第08章05節(jié)空間直線(1)

1、第5節(jié) 空間直線（考點）5.1 空間直線的方程（題目（考點）：求滿足給定條件的直線的方程。）1 空間直線的對稱式方程和參數(shù)方程若一非零向量平行于一條已知直線，這個向量就稱之該直線的方向向量，將其記為.顯然，直線上的隨便非零向量均可作為此直線的方向向量下面我們寫直線的方程。已知直線上隨便一點和它的隨便一個方向向量，空間直線就完全確定下來了，就可以寫它的方程了設是空間中任一點。因此，過點且以為方向向量的直線的方程為圖5.1 (5.1)稱方程組(5.1)為直線的對稱式方程或點向式方程或標準方程 (5.1)是三個相等的比，允許某些分母為0。當某分母為0時，應理解為其分子也是0。如，則(5.1)理解為：

2、若方向數(shù)中有兩個數(shù)為零，如，則(5.1)理解為：(5.1)是三個比相等，但比可以是任意實數(shù)。設 ，則可得過點且以為方向向量的直線的參數(shù)方程:， (5.2) 寫直線的方程的方法：先根據(jù)已知條件求出上隨便一點和它的隨便一個方向向量，再代入(5.1)或(5.2)即得的方程?！纠?.1】 求過點且與平面垂直的直線方程.解由于所求直線與平面垂直，故可取此平面的法向量為直線的方向向量，即取，由公式(5.1)及公式(5.2)得直線的對稱式方程及直線的參數(shù)方程思考題:1在利用公式(5.1)或公式(5.2)求直線的方程時，關鍵是要求得哪個量？2若直線過兩已知點，求直線的方程.解 取。的對稱式方程參數(shù)方程2 空間

3、直線的一般方程空間直線可看成兩平面和的交線事實上，若兩個相交的平面和分別為和，則它們的交線上的任一點的坐標必然同時滿足和的方程.反之，如果點不在直線上，那么它不可能同時在平面和上，所以它的坐標不能同時滿足和的方程，由此得直線的方程(空間直線的一般方程): (其中不成立) (5.3)一般地說，過空間一直線的平面有無限多個，所以只要在這無限多個平面中隨便選其中的兩個，將它們的方程聯(lián)立起來，就可得到此空間直線的方程思考題:3直線的對稱式方程(5.1)能否視為直線的一般方程(5.3)？特別地，對稱式方程(5.1)中若中有一個或兩個為零時，能否也視為直線的一般方程，這時直線具有怎樣的特點？21 對稱式方

4、程和一般方程互化事實上是兩個等式。因此，化為一般方程?；话惴匠虨閷ΨQ式方程的方法：（1）求的隨便一個解。（比如說令再解出和）（2）。取。（3）把和代入（5.1）即得對稱式方程。【例5.2】 用對稱式方程及其參數(shù)方程表示直線.解先找出這直線上的一定點，如：取代入方程組解得，從而得到直線上的一點再求該直線的一個方向向量.作為兩平面的交線，它與兩平面的法向量都垂直，可取的方向向量.因此，所給直線的對稱式方程為，直線的參數(shù)方程為.思考題:4證明:若直線由方程(5.3)給出，則的方向向量【例5.3】 求過點且與平面及平行的直線方程.解1由于直線與平面及平行，故直線與平面及的法向量都垂直，因，取直線的方

5、向向量因此，所求直線方程為解2由于直線與平面及平行，故必平行于及的交線在這條直線上取兩點，如令，得，解得，即，類似地，求得，于是可取直線的方向向量，從而也可得直線方程(如解法1所求).解3過點且平行于平面的平面方程為 即 過點且平行于平面的平面方程為，即 由于所求直線既在平面又在平面上，故其方程為【例5.4】 求直線：在平面:上的投影直線的方程解過直線作平面垂直于平面，與的交線即所求投影直線，如圖5.2所示，由條件，平面的法向量為.設平面的法向量為，則.設直線的的方向向量為，由于直線在平面上，. 圖5.2由故，又，可在直線上求得一點，從而得，即故所求直線的方程為.（測）【例5.5】 求過點且與

6、直線垂直相交的直線的方程.解1首先過點作一平面垂直于已知直線，為此取的方向向量作為的法向量，得的點法式方程，即的參數(shù)方程為，設垂足。將代入的方程，可解得（，也得），從而與的交點為，故直線的方向向量，或，故直線的方程為.（上面求與的交點時，本來要求三個未知數(shù)，用了的參數(shù)方程后，只有一個未知數(shù)要求。這是參數(shù)方程的妙用。）解2設所求直線的方程為，其方向向量.由條件，的方向向量，且，可得因點在上，由于直線與相交，故三向量共面，從而有，即，由，解得取，故所求直線的方程為.解3過點可作一平面垂直于已知直線由解法1已求得，.又因已知直線與點可確定平面，故所求直線就是與的交線.設的法向量為由條件，的方向向量.

