng)，系數(shù)化1得：一元一次方程練習(xí)題1、2（x5）（x4）3（2x1）（5x3） 2、 3、 4、5、k取什么整數(shù)時(shí)，方程2kx-4=(k+2)x的解是正整數(shù)？6、小張?jiān)诮夥匠蹋▁為未知數(shù)）時(shí)，誤將 - 2x 看成 2x 得到的解為 ，請你求出原來方程的解知識點(diǎn)三：列一元一次方程解應(yīng)用題一、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題，分析題中已知什么，未知什么，明確各量之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系（2）設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)（3）列方程，把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，列出方程（4）解方程（5）檢驗(yàn)，看方程的解是否符合題意（

9、6）寫出答案二、解應(yīng)用題的書寫格式：設(shè)根據(jù)題意解這個(gè)方程答。三、常見的一些等量關(guān)系常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型：類型基本數(shù)量關(guān)系等量關(guān)系(1)和、差、倍、分問題較大量較小量多余量總量倍數(shù)倍量抓住關(guān)鍵性詞語(2)等積變形問題變形前后體積相等(3)行程問題相遇問題路程速度時(shí)間甲走的路程乙走的路程兩地距離追及問題同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程追者走的路程同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程兩地距離追者所走的路程順逆流問題順流速度靜水速度水流速度逆流速度靜水速度水流速度順流的距離逆流的距離(4)打折銷售問題售價(jià)=標(biāo)價(jià)（原價(jià)）折數(shù)/10商品利潤商品售價(jià)商品進(jìn)價(jià)利潤率100售價(jià)進(jìn)價(jià)(1利潤率)抓住價(jià)格升降對利潤率的

10、影響來考慮(5)工程問題工作總量工作效率工作時(shí)間各部分工作量之和1(6)數(shù)字問題設(shè)一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字、個(gè)位上的數(shù)字分別為a，b，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為10ab抓住數(shù)字所在的位置或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系(7)儲蓄問題利息本金利率期數(shù)本息和本金利息本金本金利率期數(shù)(1利息稅率)(8)按比例分配問題甲乙丙abc全部數(shù)量各種成分的數(shù)量之和(設(shè)一份為x)(9)日歷中的問題日歷中每一行上相鄰兩數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大1；日歷中每一列上相鄰的兩數(shù)，下邊的數(shù)比上邊的數(shù)大7日歷中的數(shù)a的取值范圍是1a31，且都是正整數(shù)四、各類型題型分類講解1. 和、差、倍、分問題：增長量原有量增長率 現(xiàn)在量原有量增長量 （1

11、）倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率”來體現(xiàn). （2）多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn).例1：兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？ 解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍， 則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x 由題意，得2（9+x）=15+x 18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18x=-3 答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍（點(diǎn)撥：-3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量）1.一個(gè)數(shù)的3倍比它的2倍多10，若設(shè)這個(gè)數(shù)為x，可得到方程_

12、.2. 用一根長80厘米的繩子圍成一個(gè)長方形，且這個(gè)長方形的長比寬多10厘米，則這個(gè)長方形的長和寬各是_、_.面積是_.2.等積變形題型等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為： 形狀面積變了，周長沒變； 原料體積成品體積。典型例題：1、 一塊正方形鐵皮，四角截去4個(gè)一樣的小正方形，折成底面邊長是50cm的無蓋長方體盒子，容積是45000.求原來正方形鐵皮的邊長。2、 用長7.2m的木料做成如圖所示的“日”字形窗框，窗的高比寬多0.6m。求窗的高和寬。（不考慮木料加工時(shí)損耗）3、 魚兒離不開水，用一個(gè)底面半徑為20厘米，高為45厘米的圓柱形的塑料桶給一個(gè)長方形的玻璃養(yǎng)魚缸倒水，養(yǎng)

13、魚缸的長為120厘米、寬為40厘米、高為1米，將滿滿一桶水倒下去，魚缸里的水會升高多少？3.行程問題： 路程速度時(shí)間 時(shí)間路程速度 速度路程時(shí)間 （1）相遇問題： 快行距慢行距原距（2）追及問題： 快行距慢行距原距 （3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度 逆水（風(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度 抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系例1 甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90公里，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行140公里。 （1）慢車先開出1小時(shí)，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？ （2）兩車同時(shí)開出，相

14、背而行多少小時(shí)后兩車相距600公里？ （3）兩車同時(shí)開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600公里？ （4）兩車同時(shí)開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？ （5）慢車開出1小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？ 解：設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480 解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600 解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(14090)x+480=600 解：設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車。 由題意得，140x=90x+480 解：設(shè)快車開出x小時(shí)后追上

15、慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480 例2 已知輪船逆水前進(jìn)的速度為m千米/時(shí)，水流速度為2千米/時(shí)，則輪船在靜水中的速度是_。 1. A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。已知甲比乙每小時(shí)多走1千米，經(jīng)過2.5小時(shí)兩人相遇，求甲、乙兩人的速度？ 2、（環(huán)型跑道問題）一條環(huán)形跑道長400米，甲、乙兩人練習(xí)賽跑，甲每分鐘跑350米，乙每分鐘跑250米。（1）若兩人同時(shí)同地背向而行，幾分鐘后兩人首次相遇？變式：幾分鐘后兩人二次相遇？（2）若兩人同時(shí)同地同向而行，幾分鐘后兩人首次相遇？又經(jīng)過幾分鐘兩人二次相遇？3、（順、逆水問題）一輪船往返A(chǔ)，B兩港之間，

