廣西南寧市2014年中考數(shù)學(xué)試題(含解析)

1、2014年南寧市初中畢業(yè)升學(xué)數(shù)學(xué)考試試卷本試卷分第卷和第卷，滿分120分，考試時間120分鐘。第卷（選擇題，共36分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1. 如果水位升高3m時水位變化記作+3m，那么水位下降3m時水位變化記作 ( ) (A)3m (B)3 m (C)6 m (D) 6 m答案：A由正數(shù)負(fù)數(shù)的概念可得?？键c：正數(shù)和負(fù)數(shù)（初一上學(xué)期有理數(shù)）。2.下列圖形中，是軸對稱圖形的是 ( )（A） （B） （C） （D）答案：DD有4條對稱軸，也是中心對稱圖形?？键c：軸對稱圖形（初二上學(xué)期軸對稱圖形）。3. 南寧東高鐵火車站位于南寧市青秀區(qū)鳳嶺北路，火車站總建筑面積約為2

2、67000平方米，其中數(shù)據(jù)267000用科學(xué)記數(shù)法表示為 ( )（A）26.7×10 （B）2.67×10 （C）2.67×10 （D）0.267×10答案：C由科學(xué)記數(shù)法的表示法可得。考點：科學(xué)計數(shù)法（初一上學(xué)期有理數(shù)）4. 要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是 ( ) （A） （B） （C） （D）答案：D 由x20，可得。考點：二次根式的雙重非負(fù)性和不等式（初二上二次根式，初一下一元一次不等式）5. 下列運算正確的是 ( ) （A）·= （B）= （C）÷= （D）64=2答案：B考點：整式的加減乘除（初一上整式的

3、加減，初二上整式的乘除和因式分解）6. 在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖1所示，若油面的寬AB=160cm，則油的最大深度為 ( ) （A）40cm （B）60cm （C）80cm （D）100cm答案：A考點：垂徑定理、勾股定理（初三上圓，初二下勾股定理）【海壁分析】關(guān)鍵是過圓心O作半徑垂直弦AB，并連結(jié)OA形成直角三角形，可得x407. 數(shù)據(jù)1，2，4，0，5，3，5的中位數(shù)和眾數(shù)分別是 ( ) （A）3和2 （B）3和3 （C）0和5 （D）3和5答案：D考點：中位數(shù)和眾數(shù)（初一上統(tǒng)計）8. 如圖2所示把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點，把平

4、角AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O(shè)為頂點的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是 ( ) 圖2（A）正三角形 （B）正方形 （C）正五邊形 （D）正六邊形答案：A考點：軸對稱圖形【海壁分析】這道題非常新穎，讓人眼前一亮。其實，在考場里面拿張草稿紙試一試，是最簡單的方法。這個題目告訴我們，實踐出真知。數(shù)學(xué)不僅僅需要動腦，也很需要動手。海壁教育向出題人致敬！9. “黃金1號”玉米種子的價格為5元/千克，如果一次購買2千克以上的種子，超過2千克部分的種子的價格打6折，設(shè)購買種子數(shù)量為千克，付款金額為元，則與的函數(shù)關(guān)系的圖像大致是 ( ) （A

5、） （B） （C） （D）答案：B考點：一次函數(shù)：函數(shù)圖像與分段函數(shù)（初二下一次函數(shù)）10. 如圖3，已知二次函數(shù) =，當(dāng)<<時, 隨的增大而增大，則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) （A）> （B）< （C）>0 （D）<<答案：B考點：二次函數(shù)：對稱軸和增減性（初三下二次函數(shù)）11. 如圖4，在ABCD 中，點E是AD的中點，延長BC到點F，使CF : BC=1 : 2，連接DF，EC.若AB=5，AD=8，sinB=，則DF的長等于 ( ) （A） （B） （C） （D）答案：C考點：平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)（初二下四邊形，勾股定理，初三下

