第08章06節(jié)空間曲面(1)

1、第6節(jié) 空間曲面研究空間曲面有兩個(gè)基本問題:(1) 已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程(2) 已知曲面方程，研究曲面形狀6.1柱面先討論一個(gè)方程及其圖形:【例6.1】在空間中方程表示怎樣的幾何對(duì)象? 解設(shè)在空間中方程表示的幾何對(duì)象為。在平面上的投影點(diǎn)是。方程不含變量，不論取何值都不影響是否成立。我們知道，方程表示平面上一條曲線 也就是說，過點(diǎn)且平行于軸的整條直線都落在上的充要條件是故，是由保持平行于軸的直線沿面上的曲線移動(dòng)而形成的（圖6.3）這樣的稱為柱面。圖6.2圖6.1圖6.3一般地，我們稱保持平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線形成的曲面為柱面，定曲線稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線稱為柱面的母線（圖

2、6.2）結(jié)論：在空間中，方程表示以為準(zhǔn)線且母線平行于軸的柱面。（而方程在平面解析幾何表示一條曲線。在空間中寫平面上曲線的方程要加上限制。）例如，圖6.1所示，在空間中表示一個(gè)圓柱面結(jié)論：在空間中，每張曲面的方程都是一個(gè)三元方程；每個(gè)三元方程都表示一張曲面。類似地，只含不含的方程與與只含不含的方程，分別表示母線平行于軸和軸的柱面.圖6.4圖6.5例如，表示母線平行于軸的橢圓柱面（圖6.4）表示母線平行于軸的拋物柱面（圖6.5）圖6.6表示母線平行于軸的雙曲柱面（圖6.6）思考題：1.平面能看成柱面嗎?如果能夠，可以看成是怎樣的一個(gè)柱面?（準(zhǔn)線是直線：，母線平行于軸。）【例6.2】設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程

3、為，母線的方向向量，求此柱面的方程.解設(shè)柱面任一點(diǎn)，過點(diǎn)的母線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則柱面的母線方程可表示為， 或 將其代入準(zhǔn)線方程，有，消去，得柱面的方程為.6.2旋轉(zhuǎn)曲面圖6.7平面上的曲線繞該平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸，稱為母線設(shè)平面上已知曲線的方程為，將繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)以軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，現(xiàn)求的方程.點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一個(gè)圓，此圓與平面有兩個(gè)交點(diǎn)和，其中。如圖6.7所示，因此故，的方程為. (6.2)總結(jié)繞軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法：轉(zhuǎn)軸的保持不變，在中將改寫成就得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程在上面總結(jié)中，輪換得到其他情形旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法。（1）繞軸

4、旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法：轉(zhuǎn)軸的保持不變，在中將改寫成就得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程；（2）繞軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法：轉(zhuǎn)軸的保持不變，在中將改寫成就得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程（3）繞軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法：轉(zhuǎn)軸的保持不變，在中將改寫成就得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程（4）繞軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法：轉(zhuǎn)軸的保持不變，在中將改寫成就得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程（5）繞軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法：轉(zhuǎn)軸的保持不變，在中將改寫成就得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程有時(shí)反過來問：給定的旋轉(zhuǎn)曲面是由哪條母線繞哪個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)得到的？關(guān)鍵是哪兩變量平方和是上面方法改過來的，然后反過來用上面的方法。例如【P47 4(4)】方程表

5、示的旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的?解 是把的改寫成就得到的。因此，曲面是母線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得的旋轉(zhuǎn)曲面。思考題：2.試寫出其他兩個(gè)坐標(biāo)面上的定曲線分別繞相應(yīng)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.【例6.3】(1)平面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的方程是，此曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面（圖6.8）圖6.8圖6.9(2)平面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的方程是，此曲面叫做旋轉(zhuǎn)橢球面（圖6.9）(3) 平面上的雙曲線繞軸和軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的方程分別是 與 ，兩曲面分別稱為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面（圖6.10）與雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面（圖6.11）圖6.10圖6.11圖6.12【例6.4】直線繞另一條與它相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面

6、（圖6.12）兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為軸的圓錐面的方程解設(shè)在平面上，直線的方程為，因?yàn)檩S是旋轉(zhuǎn)軸，故得圓錐面的方程，即(6.3)圖6.12中為圓錐面的半頂角【例6.5】寫出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明它們分別表示什么曲面？(1) 動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于它到平面的距離；(2) 動(dòng)點(diǎn)到軸的距離等于它到平面的距離的兩倍解(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由條件得即 或 .這是以軸為旋轉(zhuǎn)軸，開口朝下的旋轉(zhuǎn)拋物面（圖6.13）(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由條件得，即這是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為軸的圓錐面（圖6.14）圖6.13圖6.14習(xí)題86A類1.指出下列方

7、程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形：*(1); (2); (3); *(4).2. 求下列柱面的方程:(1) 準(zhǔn)線為 ，母線平行于軸;(2) 準(zhǔn)線為 ，母線平行于軸;*(3) 準(zhǔn)線為 ，母線平行于直線.解(3)母線的方向向量。設(shè)柱面任一點(diǎn)，過點(diǎn)的母線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則柱面的母線方程可表示為， 或 將其代入準(zhǔn)線方程，有，消去，由前式解出，代入后式得，化簡得所求柱面的方程.3.寫出下列曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程：*(1)平面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)；(2)平面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)；(3)平面上的圓繞軸旋轉(zhuǎn)；解 (3)旋轉(zhuǎn)曲面的方程：即（可以進(jìn)一步化簡）*(4)平面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn).4.指出下列方程所表示的曲面哪些是旋轉(zhuǎn)曲面，這些旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：(1) ; (2) ; (3) ; (4) .5.寫出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，它們分別表示什么曲面？(1) 動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于它到點(diǎn)的距離的一半;*(2) 動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到軸的距離;(3) 動(dòng)點(diǎn)到軸的距離等于它到平面的距離的兩倍.解 （2）動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離：；到軸的距離：。所以軌跡方程即這是準(zhǔn)線為，母線平行于軸的拋物柱面。6.畫出下列方程所表示