對數(shù)函數(shù)考點分析及經(jīng)典例題講解

1、 對數(shù)函數(shù)考點分析及經(jīng)典例題講解1 對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù),定義域是 a的取值0a1a1定義域 圖 象圖像特征在y軸的右側(cè)，過定點（1，0）即x=1時，y=0當x>0且x0時,圖象趨近于 y軸正半軸.當x>0且x0時，圖象趨近于 y軸負半軸.值域R性 質(zhì)（1）過定點（1，0），（2）在（0，+）上是減函數(shù)（2）在（0，+）上是增函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律當0<x<1時，y(0,+)當 x=1 時，y=0;當 x>1 時, y<0.當 0<x<1 時，y<0;當x=1時， y=0 ;當x>1時， y>0 .3.對數(shù)函數(shù)y=l

2、ogax(a>0,且a1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a1)互為反函數(shù) .它們的圖象關(guān)于對稱.案例分析：考點一、比較大小例1、比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?） log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1； （3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67. (5)； (6)變式訓(xùn)練：1、已知函數(shù)，則當時， ；當時， .解析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像可得當時，；當時，答案：；考點二、求定義域例2、求下列函數(shù)的定義域（1） ； （2） ； （3） （4）例3、選擇題：若則m、n滿足的條件是（ ） A、m>n>1 B、n

3、>m>1 C、0<m<n<1 D、0<n<m<1例4 、函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？在什么區(qū)間上是減函數(shù)？1、函數(shù)f(x)loga(a1)x1在定義域上()A是增函數(shù) B是減函數(shù) C先增后減 D先減后增解析：選A.當a1時，ylogat為增函數(shù)，t(a1)x1為增函數(shù)，f(x)loga(a1)x1為增函數(shù)； 當0a1時，ylogat為減函數(shù)，t(a1)x1為減函數(shù)， f(x)loga(a1)x1為增函數(shù)2、方程的解集是 3、已知函數(shù)f(x)，則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y1上方的x的取值范圍是 _解析：當x0時，3x11x10，1x0；當x0時，

4、log2x1x2，x2，綜上所述：1x0或x2.答案：1x0或x24、若0<，則實數(shù)a的取值范圍是 .解析：本題實際含有兩個不等式，即和，由得；由得，即，答案：5、方程-的解是 解析：根據(jù)對數(shù)運算法則，方程-可化為：lglg， 即= ，解得：或，經(jīng)驗證，當時，不滿足題意所以方程的解為：0考點三、求值域例1、（1）、 【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+1616, 又-x2-4x+12>0, 0<-x2-4x+1216. 在(0,16上是減函數(shù), y=-4. 函數(shù)的值域為-4,+).（2）、（3）y=loga(a-ax)(a>1).

5、令u=a-ax,u>0,a>1,ax<a,x<1,y=loga(a-ax)的定義域為x|x<1, ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,y=loga(a-ax)<logaa=1,函數(shù)的值域為y|y<1.1、求下列函數(shù)的定義域、值域： 2.、求函數(shù)ylog2(x26x5)的定義域和值域解析由x26x5>0得x>5或x<1因此ylog2(x26x5)的定義域為(，1)(5，)設(shè)ylog2t，tx26x5x>5或x<1，t>0，y(，)因此ylog2(x26x5)的值域為R.3、已知滿足條件，求函數(shù)的最

6、大值解：令，則；解得，即；，；當時，4、已知，求的值。解析：由得，所以有，即，則或，當時，所以應(yīng)舍去，所以。所以。5、設(shè)函數(shù)，且， （1）求的值； （2）當時，求的最大值解析：由已知，得， 解得（2）在上是增函數(shù)， 的最大值為考點四、 對數(shù)函數(shù)的圖像例1、已知a0且a1，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖像只能是（ ）【分析】應(yīng)先由函數(shù)定義域判斷圖像的位置，再對底數(shù)a進行討論，最后選出正確選項.【解析】解法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,從而排除A,C. 其次,從單調(diào)性著眼,y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反,又可排除D. 故應(yīng)選

7、B. 解法二:若0<a<1,則曲線y=ax下降且過點(0,1),而曲線y=loga(-x)上升且過(-1,0),以上圖象均不符合這些條件. 若a>1,則曲線y=ax上升且過(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過(-1,0),只有B滿足條件. 解法三:如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(shù) (圖象關(guān)于直線y=x對稱),則可直接選定B.例2、已知圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的圖象， 則a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是()Aa4a

