重慶大學數(shù)學實驗微分方程

1、重 慶 大 學學 生 實 驗 報 告實驗課程名稱 數(shù)學實驗 開課實驗室 DS1402 學 院 年級 專業(yè)班 學 生 姓 名 學 號 開 課 時 間 2014 至 2015 學年第 二 學期總 成 績教師簽名數(shù) 學 與 統(tǒng) 計 學 院 制開課學院、實驗室： 實驗時間 ： 年 月 日課程名稱數(shù)學實驗實驗項目名 稱微分方程求解實驗項目類型驗證演示綜合設計其他指導教師龔劬成 績實驗目的1 歸納和學習求解常微分方程(組)的基本原理和方法；2 掌握解析、數(shù)值解法，并學會用圖形觀察解的形態(tài)和進行解的定性分析；3 熟悉MATLAB軟件關于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學習建立微分方程方面的數(shù)學模型以及求

2、解全過程； 通過該實驗的學習，使學生掌握微分方程(組)求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進歐拉法等），對常微分方程的數(shù)值解法有一個初步了解，同時學會使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學會建立微分方程方面的數(shù)學模型。這對于學生深入理解微分、積分的數(shù)學概念，掌握數(shù)學的分析思維方法，熟悉處理大量的工程計算問題的方法是十分必要的?；A實驗1 微分方程及方程組的解析求解法；2 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進算法；3 直接使用MATLAB命令對微分方程(組)進行求解(包括解析解、數(shù)值解)；4 利用圖形對解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的數(shù)學模型，并了解建立數(shù)學模型的全過程。

3、實驗過程1求微分方程的解析解, 并畫出它們的圖形， （1） y= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1; （2） y+ycos(x) = 0, y(0)=1, y(0)=0;解:(1) M文件： k=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(k,0,1)運行結(jié)果： k = -2*x-2+3*exp(x) （2）M文件： x=dsolve('D2y+y*cos(x)=0','y(0)=1,Dy(0)=0') ezplot('x')運行結(jié)果： x

4、= cos(cos(x)(1/2)*t)2用向前歐拉公式和改進的歐拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的數(shù)值解，要求編寫程序，并比較兩種方法的計算結(jié)果，說明了什么問題？解：向前歐拉公式的M文件：x(1)=0;y(1)=1;h=0.1;for i=1:10 x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i); double(y(i+1);disp(y(i+1)end運行結(jié)果： 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7

5、848改進歐拉公式的M文件：x(1)=0;y(1)=1;h=0.1;for i=1:10 x(i+1)=x(i)+h; k1=y(i)-2*x(i)/y(i); k2=y(i)+h*k1-2*x(i+1)/(y(i)+h*k1); y(i+1)=y(i)+0.5*h*(k1+k2); double(y(i+1); disp(y(i+1)end運行結(jié)果： 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.78481.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.61

6、65 1.6782 1.7379解析求解： k= dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')ezplot(k,0,1)運行結(jié)果： k = (2*x+1)(1/2) 當x=1時，y=1.7320; 通過比較結(jié)果，說明改進型的歐拉方法比向前歐拉方法的結(jié)果精確。3Rossler微分方程組： 當固定參數(shù)b=2, c=4時，試討論隨參數(shù)a由小到大變化（如a(0,0.65)而方程解的變化情況，并且畫出空間曲線圖形，觀察空間曲線是否形成混沌狀？首先建立如下M文件: function xdot=fish(t,x)b=2; c=4; glo

7、bal a; xdot=-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c);end再建立M文件:x0=0,0,0;global a;for a=0:0.65/3:0.65t,x=ode45('fish',0,200,x0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);x3=x(:,3);subplot(1,2,1),plot(t,x1,'r-',t,x2,'b:',t,x3,'m-')title('x(紅色),y(藍色),z(紫色)隨t的變化情況');xlabel('t');p

8、ause(1)subplot(1,2,2),plot3(x1,x2,x3);grid;title('相圖');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pause(20)end運行結(jié)果(下面4圖分別為a=0,0.13,0.26,0.39,0.52的圖形) 圖4-圖84.Apollo衛(wèi)星的運動軌跡的繪制解： M文件：首先建立r1 函數(shù):function y=r1(x)u=1/82.45;a=x(1);b=x(2);y=(a+u)2+b2)(1/2);再建立r2函數(shù):function y=r2(x)u=1

9、/82.45;u1=1-u;a=x(1);b=x(2);y=(a-u1)2+b2)(1/2);接著建立如下M文件:function xdot=star(t,x)u=1/82.45;u1=1-u;k=x(1);l=x(2);m=x(3);n=x(4);xx=k,m;xdot=l;2*n+k-u1*(k+u)/r1(xx)3-u*(k-u1)/r2(xx)3;n;-2*l+m-u1*m/r1(xx)3-u*m/r2(xx)3;最后調(diào)用如下M文件:ts=0,20;x0=1.2,0,0,-1.04935751;t,x=ode45('star',ts,x0);y1=x(:,1);y2=x

10、(:,3);plot(y1,y2)運行結(jié)果：應用實驗5鹽水的混合問題一個圓柱形的容器，內(nèi)裝350升的均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始時，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過時間t后容器內(nèi)鹽的含量。做出如下假設：1.假設在不同濃度的水中的鹽擴散速度都相同。2.假設任何時刻容器內(nèi)的鹽水都是均勻的。3.用y（t）表示容器內(nèi)t時刻的鹽的含量，用W（t）表示容器內(nèi)t時刻的水的總量，用O表示鹽水流出的速度，用I代表純水流入的速度，時間變化后容器內(nèi)鹽的含量為y（t+）。考慮在內(nèi)流出的鹽水的為O則其流出的鹽為.通過以上假

11、設可以得如下模型： 化簡可得M文件： k= dsolve('Dy=-(y*Y)/(T(t0)+(C-Y)*t)','y(0)=7','t')運行結(jié)果： k = 7/(-T(t0)(Y/(-C+Y)*(-C+Y)*t-T(t0)(Y/(-C+Y)由題目可知W（t0）=350，O=10.5，I=14，從而y(t)=7000000/(t + 100)3總結(jié)與體會 通過該實驗的學習，我掌握了微分方程(組)的求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進歐拉法等），對常微分方程的數(shù)值解法有了一個初步的了解，同時學會了使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學會了建立微分方程方面的數(shù)學模型。加深了我對微分、積分等數(shù)學概念的理解，同時使我掌握了數(shù)學的分析思維方法，熟悉了處理大量的工程計算問題的方法。設計記錄表格，包括碰到的問題匯總及解決情況題號問題解決情況1解微分方程并作圖2歐拉公式相關3微分方程組4衛(wèi)星軌跡繪制鹽水的混合問題模型建立，數(shù)據(jù)處理教師簽名年 月 日備