高中數(shù)學解題基本方法——換元法

1、高中數(shù)學解題基本方法換元法解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換

2、元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)y的值域時，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為

3、三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.設f(x1)log(4x) （a>1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，a·aaa，則數(shù)列通項a_。4.設實數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) ·log(22)2的解集是_?！竞喗?/p>

4、】1小題：設sinx+cosxt,，則yt，對稱軸t1，當t，y；2小題：設x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域為(,log4；3小題：已知變形為1,設b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設log(21)y，則y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。、示范性題組：例1. 實數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設Sxy，求的值。（93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進行三

5、角換元，設代入式求S和S的值?！窘狻吭O代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。【另解】 由Sxy，設xt，yt，t， 則xy±代入式得：4S±5=5， 移項平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件Sxy與三角公式cossin1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種

6、解法屬于“均值換元法”，主要是由等式Sxy而按照均值換元的思路，設xt、yt，減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設xab，yab，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。（96年全國理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“AC120

7、°”進行均值換元，則設 ，再代入可求cos即cos。【解】由ABC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，設，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos?！玖斫狻坑葾C2B，得AC120°，B60°。所以2，設m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos。【注】 本題兩種解法由“AC120°”、“2”分別進行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元

8、外，還要求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和積互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 設a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。【解】 設sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(

9、t2a) （a>0），t-,t-時，取最小值：2a2a當2a時，t，取最大值：2a2a ；當0<2a時，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為。【注】 此題屬于局部換元法，設sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與c

10、osx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4. 設對所于有實數(shù)x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法?！窘狻?設logt，則loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡化為（3t）x2tx2t>0，它對一切實數(shù)x恒成立，所以：，解得 t<0即log<00<

11、<1，解得0<a<1?！咀ⅰ繎镁植繐Q元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、 log、log三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。例5. 已知，且 (式)，求的值。【解】 設k，則sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設t，則t , 解得：t3或 ±或±

12、【另解】 由tg，將等式兩邊同時除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，設tgt，則3t10t30，t3或， 解得±或±?！咀ⅰ?第一種解法由而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法將已知變形為，不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為tg，再進行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6. 實數(shù)x、y滿足1，若xyk>0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑梢阎獥l件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實施三角換元?！窘狻坑?，設cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：3cos4sink>0，即k<3cos4

13、sin5sin(+) 所以k<-5時不等式恒成立。【注】本題進行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x xyk>0 k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域為直線axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上xyk>0的區(qū)域。即當直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時。當直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k<-3時原不等式恒成立。、鞏固性題組：1. 已知f(x)lgx (x>0)，則f(4)的值為_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設等差數(shù)列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，