高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題含答案73

1、高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題3答案一、選擇題1.設(shè)，且，則（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，的原函數(shù)，則（ A ）(A) 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),必為偶函數(shù)；(B) 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),必為奇函數(shù)；(C) 當(dāng)為周期函數(shù)時(shí),必為周期函數(shù)；(D) 當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)時(shí),必為單調(diào)增函數(shù).3.設(shè)，在內(nèi)恒有，記，則有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不確定.4.設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，是同階無窮小，則（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.設(shè)，則在點(diǎn)（ D ）(A) 不連續(xù)；(B) 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；(C) 可微；

2、(D) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.6.設(shè)，則以向量、為邊的平行四邊形的對(duì)角線的長度為（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.設(shè)是包含原點(diǎn)在內(nèi)的兩條同向閉曲線，的內(nèi)部，若已知（k為常數(shù)），則有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，與L2的形狀有關(guān).8.設(shè)在處收斂，則在處（ D ）二、設(shè)，試確定、的值，使都存在.解：當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，。三、設(shè)的一個(gè)原函數(shù)，且，求.解：，由知，四、設(shè)，S為的邊界曲面外側(cè)，計(jì)算解：（下側(cè)），（上側(cè)）， 五、已知，.求證：（1）數(shù)列收斂；（2）的極限值a是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收斂，收斂，收

3、斂，又因，故收斂。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可見， （用歸納法證明偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)減少，奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)增加）。設(shè)，。， 由知、收斂，令，；由，知，。對(duì)兩邊取極限得， 對(duì)兩邊取極限得， 由得，解得由知收斂，且為方程的根（再證唯一性）。六、設(shè)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，求證： , 其中D為圓環(huán)域：解一：令，。由已知當(dāng)時(shí)，故解二：令，令為（逆時(shí)針），為（順時(shí)針） ，。七、有一圓錐形的塔，底半徑為R，高為，現(xiàn)沿塔身建一登上塔頂?shù)臉翘?，要求樓梯曲線在每一點(diǎn)的切線與過該點(diǎn)垂直于平面的直線的夾角為，樓梯入口在點(diǎn), 試求樓梯曲線的方程.解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，曲線參數(shù)方程為（*），在點(diǎn)的切向量為，垂線