6、三角函數(shù)）【海壁分析】關(guān)鍵是過點D作DCF的高，形成直角三角形。再通過平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理和三角函數(shù)求解。這道題稍有綜合性，但不算難。12. 已知點A在雙曲線上，點B在直線上，且A，B兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)點A的坐標(biāo)為（，），則+的值是 ( ) （A）10 （B）8 （C）6 （D）4答案：A考點：對稱點，反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，配方法（初二上對稱，初二下一次函數(shù)和反比例函數(shù)，初二上整式的乘除和因式分解）【海壁分析】 此題相較以往的南寧中考壓軸題，并不算難。解題的關(guān)鍵在于將A、B點的坐標(biāo)通過m和n表示出來，代入各自的解析式中，再得到m和n的關(guān)系式，然后，對+進(jìn)行變形以配合剛才得到的關(guān)系式

7、。變形的時候運用到了非常常用的配方的技巧。解答：A點的作標(biāo)為（，)，A，B兩點關(guān)于y軸對稱。點B 的坐標(biāo)為(，) 點A在雙曲線上 = = 點B在直線上 =4 +=4 +=10第卷（非選擇題，共84分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13. 比較大?。?（填“>”“<”或“=”）.答案：<考點：有理數(shù)大小的比較（初一上有理數(shù)）14. 如圖5，已知直線，1=120°，則的度數(shù)是 °.答案：60° 考點：平行線的性質(zhì)；鄰補角（初一下平行于相交）15. 因式分解：= .答案：考點：因式分解（初二上整式的乘除和因式分解）16. 第45屆世

8、界體操錦標(biāo)賽將于2014年10月3日至12日在南寧市隆重舉行，屆時某校將從小記者團(tuán)內(nèi)負(fù)責(zé)體育賽事報道的3名同學(xué)（2男1女）中任選2名前往采訪，那么選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的概率是 .答案：考點：概率（初三上概率）【海壁分析】男男，女男（一），女男（二），三選二，so easy！17. 如圖6，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60°的方向，前進(jìn)20海里到達(dá)B點，此時，測得海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD等于 海里.答案：解答：BD設(shè)為，因為C位于北偏東30°，所以BCD30°在RTBCD中，BD，CD，又CAD3

9、0°，在RTADC中，AB20，AD20，又ADCCDB，所以，即：，求出10，故CD?？键c：三角函數(shù)和相似；【海壁分析】這是一道典型的“解直角三角形”題，在2012年南寧中考出現(xiàn)在解答題中。關(guān)鍵是：作高，設(shè)x，利用特殊三角形三邊關(guān)系用x表示出其它邊，再根據(jù)三角函數(shù)、勾股定理或相似比等數(shù)量關(guān)系列出方程。這道題的方法非常多樣。18. 如圖7，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC，BC相切與點E，F(xiàn)， 與AB 分別交于點G，H，且 EH 的延長線和 CB 的延長線交于點D，則 CD 的長為 .答案：解答：連結(jié)OE，OF。AC、BC與圓O相切與點E，

10、F，OEA=90°，OFC=90°又ABC是等腰直角三角形，ACB =90°，CBA=CAB=45°，AB=CBA=CAB=45°，且OEA=OFC=90°，OE=OFAOE和BOF都是等腰直角三角形，且AOEBOF。AE=OE，AO=BOOE=OF，OEC=OFC=ACB =90°四邊形OEFC是正方形。OE=EC=AE=OE=OF，OA=OB=AB=。OH=，BH=ACB=OEA =90°。OEDC，OED=EDCOE=OH，OHE=OED=DHB=EDC，BD=BH=CD=BC+BH=考點：等腰直角三角形，圓

11、與直線相切，半徑相等，三角形相似（初二上對稱，初三上圓，初三下相似）【海壁分析】原題可轉(zhuǎn)化為求DB的長度。DB所在的BDH（BD=BH）（或證明OEHBDH亦可）是解題的突破口。所以，輔助線OE成為解題的入口。2013年，南寧中考的填空壓軸題是等邊三角形與內(nèi)切圓，2014年，又出此題。是否意味著“圓與直角三角形”已經(jīng)取代“找規(guī)律”，成為南寧中考填空壓軸首選？三、（本大題共2小題，每小題滿分6分，共12分）19. 計算：原式14×+3+= 4考點：負(fù)數(shù)的乘方；特殊角的三角函數(shù)值；絕對值；實數(shù)（初一上有理數(shù)，初二上二次根式，初三下三角函數(shù)）20. 解方程：答案：去分母得：化簡得：22，求