8、3a2a1Ba3a4a1a2Ca2a1a3a4Da3a4a2a1解析：選B.由已知圖中的四條曲線底數(shù)不同及圖象的位置關(guān)系，再利用logaa1結(jié)合圖象求解例3、函數(shù)ylog2|x|的大致圖象是()解析：選D.當x>0時，ylog2xlog2x；當x<0時，ylog2(x)log2(x)，分別作圖象可知選D.鞏固練習(xí)：1、已知集合Ay|ylog2x，x>1，By|y()x，x>1，則AB()Ay|0<y< By|y>0 C DR答案B解析Ay|ylog2x，x>1y|y>0，By|y()x，x>1y|0<y< ABy|y>

9、;0，故選B.2、已知函數(shù)f(x)|lgx|，若ab，且f(a)f(b)，則ab()A1 B2 C. D.解析：選A.如圖由f(a)f(b)，得|lga|lgb|.設(shè)0ab，則lgalgb0. ab1.3、函數(shù)yloga(x2)3(a0且a1)的圖象過定點_解析：當x1時，loga(x2)0，yloga(x2)33，過定點(1,3)答案：(1,3)4、已知函數(shù)f(x)，g(x)log2x，則f(x)與g(x)兩函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為()A1 B2C3 D4答案：B5、函數(shù)y=loga(4-x) 的定義域是_ (其中a>0,a1) 6、比較下列各組數(shù)中兩個值的大小：(1) log 23.4

10、 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3） log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 )7. 比較下列各題中兩個值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.50.6 log1.50.48已知下列不等式，比較正數(shù)m，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n

11、(a>1)考點五、求最值例1、已知x1,9,求的最大值及當y取最大值時x的值.【分析】要求函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函數(shù)的解析式，然后求出函數(shù)的定義域， 最后用換元法求出函數(shù)的值域.【解析】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3. 函數(shù)f(x)的定義域為1,9, 要使函數(shù)y=f(x)2+f(x2)有定義，必須1x29， 1x9. 1x3,0log3x1.令u=log3x，則0u1. 又函數(shù)y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函數(shù), 當u=1時，函數(shù)y

12、=(u+3)2-3有最大值13. 即當log3x=1,即x=3時，函數(shù)y=f(x)2+f(x2)有最大值為13.例2、（1）若且，求的取值范圍。（2）已知，求的取值范圍；例3、解下列方程：（1） 、 （2）、（3）、 （4）、例4、解不等式：（1）、 （2）、變式訓(xùn)練：1、函數(shù)f(x)loga|x1|在(0,1)上是減函數(shù)，那么f(x)在(1，)上()A遞增且無最大值 B遞減且無最小值C遞增且有最大值 D遞減且有最小值答案A解析當0<x<1時，f(x)loga(1x)在(0,1)上是減函數(shù)，a>1，當x>1時，f(x)loga(x1)在(1，)上為增函數(shù)，且無最大值，故

13、選A考點六、求變量范圍例1、已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）要使f(x)的定義域為R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒為正值， a>0，=4-4a<0，（2）若f(x)的值域為R，則要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+). 當a<0時，這不可能；當a=0時，(x)=2x+1R成立；當a>0時，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)， 需a>0，=4-4a0， 綜上所述，0 a1.例2、函數(shù)f(x)log(3x2ax5)在1，)

14、上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解：令t3x2ax5，則ylogt在1，)上單調(diào)遞減，故t3x2ax5在1，)單調(diào)遞增， 且t0(即當x1時t0) 因為t3x2ax5的對稱軸為x，所以8a6.例3、若函數(shù)g(x)log3(ax22x1)有最大值1，求實數(shù)a的值解：令h(x)ax22x1，由于函數(shù)g(x)log3h(x)是遞增函數(shù)，所以要使函數(shù) g(x)log3(ax22x1)有最大值1，應(yīng)使h(x)ax22x1有最大值3， 因此有，解得a，此即為實數(shù)a的值變式訓(xùn)練：1、設(shè)0a1，f(x)loga(a2x2ax2)，則f(x)0的x的取值范圍是_解析：loga(a2x2ax2)0a2x2ax21(

