求不定積分的幾種方法32

1、求不定積分的幾種方法劉燈（吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南 吉首-416000）摘 要 ：本文比較全面的總結(jié)了幾種求不定積分的方法，并給出了相應(yīng)的例子.關(guān)鍵詞：直接積分；第一換元積分；第二換元積分；分部積分；有理函數(shù)積分Several methods of seeking indefinite integral Liu deng(Jishou University, School of Mathematics and Computer Science, Hunan Jishou -416000) Abstract: This article compares a comprehensive

2、summary of several seeking indefinite integral method, and gives examples of the corresponding Key words: direct integral; first substitution integral; second substitution integral; branch points; rational function integral 1引言 定義1.1設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上都有定義，若，則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。定義1.2函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在的不定積分，記作，其中稱為積分號(hào)，為

3、被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，為積分變量。定義1.3若是的一個(gè)原函數(shù)，則稱 的不定積分是一個(gè)函數(shù)族，其中是任意常數(shù)，為方便起見(jiàn)，寫(xiě)作 .這時(shí)又稱C為積分常數(shù)，它可取任一實(shí)數(shù)值。定義1.4 設(shè)在上有定義，在上可導(dǎo)，且，并記.(i)若在上存在原函數(shù)，則在上也存在原函數(shù),，即 . (1)(ii)又若 ，則上述命題(i)可逆，即當(dāng)在上存在原函數(shù)時(shí)，在上也存在原函數(shù)，且=，即 =. (2)以上(i)和(ii)分別稱為第一換元積分法和第二換元積分法，公式（1）和（2）分別稱為第一換元公式第二換元公式。定義1.5若與可導(dǎo)，不定積分存在，則也存在，并有 （3）公式（3）稱為分部積分公式，常簡(jiǎn)寫(xiě)作.定義1.6有理函數(shù)

4、是指由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù)，其一般形式為， （1）其中為非負(fù)整數(shù)，與都是常數(shù)，且若，則稱它為真分式；若，則稱它為假分式。定義1.7基本積分公式如下：（1）. （2）.(3) . （4）.（5）. (6).（7）.（8）.(9.(10).(11).(12).(13).(14)2主要方法的列舉及運(yùn)用2.1根據(jù)基本積分公式求不定積分例2.1 求的不定積分。解 .2.2用第一換元積分法來(lái)求不定積分。利用該方法求不定積分的步驟是：（1）將湊成形式；（2）作變量代換，令；（3）換回原來(lái)的變量，即代替，從而求出函數(shù)的積分。例2.2 求.解 由可令，則得2.3利用第二換元積分法求不定積分，該方法的步

5、驟為：（1）變量代換；（2）換回原來(lái)的積分。例2.3 求解 令，于是=+C=+C.2.4利用分部積分法求不定積分，運(yùn)用此方法的關(guān)鍵在于與的選取，而與的選取又必須注意以下兩點(diǎn)：（1）要容易求；（2）比要容易求。例2.4 求.解 令，則有由分部積分公式求得.2.5用有理函數(shù)的不定積分法。看到一個(gè)不定積分函數(shù)，如果用換元積分法和分部積分法都無(wú)法解答出來(lái)，則必須用有理函數(shù)積分法。有理函數(shù)的積分可歸結(jié)為多項(xiàng)式和最簡(jiǎn)真分式的積分，該方法適合于求有理函數(shù)的不定積分。例2.5 求.解 在本題中，由于被積函數(shù)的分母只有單一因式，因此，部分分式分解能被簡(jiǎn)化為現(xiàn)分別計(jì)算部分分式的不定積分如下：=由遞推公式，求得其中=于是得到2.6用三角函數(shù)有理式的不定積分法。通常情況下，當(dāng)被積函數(shù)是時(shí)，通過(guò)變換，可把它化為有理函數(shù)的不定積分。特別地，當(dāng)被積函數(shù)是及的有理式時(shí)，采用變換往往較為方便。例2.6 求解 令，則有=2.7某些無(wú)理根式的不定積分可化為有理函數(shù)的不定積分，然后再根據(jù)有理函數(shù)的不定積分法來(lái)求。（1）當(dāng)無(wú)理根式為型時(shí)，只需令，就可化為有理函數(shù)的不定積分；（2）當(dāng)無(wú)理根式為型時(shí)，時(shí)，時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為以下三種類型之一：當(dāng)分別令后，它們