12、得經(jīng)檢驗：是原方程的解 原方程的解是X=考點：分式方程（初二下分式）【海壁分析】以前較?？嫉氖欠质降幕?。四、（本大題共2小題，每小題滿分8分，共16分）21. 如圖8，ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）. (1) 請畫出ABC向左平移5個單位長度后得到的ABC； (2) 請畫出ABC關(guān)于原點對稱的ABC； (3) 在軸上求作一點P，使PAB的周長最小，請畫出PAB，并直接寫出P的坐標(biāo).答案：（1）A1B1C1如圖所示； （2）A2B2C2如圖所示；（3）PAB如圖所示，點P的坐標(biāo)為：（2，0）考點：平面直角坐標(biāo)系，圖形的變化（平移、對稱）（初一下平面直角坐標(biāo)系

13、，初二上對稱）【海壁分析】要使PAB的周長最小，因為AB的長是固定的，一般轉(zhuǎn)化為求“兩條直線之和最小值”。這是海壁總結(jié)的三種最常見最值問題其中之一。主要方法是作線段某點關(guān)于該直線的對稱點，然后連接對稱點與線段另一點。22. 考試前，同學(xué)們總會采用各種方式緩解考試壓力，以最佳狀態(tài)迎接考試. 某校對該校九年級的部分同學(xué)做了一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動，學(xué)校將減壓方式分為五類，同學(xué)們可根據(jù)自己的情況必選且只選其中一類，學(xué)校收集整理數(shù)據(jù)后，繪制了圖和圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題： (1) 這次抽樣調(diào)查中，一共抽查了多少名學(xué)生？ (2) 請補全條形統(tǒng)計圖；

14、(3) 請計算扇形統(tǒng)計圖中“享受美食”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)； (4) 根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校九年級500名學(xué)生中采用“聽音樂”的減壓方式的人數(shù). 答案 (1)8÷16%= 50（名） (2) 體育活動人數(shù)：50810125=15（名）（補全條形統(tǒng)計圖如圖所示）(3) 360°×（10÷50）=72°(4) 500×（12÷50）=120（名） 答：500名學(xué)生中估計采用“聽音樂”的減壓方式的學(xué)生人數(shù)為120名考點：條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖；抽樣統(tǒng)計（初一下統(tǒng)計）【海壁分析】統(tǒng)計是南寧市中考數(shù)學(xué)的必考點。2012年統(tǒng)計里還包

15、括概率的內(nèi)容。五、（本大題滿分8分）23. 如圖10，ABFC，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，分別延長FD和CB交于點G. (1) 求證：ADECFE； (2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的長. 圖10 答案：(1) ABFC，ADE=CFE又AED=CEF，DE=FE ADECFE（ASA） (2) ADECFE， AD=CF ABFC，GBDGCF，GDBGFC GBDGCF（AA） 又因為GB2，BC4，BD1，代入得：CF3 = AD ABAD+BD = 3+1 = 4考點：平行線，三角形全等，相似（初一下相交與平行，初二上全等三角形，初三下相似）【海壁分析

16、】簡單的幾何證明題每年都有，一般會以四邊形為基礎(chǔ)，利用三角形全等和相似的知識證明和計算。第一小題一般為證明題，第二小題一般為計算題。這類題相對簡單，必須拿分。六、（本大題滿分10分）24.“保護(hù)好環(huán)境，拒絕冒黑煙”.某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴(yán)重的公交車，計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛. 若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元.(1) 求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？(2) 預(yù)計在該線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次. 若該公司購買A型和B型公交車的總費用不

17、超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客量總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案的總費用最少？最少總費用是多少？答案：（1）設(shè)購買每輛A型公交車萬元，購買每輛B型公交車每輛萬元，依題意列方程得，解得 （2）設(shè)購買輛A型公交車，則購買（10）輛B型公交車，依題意列不等式組得，解得 有三種方案 （一） 購買A型公交車6輛，B型公交車4輛 （二） 購買A型公交車7輛，B型公交車3輛 （三） 購買A型公交車8輛，B型公交車2輛 因A型公交車較便宜，故購買A型車數(shù)量最多時，總費用最少，即第三種購車方案最少費用為：8×100+150×2=1100

