2019屆湖南省長沙市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、【詳解】第1頁共17頁2019 屆湖南省長沙市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 1 設(shè)全集，集合幾二心卜 / -，匚二、-，則()A A B B.閽:V一門C C .宀卜冬】*匚D D ；卜【答案】D【解析】先求“再求：即可【詳解】因為=丫廠 二，八 H；-： .-,所以 I I 乜=:匕 “CU(AUB)=X|X-3)故選：D【點睛】本題考查集合的運算，熟記并集與補集的定義，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4_2 2已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為()A A. (-2-2)B.(一2C. (2,2)D. (2.-2)【答案】A【解析】先化簡乙再求即可【詳解】4_因為，所以二

2、工，對應(yīng)點的坐標(biāo)為故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算及幾何意義，熟記定義，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2 1】心=0力0)r ,A3 3若雙曲線的一條漸近線與直線 _垂直，則該雙曲線的離心率為()A A 2 2B B.C C.D D.【答案】C【解析】先求漸近線的斜率，再求e即可第2頁共17頁ie = II + A = ;10依題意可得，貝U，所以；.故選：C【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線，熟記性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4 4高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國 新四大發(fā)明”，近日對全國 100100 個城市 的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別

3、為“-xi：|1,它們的平均數(shù)為，方差為；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為，:y 二廠*,”它們的平均數(shù)為，方差為，貝y,分別為（）A A3x + 2 Sb + 2B3x 3SC+29sD3X+29S + 2【答案】C【解析】由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，化簡、運算，即可求解，得到答案【詳解】 1由平均數(shù)的計算公式，可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為二七1數(shù)據(jù) r -.十 _的平均數(shù)為：LI-而K%十2）十（沁十2） +（說豹十2）J =胡3兇十衍十十呵如）十2 * 100J=3x + 2數(shù)據(jù)虧二廣”二、=的方差為 - - - 數(shù)據(jù)A7、H的方差為：而址坯十2）-（3x十2/十（3X2十2-（4十2）十十（3x

4、100十2）-（3x十2）心=舟9（詢-x）2十9（X2-X）2十十9（x100-x）2 = 9$2故選C.【點睛】本題主要考查了樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算與應(yīng)用，其中解答中熟記樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，合理化簡與計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.x-2y i4 15 5已知變量滿足約束條件，則-的最小值為（）A A 9 9B B. 8 8C C 7 7D D 6 6【答案】A【解析】先畫出可行域，再結(jié)合z的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解即可【詳解】第3頁共17頁1 I1 I作出可行區(qū)域（如圖陰影所示），化直線二=7書為，可知當(dāng)直線經(jīng)lx - 2y + 4 = 05過點

5、A取得最小值，此時解得A,的最小值為6故選：D【點睛】本題考查線性規(guī)劃，數(shù)形結(jié)合思想，準(zhǔn)確作圖，熟練計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6 6已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，數(shù)列 滿足 ，且，則 （）A A 8 8B B. 1616C C 3232D D 6464【答案】C【解析】先確定 為等差數(shù)列，由等差的性質(zhì)得進而求得的通項公式和的通項公式，則可求【詳解】由題意知 為等差數(shù)列，因為，所以 因為 ，所以公差 ，則 ，即. ，故，于是故選：C【點睛】本題考查等差與等比的通項公式，等差與等比數(shù)列性質(zhì)，熟記公式與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是 關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題第4頁共17頁17 7.已知是函數(shù)I的極值點，則（）1IA A .B B.

6、1 1C C .D D . 2 2【答案】B【解析】 對函數(shù)求導(dǎo)，利用已知條件求得a,得到導(dǎo)函數(shù)，由極值點的定義求解即可【詳解】F r ih,由. ，得.又：h-二I,當(dāng)X 0X1故是函數(shù)的極值點，故二成立故選：B【點睛】本題考查極值的定義，熟練計算是關(guān)鍵，注意檢驗，是基礎(chǔ)題8 8某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）*1嗣A A.B B.C C.D D.【答案】A【解析】由題意首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合體積公式求解其體積即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為4的圓柱挖掉右上半柱而形成的幾何體.斗、亠r. 4站、rTEX故該幾何體的體積為故選：A.【點睛