16、逆水航行需3時(shí)，順?biāo)叫行?時(shí)，水流速度是3千米/時(shí)，則輪船在靜水中的速度是多少？4、（錯(cuò)車問題）在一段雙軌鐵道上，兩列火車同時(shí)駛過，A列車車速為20米/秒，B列車車速為24米/秒，若A列車全長180米，B列車全長160米，兩列車錯(cuò)車的時(shí)間是多長時(shí)間？4.打折銷售問題知識點(diǎn)1：打折銷售中的售價(jià)=標(biāo)價(jià)（也叫原價(jià)）變形公式：打折銷售中的售價(jià)=原價(jià)（1-降價(jià)的百分?jǐn)?shù)）=原價(jià)（1+提價(jià)的百分?jǐn)?shù)）典型例題例題1：原價(jià)100元的商品打8折后價(jià)格為 元；例題2：1）原價(jià)100元的商品提價(jià)40%后的價(jià)格為元；2）某商品原來每件零售價(jià)是a元, 現(xiàn)在每件降價(jià)10%,降價(jià)后每件零售價(jià)是；練習(xí)1：原價(jià)X元的商品打8折

17、后價(jià)格為 元；練習(xí)2：500元的9折價(jià)是_元 ，x折是_元.練習(xí)3：1）原價(jià)X元的商品提價(jià)40%后的價(jià)格為 元；2）原價(jià)100元的商品提價(jià)P %后的價(jià)格為元；3）某種品牌的彩電降價(jià)20%以后，每臺售價(jià)為a元，則該品牌彩電每臺原價(jià)應(yīng)為元；知識點(diǎn)2：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)例題：進(jìn)價(jià)A元的商品以B元賣出，利潤是元變形：售價(jià)=利潤+進(jìn)價(jià)某商品的每件銷售利潤是72元，進(jìn)價(jià)是120，則售價(jià)是_元.知識點(diǎn)3：利潤率=例題：一商店把彩電按標(biāo)價(jià)的九折出售，仍可獲利20%，若該彩電的進(jìn)價(jià)是2400元，那么彩電的標(biāo)價(jià)是多少元？練習(xí)：1）某商品利潤率13，進(jìn)價(jià)為50元，則利潤是_元. 2）某商品的標(biāo)價(jià)是1200元，打八折售

18、出價(jià)后仍盈利100元，則該商品的進(jìn)價(jià)是多少元？知識點(diǎn)4：利潤=利潤率成本例題：某服裝商店以135元的價(jià)格售出兩件衣服，按成本計(jì)算，第一件盈利25 %，第二件虧損25 %，則該商店賣這兩件衣服總體上是賺了，還是虧了？這二件衣服的成本價(jià)會一樣嗎？算一算？知識點(diǎn)5：定價(jià)成本1期望的利潤率利潤率也稱利潤百分?jǐn)?shù)，售價(jià)也稱賣價(jià)例題：某商場根據(jù)市場信息,對商場中現(xiàn)有的兩臺不同型號空調(diào)進(jìn)行調(diào)價(jià)銷售,其中一臺空調(diào)調(diào)價(jià)后售出可獲利10%(相對于進(jìn)價(jià)), 另一臺空調(diào)調(diào)價(jià)后售出則要虧本10%(相當(dāng)于進(jìn)價(jià)),而這兩臺空調(diào)調(diào)價(jià)后的售價(jià)恰好相同, 那么商場把這兩臺空調(diào)調(diào)價(jià)后售出( ) A.即不獲利也不虧本 B.可獲得1%;

19、 C.要虧本2% D.要虧本1%練習(xí)：（1）某種商品的進(jìn)價(jià)為800元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為1200元，后來由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但要保持利潤率不低于5%，則至多可打 A6折 B7折 C8折 D9折（2）某商品的進(jìn)價(jià)為1000元,售價(jià)為1500元,由于銷售情況不好,商店決定降價(jià)出售,但又要保證利潤率不低于5%,則商店最低降_元出售此商品.（3)一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折（即按標(biāo)價(jià)的80%）優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，則這種服裝每件的成本是元5. 工程問題：工程問題：工作量工作效率工作時(shí)間 完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和總工作量1例1. 一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，

20、乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？ 解：設(shè)乙還需x天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位1，由題意得，(+)3+=1 1. 甲、乙工程隊(duì)從相距100m的馬路兩端開始挖溝，甲工程隊(duì)每天挖溝的進(jìn)度是乙工程隊(duì)的2倍少1m，若5天完工，兩隊(duì)每天各挖幾米？6. 數(shù)字問題 （1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c 十位數(shù)可表示為10b+a， 百位數(shù)可表示為100c+10b+a 然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程（其中a、b、c均為整數(shù)，且1a9， 0b9， 0c9）（2） 數(shù)字問題中

21、一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示；奇數(shù)用2n+1或2n1表示.例1一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字和是8，將十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)比原數(shù)的2倍多l(xiāng)0求原來的兩位數(shù)7. 儲蓄問題 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅 利息=本金利率期數(shù) 本息和=本金+利息 利息稅=利息稅率（20%）（3） 利潤100% 例1. 國家規(guī)定存款利息的納稅方法是：利息稅=利息20%，儲戶取款時(shí)由銀行代扣代收.若銀行1年定期儲蓄的年利率為1.98%，某儲戶取出1年到