柯西不等式中取等條件的妙用

1、柯西不等式中取等條件的妙用設(shè)是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)或存在一個(gè)數(shù)，使得時(shí)，等號(hào)成立. 以上不等式就是選修4-5不等式選講中所介紹的柯西不等式（簡記為“方和積不小于積和方”），其應(yīng)用十分廣泛和靈活，善于挖掘等號(hào)成立的條件具有的潛在功能，可用于求代數(shù)式的值、解方程、證明等式、判斷三角形的形狀、確定點(diǎn)的位置等.下面分類例析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.一、妙用取等條件求代數(shù)式的值例1 設(shè)，且，求的值.解析：構(gòu)造兩組實(shí)數(shù)；由柯西不等式，得，即，上式等號(hào)成立的充要條件是令，則，所以點(diǎn)評(píng)：本題若直接求解，過程較繁.借助柯西不等式，順利地實(shí)現(xiàn)了從不等到相等的轉(zhuǎn)化，干凈利落.其中不等式等號(hào)成立的條件及其適當(dāng)?shù)?/p>

2、變形是實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的橋梁.二、妙用取等條件解方程例2 解方程.分析： 利用二維形式的柯西不等式把變形后求最值，取“”號(hào)時(shí)的值即為原方程的根.解析： .其中等號(hào)成立的充要條件是：，解得.故原方程的根為.點(diǎn)評(píng)： 利用二維形式的柯西不等式，取“”號(hào)的充要條件是，因此，在解題時(shí)，對(duì)照柯西不等式，必須弄清要求的問題中哪些數(shù)或代數(shù)式分別相當(dāng)于柯西不等式中的“”，否則容易出錯(cuò).三、妙用取等條件證明等式例3 （1996年香港國際奧林匹克競賽試題）已知、均為銳角，且，求證：證明 ： 已知等式的左邊可視為兩數(shù)的平方和，且兩個(gè)分母的和為1，利用柯西不等式，得 ，上式等號(hào)成立的充要條件是，即又由、均為銳角，可得，注意

3、到，點(diǎn)評(píng)： 構(gòu)造恰當(dāng)?shù)目挛鞑坏仁讲㈧`活利用取等條件可以使許多數(shù)學(xué)問題的解決變得猶如囊中取物，易如反掌四、妙用取等條件判斷三角形的形狀例4 三角形三邊對(duì)應(yīng)的高分別為，為此三角形內(nèi)切圓的半徑.若，試判斷此三角形的形狀.解析： 由條件知，又由條件知，.由柯西不等式，得，即.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，注意到，可推知.故所給三角形為等邊三角形.點(diǎn)評(píng) ：本題以三角形面積公式為轉(zhuǎn)化依據(jù)，巧妙利用柯西不等式中等號(hào)成立的條件，輕松判斷出三角形的形狀.五、妙用取等條件確定點(diǎn)的位置例5 為內(nèi)一點(diǎn)，分別為到各邊所引垂線的垂足，求使取最小值時(shí)的點(diǎn).解析： 如圖，設(shè)的三邊長，面積為，記，則.由柯西不等式，得，即，亦即.當(dāng)且僅當(dāng)，也就是時(shí)等號(hào)成立，.故使取最小值時(shí)的點(diǎn)是的內(nèi)心.