15、ax)22ax30ax3xloga3. 答案：(，loga3)2、設(shè)a>0，a1，函數(shù)f(x)alg(x22x3)有最大值，則不等式loga(x25x7)>0的解集為_解析：設(shè)tlg(x22x3)lg(x1)22當xR時，tminlg2.又函數(shù)yf(x)有最大值，所以0<a<1.由loga(x25x7)>0，得0<x25x7<1，解得2<x<3.故不等式解集為x|2<x<3答案：(2,3)3、求函數(shù)f(x)loga(3x22x1)(a>0，a1)的單調(diào)區(qū)間解：當a>1時，f(x)的增區(qū)間為(1，)，減區(qū)間為(，) 當

16、0<a<1時，f(x)的增區(qū)間為(，)，減區(qū)間為(1，)4、函數(shù)的定義域為，求k的取值范圍解析：由題意得：恒成立，對于方程，解之得：5、對于函數(shù)，解答下述問題： （1）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)在內(nèi)有意義，求實數(shù)a的取值范圍解析：記，（1）恒成立，的取值范圍是；（2） “的值域為R”等價于“能取遍的一切值”，或理解為“的值域包含了區(qū)間”的值域為命題等價于，a的取值范圍是；（3）應(yīng)注意“在內(nèi)有意義”與定義域的概念是不同的，命題等價于“恒成立”，所以有： 解得：或的取值范圍是6、函數(shù)y=log在2，+)上恒為正，求實

17、數(shù)a的范圍。分析：本題中的隱含條件是，注意到該點，那么問題就可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題。解：若函數(shù)在2，+)上恒為正，則必有a>1，那么原問題就是>1在2，+)上恒成立時，求a的問題。若>1，即，由于x>0,，所以a<x+，又在2，+)上是增函數(shù)，當x=2時，最小，所以a<2+=，因此實數(shù)a的范圍是 1<a<.考點七、對數(shù)的綜合應(yīng)用例1、已知函數(shù)f(x)loga(ax1)(a>0且a1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)x為何值時，函數(shù)值大于1.解析(1)f(x)loga(ax1)有意義，應(yīng)滿足ax1>0

18、即ax>1當a>1時，x>0，當0<a<1時，x<0因此，當a>1時，函數(shù)f(x)的定義域為x|x>0；0<a<1時，函數(shù)f(x)的定義域為x|x<0(2) 當a>1時yax1為增函數(shù)，因此yloga(ax1)為增函數(shù)；當0<a<1時yax1為減函數(shù)， 因此yloga(ax1)為增函數(shù)綜上所述，yloga(ax1)為增函數(shù)(3)a>1時f(x)>1即ax1>aax>a1x>loga(a1)0<a<1時，f(x)>1即0<ax1<a1<ax<

19、a1loga(a1)<x<0.例2、求證：函數(shù)f（x）=lg是奇函數(shù).分析：函數(shù)奇偶性判定的一般方法是什么？定義式是什么？步驟是什么？為什么在奇偶性的討論中一定要求定義域關(guān)于原點對稱?例3、設(shè)AxR|2x，定義在集合A上的函數(shù)ylogax(a>0，a1)的最大值比最小值大1，求a的值解析a>1時，ylogax是增函數(shù)，logaloga21，即loga1，得a.0<a<1時，ylogax是減函數(shù)，loga2loga1，即loga1，得a.綜上可知a的值為或.例4、已知f(x)loga(a>0且a1)，(1)求f(x)的定義域；(2)判斷yf(x)的奇偶性

20、；(3)求使f(x)>0的x的取值范圍解析(1)依題意有>0，即(1x)(1x)>0，所以1<x<1，所以函數(shù)的定義域為(1,1)(2)f(x)為奇函數(shù)因為函數(shù)的定義域為(1,1)，又f(x)logaloga()1logaf(x)，因此yf(x)為奇函數(shù)(3)由f(x)>0得，loga>0(a>0，a1)，當0<a<1時，由可得0<<1，解得1<x<0；當a>1時，由知>1，解此不等式得0<x<1.例5、已知f(x)loga(a0，a1)是奇函數(shù)(1)求m的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性

21、解：(1)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)logalogaloga0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，1，(m21)x20，m±1.當m1時，1，函數(shù)無意義，m1.(2)由(1)知，f(x)loga，定義域為(，1)(1，)，求導(dǎo)得f(x)logae.當a1時，f(x)0，f(x)在(，1)與(1，)內(nèi)都是減函數(shù)；當0a1時，f(x)0，f(x)在(，1)與(1，)上都是增函數(shù)例7、判斷函數(shù)f（x）=ln（x）的奇偶性.例8、（1）證明函數(shù)f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函數(shù)；（2）問：函數(shù)f（x）=log2（x2+1）在（，0）上是減函數(shù)還是增函數(shù)？分析：此題目的在于讓學(xué)

