高中數(shù)學(xué)不等式知識點(diǎn)

1、不 等 式 知識要點(diǎn)1. 平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：（當(dāng)a = b時取等）特別地，（當(dāng)a = b時，）例1數(shù)軸穿根法：不等式的解為（ ）A1x1或x2Bx3或1x2 Cx=4或3x1或x2Dx=4或x3或1x2求定義域的時候不要寫成并集；分子分母同時約去一項(xiàng)前必須先保證約去的一項(xiàng)不為零例2解關(guān)于的不等式： 分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng) 根的分布你還記得嗎。？例3 己知三個不等式： (1)若同時滿足、的值

2、也滿足，求m的取值范圍；(2)若滿足的值至少滿足和中的一個，求m的取值范圍。分析：本例主要綜合復(fù)習(xí)整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數(shù)形結(jié)合思想，解本題的關(guān)鍵弄清同時滿足、的值的滿足的充要條件是：對應(yīng)的方程的兩根分別在和內(nèi)。不等式和與之對應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。解：記的解集為A，的解集為B，的解集為C。解得A=（-1，3）；解得B=（1） 因同時滿足、的值也滿足，ABC 設(shè)，由的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時，即可滿足（2） 因滿足的值至少滿足和中的一個，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而

3、說明：同時滿足的x值滿足的充要條件是：對應(yīng)的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-，0)和3，+)內(nèi)，因此有f(0)0且f(3)0，否則不能對AB中的所有x值滿足條件不等式和與之對應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系例6若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范圍分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫出來即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解解：因?yàn)閥=f(x)的

4、圖象經(jīng)過原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組()變形得()所以f(-2)的取值范圍是6，10解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組()所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分因?yàn)閒(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范圍是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43

5、f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形要避免出現(xiàn)以下一種錯解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11常見題型：例1已知（為常數(shù)），求的最小值例2已知 ，且，求的最小值例3當(dāng)時，求證：例4 在某兩個正數(shù)之間插入一個正數(shù)，使成等比數(shù)列；若另外插入兩個正數(shù)，使成等差數(shù)列，求證：大家來挑錯！分析：結(jié)合上一系列題目中的（5）-（7）題可知，本題的解答忽略了對基本不等式使用時必須是正數(shù)這一點(diǎn)注意事項(xiàng)。本題的解答在使用基本不等式時沒有找到定值條件，只是盲目的套用基本不等式的形式，導(dǎo)致所得結(jié)果并不是最小的值。提醒同學(xué)注意：在使用基本不等式求最值為

6、題時，式中的積或和必須是定值。本題的解答沒有注意本身的限制，使得基本不等式的等號無法取得。提醒同學(xué)注意：最值是否存在要考慮基本不等式中的等號是否能取得，在什么情況下取得 (x+y)()9. （想一想錯在何處？）例4（2007山東卷）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為_.【思路點(diǎn)撥】先用恒過定點(diǎn)這一條件建立一個關(guān)系式, 再用均值不等式求最值.【解析】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，即，【點(diǎn)評】本題是用函數(shù)、方程作為隱性條件建立等量關(guān)系式，利用均值不等式求最值的問題.題目小巧而靈活多變，是立意很好的題目.含絕對值的不等式解法（一）主要知識：1絕對值的幾何意義：是指數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；是指數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離 2當(dāng)時，或，； 當(dāng)時，（二）主要方法：1解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉(zhuǎn)化為一元一次（二次）不等式（組）進(jìn)行求解；2去掉絕對值的主要方法有：（1）公式法：，或（2）定義法：零點(diǎn)分段法；（3）平方法：不等式兩邊都是非負(fù)時，兩邊同時平方（三）例題分析：例1解下列不等式：（1）；（2）；（3）解：（1）原不等式可化為或，原不等式解集為（2）原不等式可化為，即，原不等式解集為（3）當(dāng)時，原不等式可化為，此時；當(dāng)時，原不等式可化為，此時；當(dāng)時，原不等式