7、則，但由于在上，則，故取，即，因此，的方程為即，故所求直線的方程為5.2 直線與直線、直線與平面的位置關系1 直線與直線的位置關系空間兩直線的相關位置可以分為幾種情形：共面（其中又可分為相交、平行、重合等幾種情形）和不共面（異面）我們可利用向量來研究兩直線的位置關系.設兩直線的方程為， ，其中過點方向向量；過點，方向向量.（1）和共面的充要條件是三向量，共面，即，或。兩直線，異面是共面的否定。（2）。（平行包括了重合。）與重合的充要條件是且（或）。 （3）。（4）與相交的充要條件是：和共面且和不平行。兩直線之間的夾角用它們的方向向量的夾角（通常不取鈍角）表示故兩直線，的夾角由公式 (5.4)給

8、出.【例5.6】 已知兩直線，(1) 證明，相交并求，的交點；(2) 求，的夾角：(3) 求，所確定的平面的方程解(1) 由條件，的方向向量分別為，過點，過點，作向量。由于，和 共面；且，和 不平行。故和相交其參數(shù)方程分別為：，（不能兩條直線用同一個參數(shù)！）由于，相交，所以其交點坐標必然同時滿足以上兩個方程組，即有解得，從而求得,的交點為(2) 設，的夾角為，則有，(3) 取。，所確定的平面的方程：，化簡得 2 直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系有幾種情形：直線在平面上、直線與平面平行、直線與平面相交. 我們?nèi)钥衫孟蛄縼硌芯窟@些關系.設直線:，平面:，則的方向向量，平面的法向量.(1)

9、 .(2) 。（直線與平面平行包括）.的充要條件是且（即）。(3) 直線與平面相交于一點的充要條件是 .圖5.3如圖5.3所示，當直線與平面不垂直時，直線與它在平面上的投影直線的夾角()，稱為直線與平面的夾角.當直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為.，于是有，. (5.5)【例5.7】 已知直線與平面，(1) 試問與是否相交?(2) 若與相交，試求與的交點與交角.解(1) 由條件，直線的方向向量，平面的法向量，由于，即。故與相交于一點.(2) 聯(lián)立直線的兩方程和平面的一方程，得三元一次方程組，解得，故與的交點為.也可將直線寫成參數(shù)方程形式代入平面方程，解得參數(shù)的值，從而得交點坐標.由公式(

10、5.5)，有，故與的交角為.5.3 過直線的平面束設直線由方程組 所確定，其中系數(shù)與不成比例作含有參數(shù)的三元一次方程(5.8)對于任何一個值，方程(5.8)表示一個平面，記為若一點在直線上，則該點的坐標必同時滿足方程(5.6)和(5.7)，因此，必滿足(5.8)，是過的一個平面。下面無窮多個平面的集合稱為過的平面束（缺少平面）稱(5.8)式為過定直線的平面束方程平面束的應用：在平面束中確定一個滿足已給條件的平面。方法：把已給條件代入（5.8）求出，再把得到的代回（5.8）即得要求的平面方程。對于某些平面或直線問題，用平面束方法比較簡便.【例5.8】 用平面束方法求解例5.4.（【例5.4】 求

11、直線：在平面:上的投影直線的方程）解欲求直線：在平面:上的投影直線的方程.圖5.5直線在平面上的投影直線，也應在過且垂直于平面的平面上（圖5.5），即在中確定一個垂直于的平面。過直線的平面束方程為，即，其中為任意常數(shù)使它與平面相垂直條件為，從而有，故過直線且垂直于平面的平面為，即，從而投影直線的方程為習題85A類1寫出下列直線的對稱式方程及參數(shù)方程：(1) *(2) 解 （1）令解得，取。取。稱式方程：；參數(shù)方程：。2求滿足下列條件的直線方程:(1) 過兩點，;(2) 過點且平行于直線;(3) 過點且同時平行于平面;*(4) 過點且垂直平面;(5) 過點且與直線垂直相交;解 （5）的，參數(shù)方程

12、。設交點為。由得，解得。從而交點。取。所求直線方程：，即。3求下列投影點的坐標：(1) 點在平面上的投影點；(2) 在直線上的投影點解 （2）的參數(shù)方程，。設投影點為。由有。解得。投影點。4求下列投影直線的方程：*(1) 直線在三個坐標面上的投影直線；(2) 直線在平面上的投影直線5問兩直線與是否相交?如相交，試求它們的交點.6求直線與之間的夾角解 的方向向量；的方向向量。設所求夾角為，則，。7求直線與平面之間的夾角*8設是直線外的一點，是直線上的任意一點，且直線的方向向量為，證明：點到直線的距離為，由此計算：(1) 點到直線的距離；(2) 點到直線的距離.解 把的始點放在，以和為邊作。則的面積等于，是的底，