7、】求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解.9 9.已知，貝U-的值域為（）L3返A(chǔ) A . . UJUJB.B. 口勾C C .（亍三）D D . . （0*20*2 為第5頁共17頁【答案】B【解析】 化i： -二-I-I：】：I I=2（沁一擴+ 所以恥嚴(yán)1 .故選：B【點睛】本題考查二倍角公式，二次型函數(shù)求值域，熟記公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題1010. 20022002 年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)是以

8、我國古代數(shù)學(xué)家的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的. .弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）. .設(shè)4其中直角三角形中較小的銳角為，且如果在弦圖內(nèi)隨機拋擲10001000 米黑芝麻（大小差別忽略不計），則落在小正方形內(nèi)的黑芝麻數(shù)大約為（）A A. 350350B B. 300300C C. 250250D D . 200200【答案】DI【解析】由二倍角的正切公式推導(dǎo)出-,設(shè)大正方形為ABCD,小正方形為EFGHAE I邊長為a,由tan 0,得大正方形邊長為2a,利用大小正方形的面積比能求出落在小正方形內(nèi)的黑芝麻數(shù)【詳解】2曲悄41tan 20 =- = 7估門戸=_由亠”，得

9、.，設(shè)大正方形為ABCD，小正方形為EFGH，且,AE 1由肚*工咒，得-左二上，則，二心:落在小正方形內(nèi)的黑芝麻數(shù)大約為故選：DD第6頁共17頁【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，二倍角的正切公式，直角三角形計算，熟記公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題g(x)=心 嚴(yán)g(.loB5in)-g(og1m) 2g(2)1111 已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則-的取值范圍是()1A A.25B.絢C.25,十D.胡【答案】A八.X 2/g(log5m) - g(logitn) 0,：故 在單調(diào)遞增，又為奇g(log5m) - g(login) 1）令-/J5）g：4p4當(dāng)i冬兀冬$時f（%）0.當(dāng)-J ?時

10、f（兀）0耗）=（）=_聖64故，即； l的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的 方法來求解最值.二、填空題1313已知m0，若的展開式中”的系數(shù)比 x x 的系數(shù)大 3030,則也=_【答案】2 2【解析】 利用二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值.【詳解】a a 十咱）“展開式通項為：丁* _4_4 詔芬f 且 S 十皿）的展開式中芒的系數(shù)比兀的系數(shù)大 3030Gm = 30,即：2in m -6 - 0s解得：(舍去)或本題正確結(jié)果

11、：【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基 礎(chǔ)題.I IO |第8頁共17頁1414已知兩個單位向量 債和h的夾角為12，則a + b在h方向上的投影為 _1_【答案】I II II【解析】 運用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，先求的值，再利用向量的投影公式,計算即可得到所求值.【詳解】. _ I i2_ 1|(n+brb11因為(a + b)Lb=aLb + |b飛，所以a十b在b方向上的投影為砧 |_故答案為【點睛】本題考查向量的投影，數(shù)量積運算，數(shù)量積定義，熟記公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題1515已知函數(shù)：的圖像在點處的切線與直線7- =二垂直，若數(shù)

12、列I麗；的前項和為，則二_.n【答案】丄【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求a,然后通過數(shù)列 的通項公式，利用裂項法進行求和即可求出 .【詳解】由題意知城一譏；,則L H-,，故 ，；，故_L - _2_ _ !_ 1 1111 L 11 I n伽小創(chuàng)+H=花=喬7)可廣航肓十廠廠十荷-時尸 k? n故答案為【點睛】第9頁共17頁本題考查數(shù)列求和，切線的應(yīng)用，熟記求和基本方法，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題1616.如圖，在長方體 5 乩匸二 5；中，匸；-1，點 在棱上，當(dāng)-取得最小值時，1 1 丄山，則棱的長為_ . .【答案】【解析】把長方形展開到長方形所在平面，利用三點共線時：取得最小值，利用勾股定

13、理列方程組，解方程組求得的值【詳解】把長方形展開到長方形所在平面，如圖，當(dāng),在同一條直線上MA AC 2時，.取得最小值，此時 K莎 方，令m出，,，則【點睛】本小題主要考查空間中的最短距離問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.第10頁共17頁三、解答題1717.在. 中，內(nèi)角 ，的對邊分別為，且4.：工；.（1 1）求號 ;（2 2）若3c sin A = JLISHIB, A AABC的面積為，求 的周長. .【答案】（1） * *；（2） S 二一 匚【解析】（1）根據(jù)余弦定理直接求解可得，進而可得；（2）由正弦定理角化邊可得，再利用面積公式求解即可（2）因為