18、（萬元） 答：（1）購買A型和B型公交車每輛各需100萬元、150萬元 （2）該公司有3種購車方案，第3種購車方案的總費用最少，最少總費用是1100萬元?？键c：二元一次方程組和一元一次不等式組。（初一下二元一次方程組，初一下一元一次不等式組）【海壁分析】南寧中考數(shù)學(xué)每年都會有一道與實際結(jié)合的應(yīng)用題，相較2010年（二元一次方程組和不等式），2011年（反比例函數(shù)和不等式），2012年（反比例函數(shù)和分式方程），2013年（含圖像的一次函數(shù)及不等式）。今年的題目更加簡單。海壁老師拿給備戰(zhàn)期考的初一學(xué)生做，都能輕易做出來。 七、（本大題滿分10分）25. 如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上

19、一點，點F在射線CM上,AEF=90°，AE=EF，過點F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC.(1) 試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2) 求證：ACF=90°；(3) 連接AF，過A，E，F(xiàn)三點作圓，如圖. 若EC=4，CEF=15°，求 AE 的長.答案：（1）BE=FH。理由如下： 四邊形ABCD是正方形 B=90°，F(xiàn)HBC FHE=90°又AEF=90° AEB+HEF=90° 且BAE+AEB=90°HEF=BAE AEB=EFH 又AE=EF ABEEHF（SAS）BE=FH(2)ABE

20、EHFBC=EH，BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE=CH CH=FHFCH=45°，F(xiàn)CM=45°AC是正方形對角線， ACD=45°ACF=FCM +ACD =90°（3）AE=EF，AEF是等腰直角三角形 AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上。設(shè)該中點為O。連結(jié)EO，得AOE=90°過E作ENAC于點NRTENC中，EC=4，ECA=45°，EN=NC=RTENA中，EN = 又EAF=45° CAF=CEF=15°（等弧對等角）EAC=30°AE=RTAFE中，AE= EF，AF=8 AE

21、所在的圓O半徑為4，其所對的圓心角為AOE=90° AE=2·4·（90°÷360°）=2考點：正方形；等腰直角三角形；三角形全等；三角形的外接圓；等弧對等角，三角函數(shù)；弧長的計算。（初二上全等三角形，軸對稱，初二下四邊形，勾股定理；初三上圓；初三下三角函數(shù)）【海壁分析】這道題前兩小問考到了一個非常常見的幾何模型“倒掛的直角”（在2012年壓軸題中也出現(xiàn)過），在海壁的課堂中，給參加中考的學(xué)生講過不下5次，這個模型經(jīng)常用于全等和相似的證明。在這里，用到了三角形全等中。第三小問有一定的難度和綜合性，關(guān)鍵是找出弧AE所對應(yīng)的圓的半徑和圓心角

22、。結(jié)合第一、二小題的結(jié)論（在難題中，第一二小題的結(jié)論或次生結(jié)論往往是第三小題最重要的條件），所對應(yīng)的圓是等腰直角AEF的外接圓。圓心角不難找出，關(guān)鍵就是如何讓EC=4與圓的半徑結(jié)合起來，在這里，我們做了EN這條輔助線。（海壁教育認(rèn)為，幾何的難點無外乎兩點：1、做輔助線，2、設(shè)x列方程）八、（本大題滿分10分）26. 在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線+與直線交于A, B兩點，點A在點B的左側(cè). (1) 如圖，當(dāng)時，直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)；(2) 在(1)的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出ABP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3) 如圖，拋物線+ 與軸交于C，D兩點（點C在

23、點D的左側(cè)）.在直線上是否存在唯一一點Q，使得OQC=90°？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由.答案：（1）A(1,0) ，B(2,3)【解答，無需寫】當(dāng)k=1時，列，解可得（2）平移直線AB得到直線L，當(dāng)L與拋物線只有一個交點時，ABP面積最大【如圖121（1）】設(shè)直線L解析式為： ，根據(jù)，得判別式，解得，代入原方程中，得；解得， P（,）易求，AB交軸于M（0，1），直線L交軸于G（0，）過M作MN直線L于N，OM=1，OA=1，AMO=45°AMN=90，NMO=45°在RTMNE中，NMO=45°，MG=，【如圖121（2）】 MN=，MN即為ABP的高由兩點間距離公式，求得：AB=故ABP最大面積 （3）設(shè)在直線上存在唯一一點Q使得OQC=90° 則點Q為以O(shè)C的中點E為圓心，OC為直徑形成的圓E與直線 相切時的切點【如圖122（1）】由解析式可知：C