22、生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法，同時熟悉利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法.例9、已知f（logax）=，其中a0，且a1.（1）求f（x）；（2）求證：f（x）是奇函數(shù)；（3）求證：f（x）在R上為增函數(shù).分析：利用換元法，可令t=logax，求出f（x），從而求出f（x）.證明奇函數(shù)及增函數(shù)可運用定義.解：用換元法求出f(x)的解析式，由于其中含有字母，故需討論設(shè)tlogax，則xat，f(t)·即f(t)(atat)f(x)(axax)f(x)的定義域是(，)，設(shè)x1<x2，則f(x1)f(x2)(ax1ax1)(ax2ax2)·.a>0，a1，ax1a

23、x2>0,1ax1ax2>0.若0<a<1，則ax1>ax2，ax1ax2>0.此時<0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)同理若a>1，f(x1)<f(x2)綜上所述，當a>0且a1時，f(x)在(，)上是單調(diào)函數(shù)，是單調(diào)增函數(shù)變式訓(xùn)練：1、f(x)log2的圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的值為_解析：由圖象關(guān)于原點對稱可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)0，即log2log20log20log21，所以1a1(負根舍去)答案：1考點八、反函數(shù)例1、已知a>0,且a1，函數(shù)y=ax與y=loga(-x

24、)的圖象只能是（ ） 【分析】分a>1,0<a<1兩種情況，分別作出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判定關(guān)系.【解析】解法一：首先，曲線y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，從而排除A，C. 其次，從單調(diào)性著手，y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反，又可排除D，故只能選B.解法二：若0<a<1，則曲線y=ax下降且過點(0,1)，而曲線y=loga(-x)上升且過(-1,0)，而選項均不符合這些條件. 若a>1，則曲線y=ax上升且過點(0,1)，而曲線y=loga(-x)下降且過(-1,0)，只有B滿足條件.解法三：如果注意到y(tǒng)=

25、loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax的圖象，因為y=logax與y=ax互為反函數(shù) （圖象關(guān)于直線y=x對稱），則可直接選B.1、已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)12lgx(x>0)，則f(1)g(1)()A0B1C2D4答案C解析g(1)1，f(x)與g(x)互為反函數(shù)，f(1)1，f(1)g(1)2.2、若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(，a)，則f(x)()Alog2x Blogx C. Dx2解析：選B.yaxxlogay，f(x)logax，alogaf(x)logx.3、 函數(shù)的反函數(shù)的解析表達式為（ ）ABCD解析：由

26、已知得，運用指、對數(shù)式的互化，得，所以其反函數(shù)的解析式為，即故選A考點九、對數(shù)函數(shù)圖像的變換 1函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移2個單位得到。 2. 函數(shù)的圖象是由函數(shù)+3的圖象向右平移2個單位，得到。 3. 函數(shù)（）的圖象是由函數(shù)的圖象 當時先向左平移 b個單位，再向上平移c 個單位得到; 當時先向右平移| b|個單位，再向上平移c 個單位得到; 當時先向左平移 b個單位，再向下平移|c |個單位得到; 當時先向右平移| b|個 單位，再向下平移|c| 個單位得到。4.說明：上述變換稱為平移變換。例1、說明下列函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像的關(guān)系，并畫出它們的示意圖，由圖像寫出它的單調(diào)區(qū)間：(1) ； (2)(3) ； (4) 練習(xí)、怎樣由對數(shù)函數(shù)的圖像得到下列函數(shù)的圖像？ (1)； (2)；變式訓(xùn)練：1、已知,其中,則下列各式正確的是 ( ) A B C D 2. 函數(shù)（a為常數(shù)，a>1）的大致圖像是 （ ）解析：函數(shù)（a為常數(shù)，a>1）的定義域為（0，+），刪掉A、C選項，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，刪掉B選項，故選D。另外本題也可以利用函數(shù)圖象的對稱變換，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，從而可知，故選D。答案：D3、已知函數(shù)，且，則的圖像必過點（ ） ABCD解析：因為函數(shù)，且的圖像恒過定點，的圖像向右