高數(shù)學(xué)習(xí)資料講義及全部重點四

1、第四章不定積分教學(xué)目的與要求 1理解原函數(shù)概念、不定積分和定積分的概念。2 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。3 求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。在第二章中，我們討論了怎樣求一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)問題，本章將討論它的反問題，即要求一個導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，也就是求一個可導(dǎo)函數(shù)，使它的導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)。這是積分學(xué)的基本問題之一 。4.1 不定積分的概念與性質(zhì)一 原函數(shù)與不定積分的概念定義1 如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對任一，都有或， 那末函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間上的原函數(shù)。例如，x2是2x的原函數(shù)，lnx是1/x的原函數(shù)

2、因，故是的原函數(shù)。注：1由此定義上問題是：已知f(x),如何去求原函數(shù)2那一個函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I上連續(xù)，則f(x)在I上一定有原函數(shù)。注意：并不是任意在I上有定義的函數(shù)都有原函數(shù)，反例定理2：設(shè)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，且F(x)是其中一個原函數(shù)，則1 f(x)的任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)2 F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)定義2 在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分，記作。其中記號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。由此定義及前面的說明可知，如果是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，那么就

3、是的不定積分，即。因而不定積分可以表示的任意一個原函數(shù)。第一，如果有，那么，對任意常數(shù)C，顯然也有，即如果是的原函數(shù)，那也是的原函數(shù)。 第二，當(dāng)為任意常數(shù)時，表達(dá)式就可以表示的任意一個原函數(shù)。也就是說，的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族。例 1 求.解 由于=，所以是的一個原函數(shù)。因此.例 2 求.解 當(dāng)時,由于=,所以是在內(nèi)的一個原函數(shù)。因此，在內(nèi)，當(dāng)時，由于=，由上同理，在內(nèi)，將結(jié)果合并起來，可寫作例3、已知是的一個原函數(shù)， 求：解： 例4、的導(dǎo)函數(shù)是 ，則的原函數(shù)，(、為任意常數(shù))例5、在下列等式中，正確的結(jié)果是 C A、 B、C、 D、二基本積分表由于積分是微分的逆運算，因此可以有微

4、分基本表導(dǎo)出積分表。見課本積分表。三不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義，可以推得它的如下兩個性質(zhì)：性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和，即.注意：差的積分等于積分的差性質(zhì)2 求不定積分時,被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來,即(是常數(shù),).例 1 求.解 =例2 例3例4 4.2 兩類換元法及舉例利用基本積分表與積分的性質(zhì),所能計算的不定積分是非常有限的.因此,有必要進(jìn)一步來研究不定積分的求法.把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來求不定積分,利用中間變量的代換,得到復(fù)合函數(shù)的積分法,稱為換元積分法,簡稱換元法.換元法通常分成兩類.一 第一類換元法 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，即

5、和令u =(x)，其中(x)是可導(dǎo)的，則F(u)=F(x)顯然是復(fù)合函數(shù)，又由于：這說明，則定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u), u =(x)可導(dǎo), 則有換元公式:注意：1不是的原函數(shù)！2 F(u)是f(u)的原函數(shù)是針對積分變量u而言的，是的原函數(shù)是針對積分變量x而言的。3運用第一類積分換元法關(guān)鍵在于設(shè)法將被積函數(shù)湊成的形式，在令變成不定積分進(jìn)行計算，最后用進(jìn)行回代。4在下，例1 求2cos2xdx.解 作變換u=2x,便有2cos2xdx =cos2x·2dx =cos2x·(2x)' dx =cos u du = sin u+C,再以u=2x代入,即得2co

6、s2xdx =sin 2x+C.例2 求tan x dx.解 tan x dx =sin x /cos x dx.因為 -sin x dx = d cos x,所以如果設(shè)u=cos x,那么du=-sin xdx,即 -du=sin xdx,因此.類似地可得cot x dx =ln|sin x|+C.在對變量代換比較熟練以后,就不一定寫出中間變量u.例3 求ch(x/a) dx.解 .例4 求 (a>0).解 .下面的一些求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù),在計算這種積分的過程中,往往要用到一些三角恒等式.例5 求sin3 x dx.解 sin3x dx =sin2x sinx

7、dx=-(1-cos2x)d(cosx)=-d(cosx)+cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C.例6 求cos2 x dx.解 .附加：1、2、 3、4、5、6、利用定理1來求不定積分,一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來的困難,因為其中需要一定的技巧,而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=(x)沒有一般途徑可循,因此要掌握換元法,除了熟悉一些典型的例子外,還要做較多的練習(xí)才行.二  第二類換元法第二類換元法從 形式上看與第一類換元法恰好相反，它是將不定積分通過轉(zhuǎn)換成來計算，但有幾點需要說明。1要存在，2盡量尋找這樣的使容易求出，3。求出后要用將積分變量

8、換回到x,因此這里還要求的反函數(shù)存在。定理2 設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且. 又設(shè)具有原函數(shù),，則f(x)具有原函數(shù)則有換元公式：其中是的反函數(shù).證明：所以是f(x)的原函數(shù)，從而例1 求 (a>0)解 求這個積分的困難在于有根式,但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=1來化去根式.設(shè)x=asint,-/2<t</2,那么,于是根式化為了三角式,所求積分化為.利用例6的結(jié)果得.由于x=asint,-/2<t</2,所以,于是所求積分為.具體解題時要分析被積函數(shù)的具體情況,選取盡可能簡捷的代換.注意 檢驗積分結(jié)果是否正確,只要對結(jié)果求導(dǎo),看它的導(dǎo)數(shù)是否等于

9、被積函數(shù)，相等時結(jié)果是正確的，否則結(jié)果是錯誤的。常用變量代換(1)被積函數(shù)中含有二次根式，令，令，令如是配方1例2、令xt 解：原式 例3、二種解法 （2）被積函數(shù)中含一般根式例4、解：令原式 例5、令原式例6、解：令 原式 43分部積分法這是一個新的積分方法，設(shè)u(x),v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有，即，兩邊同時積分則有，即，上式就是分布積分公式。注意：使用分部積分的關(guān)鍵是如何選取u和v例1、 例2、 例3、例4、 例5、 例6、 例7、 例8、 例9、 例10、 例11、注意：1一般而言分部積分法和換元法同時使用會有更好的效果。2分部積分常適用于下列積分等等。44幾種特殊類型的函數(shù)積分舉例一有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)是指形如，其中 ,m,n為正整數(shù)或者0，都是常數(shù)，且，當(dāng)n<m是真分式，當(dāng)時是假分式，但總可以通過多項式除法寫成一個多項式與一個真分式的和，因此問題就集中在解決真分式的積分問題。定理1：任何實多項式都可以分解成為一次因式與二次因式的乘積。定理2：有理函數(shù)的分解部分分式： 其中：上述常數(shù)用待定系數(shù)法可以確定。方法：分式真分式部分分式例： 1) 解：用待定系數(shù)法：A=-5,B=6則：= 2)解： 令 令 3) 備