14、m - liii：.所以 ，即卩解得【點睛】 本題主要考查了正余弦定理及面積公式求解三角形，屬于基礎(chǔ)題1818.如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和 是兩個邊長為 2 2 的正三角形，廠二=比， 為尤的中點， 為：的中點. .假設(shè)線段上存在一點，設(shè):-.- I : -II, 得 .，：；,由直線與平面廠工:所成角的正弦值為列的方程求解即可【詳解】(1)證明：設(shè)為 的中點，連接二，忙:. I, ，,四邊形I卜為正方形./為.的中點， 為川，.的交點， 為汀的中點，即0E為三角形BPF的中位線OE IIFF.因為m匚的面積為13 c12即，所以，【詳解】第11頁共17頁.OE住平面PDC,PF匸平面P

15、DC,.OE II平面PDC.(2). *述為.的中點，陀丄 ACAC =JAB十= 22A0 = & ,.PO二JPAJ AC?=匹EO=沁-屈在APBO中，POF R0=PE2=4,.膽丄Ro.又AC BO =O,.膽 丄 平面應(yīng)UD.又因為圧-工,所以過 分別作，的平行線，分別以它們作為軸，以 為 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 B(L-B(L-1,0)1,0), , C(1J,O)C(1J,O), , D(-3D(-3Q Q, , P(0,0P(0,0 框)假設(shè)線段上存在一點，使直線 與平面所成角的正弦值為.I III II I設(shè)DQ = ?JDP(O Z - + +- +

16、 -【答案】(1)見解析；(2)：丨；(3)見解析【解析】(1)令函數(shù)心:m證明其最小值大于等于0即可(2)原題轉(zhuǎn)第16頁共17頁化為 -： 恒成立，令-li； (3)由(1)，令 ，得，裂項相消求和得即可【詳解】(1)證明：令函數(shù)I :| | “，、 0，即兀十1.日0，得x a - 1 .當(dāng)：，U,即7.時，在I：；.八上單調(diào)遞增，m(x) m(0) = 0，所以當(dāng)】J.時，“心二；在I：；.八上恒成立；當(dāng)-:，即八I時，：在上單調(diào)遞增，在“I丨上單調(diào)遞減,所以煮口 小一 L：|所以不恒成立綜上所述：的取值范圍為(3)證明：由(1)知用點， * 令，：，：，.n +1li - 11“ “

17、“l(fā)n(n + 1) - Inn 時” 血，即，故有l(wèi)i：. i. I 11?ln(ti + 1) - Inn 亍?ax第17頁共17頁I 3n 4 2、n + 1 , ln(n十3rH 2) lnfri -i I)、八,12n- 1所以.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，分類討1論思想，分析求解能力，第三問關(guān)鍵是利用(1)令，裂項求和，是中檔題lx =- 1 I tcosa.2222 在直角坐標(biāo)系中，曲線 的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其中，!.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程p，- 2pccs9 - 4psm6卜4 = 0

18、(1 1)求曲線 和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2(2)已知曲線與曲線 交于兩點，點，求卜*：卜的取值范圍. .【答案】(1)曲線 的普通方程.；二：4，其中，；曲線 的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】(1)根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化，可得曲線的普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得曲線的直角坐標(biāo)方程(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線，利用韋達(dá)定理和參數(shù) 的幾何意義，即可求解，得 到答案.【詳解】(1)曲線的普通方程11 :其中，！;|x 1 I tCOSOk(2)將，-代入12n因為:-I :上述各式相加可得化簡得-J:1因為J二 土 所以.亡二設(shè)兩點對應(yīng)的第18頁共17頁,則有勺十毗池屮嚴(yán) X|PA|2+ |PB|2=(|PA| I |PB|)2- 2|PA|PB|弓(叩 + 冏)2% t=(片 + )2-2甲2 - 1白口 -6丘(6J01所以二的取值范圍是【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及合理利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力屬于基礎(chǔ)題.2323