黑體輻射普朗克公式推導(dǎo)

1、黑體普朗克公式推導(dǎo)1 空腔內(nèi)的光波模式數(shù)在一個(gè)由邊界限制的空間V內(nèi)，只能存在一系列獨(dú)立的具有特定波矢的平面單色駐波。這種駐波稱為電磁波的模式或光波模式，以為標(biāo)志。設(shè)空腔為立方體，如下圖圖1 立方體空腔沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向傳播的波分別應(yīng)滿足的駐波條件是 (1)式中m、n、q為正整數(shù)。將代入(1)式中，有 則在x方向上，相鄰兩個(gè)光波矢量的間隔為： 同理，相鄰兩光波矢在三個(gè)方向的間隔為： (2)因此每個(gè)波矢在波矢空間所占的體積元為 (3)圖2 波矢空間在波矢空間中，處于和之間的波矢對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心、為半徑、為厚度的薄球殼內(nèi)，這個(gè)球殼的體積為 (4)式中、。根據(jù)(1)式的駐波條件，的三個(gè)分量只能取

2、正值，因此和之間的、可以存在于V中的光波模式在波矢空間所占的體積只是上述球殼的第一卦限，所以 (5)由(3)式已知每個(gè)光波矢的體積元，則在該體積內(nèi)的光波模式數(shù)為 (6)式中乘以2是因?yàn)槊總€(gè)光波矢量都有兩個(gè)可能的偏振方向，因此光波模式數(shù)是光波矢量數(shù)的2倍。由于，上式可以用波長(zhǎng)形式表示，即在體積為V的空腔內(nèi)，波長(zhǎng)間隔的光波模式數(shù)為： (7)2 黑體輻射公式黑體輻射是黑體溫度T和輻射場(chǎng)波長(zhǎng)的函數(shù)?？捎脝紊芰棵芏葋?lái)描述，其定義為：在單位體積內(nèi)，波長(zhǎng)附近的單位波長(zhǎng)間隔中的電磁輻射能量，量綱為Jm-4。根據(jù)量子化假設(shè)和玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在溫度T的熱平衡情況下，黑體輻射分配到腔內(nèi)每個(gè)模式上的平均能量

3、為 (8)因此單色能量密度為 (9)即如在空腔上有一單位面積的開(kāi)口，則在單位時(shí)間，半球空間輻射到此單位面積的能量為附錄1。按照(9)式，從黑體腔上的開(kāi)口向半球空間輻射出的單色能量為 (10)這就是溫度T的黑體的光譜輻出度公式。附錄1對(duì)于作用在如圖1的空腔表面的駐波，設(shè)垂直于面積A，且立體角為dW的方向上，光通量（單位時(shí)間通過(guò)的波的能量）為I和-I，如圖3。圖3 設(shè)光速為c，光運(yùn)動(dòng)單位距離的時(shí)間為1/c，則在立體角內(nèi)的光能密度（單位體積的光能量）P為 (1)在諧振腔內(nèi)，光輻射強(qiáng)度是各向同性的，因此對(duì)與面積A法線夾角為q的入射光，光通量仍為I，而該方向的通量為 (2)因此在整個(gè)2p半球空間，一個(gè)小面積上通過(guò)的光通量如圖4圖4 作用在一個(gè)小面積上的所有方向的光輻射則在面積A上的總光通量為 將(1)代入有 (3)因?yàn)榍粌?nèi)各方向的輻射是均勻分布的，所以任意方向立體角dW的能量密度P與腔內(nèi)的總能量密度r