第64煉空間向量解立體幾何(含綜合題習(xí)題)

1、第 64 煉 利用空間向量解立體幾何問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）刻畫直線與平面方向的向量1、直線：用直線的方向向量刻畫直線的方向問(wèn)題，而方向向量可由直線上的兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定uuur例如： A 2,4,6 , B 3,0,2 ，則直線 AB 的方向向量為AB 1, 4, 42、平面：用平面的法向量來(lái)刻畫平面的傾斜程度，何為法向量？與平面垂直的直線稱為平面 的法線，法線的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（ 1 ）所需條件：平面上的兩條不平行的直線r（ 2）求法：（先設(shè)再求）設(shè)平面的法向量為n x,y,z ，若平面上所選兩條直線的方向rr向量分別為ax1, y1, z1 ,bx2,y2,

2、z2 ，則可列出方程組：x1xx2xy1y z1zy2 y z2z解出x, y,z的比值即可r例如： arrr1,2,0 ,b 2,1,3 ,求a,b所在平面的法向量r解：設(shè) nx 2y 0x, y, z ，則有，解得：2x y 3z 0x 2y zyrx: y : z 2:1:1 n 2,1,1空間向量可解決的立體幾何問(wèn)題r rur r（用a,b表不直線a, b的方向向量，用m,n表不平面的法向量）1、判定類rr（1）線面平行：a / b a /1 brr2）線面垂直：a b a bur r（3）面面平行：/ m/nur r4）面面垂直：m n2、計(jì)算類：(1)兩直線所成角：cosr r c

3、os： a,br r a b(2)線面角：sinr ir cos a,mr ira maim(3)二面角：cos向量夾角關(guān)系而定)ucLr rcos ：m, n:m?,n或cosm nir r ur r.cos(m,n)相耳(視平面角與法m n(4)點(diǎn)到平面距離：設(shè)A為平面 外一點(diǎn)，P為平面 上任意一點(diǎn)，則 A到平面 的距離為dAuur rAP nrnuuur即AP在法向量n上投影的絕對(duì)值。(三)點(diǎn)的存在性問(wèn)題：在立體幾何解答題中，最后一問(wèn)往往涉及點(diǎn)的存在性問(wèn)題，即是否在某條線上存在一點(diǎn)， 使之滿足某個(gè)條件，本講主要介紹使用空間向量解決該問(wèn)題時(shí)的方法與技巧1、理念：先設(shè)再求 先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)

4、 x, y, z ,再想辦法利用條件求出坐標(biāo)2、解題關(guān)鍵：減少變量數(shù)量 一一x, y,z可表示空間中的任一點(diǎn)，但題目中所求點(diǎn)往往是確定在某條線或者某個(gè)平面上的，所以使用三個(gè)變量比較“浪費(fèi)”(變量多，條件少，無(wú)法求解)，要考慮減少變量的個(gè)數(shù)，最終所使用變量的個(gè)數(shù)可根據(jù)如下條件判斷：(1)直線(一維)上的點(diǎn)：用一個(gè)變量就可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)(2)平面(二維)上的點(diǎn)：用兩個(gè)變量可以表示所求點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律：維度=所用變量個(gè)數(shù)3、如何減少變量：r rrr(1)直線上的點(diǎn)(重點(diǎn))：平面向量共線定理一一若 a/ bR,使得ab例：已知 A 1,3,4 ,P 0,2,1,那么直線AP上的某點(diǎn)Mx, y, z 坐

5、標(biāo)可用一個(gè)變量表示,uuu方法如下：AMuuux 1,y 3,z 4 , APuuuu uuuuuuu因?yàn)镸在AP上，所以AM / APAM1, 1, 3 三點(diǎn)中取兩點(diǎn)構(gòu)成兩個(gè)向量uuuAP 共線定理的應(yīng)用(關(guān)鍵)-625 -x 1y 3 MMz 4 3,3,4 3僅用一個(gè)變量表示(2)平面上的點(diǎn)：平面向量基本定理一一若r rra, b不共線，則平面上任意一個(gè)向量c ,均存r r在， R,使得：c a例：已知A 1,3,4 ,P0,2,1,Q 2,4,0APQ上的某點(diǎn)M x, y,z坐標(biāo)可用兩個(gè)變量表示，方法如下:uulu AMi,y3,zuuu ,AP1,uuur1, 3 ,PQ 2,2,

6、1 ,故uuuu uuuAM APuuurPQ ,二、典型例題例 1 : ( 2010天津)在長(zhǎng)方體ABCDAB1CQ1 中,E,F分別是棱CFAB 2CE, AB:AD:AA 1:2:4(1)求異面直線 EF ,AD所成角的余弦值(2)證明：AF 平面A1ED(3)求二面角A ED F正弦值解：由長(zhǎng)方體 ABCD A1B1cl D1得：AA1, AB, AD兩兩垂直BC, CC1上的點(diǎn),(1) E以AA, AB,AD為軸建立空間直角坐標(biāo)系,F 1,2,1 ,A 0,0,4 ,D 0,2,0uur EFg,1uuuu,AD 0,2, 4uur uuuu cos EF,A1Duuir uuluE

7、F uurAD UlULEF A1D5 203cos 一5(2)uurAF1,2,1 ,設(shè)平面rAED的法向量為n x,y,zuuuuAD0,2,uuur4 ,DE 1,12,02y4z1: 2:11,2,1uuurAF /nAF平面AED(3)設(shè)平面EDFur的法向量m x, y,zuurDE1,2,0UULT ,df1,0,112y z 0z 1:2:urm 1,2, 11,2,1it r u rm ncos： m,n ：lt rm nsin在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面 ABCD,PAAD 4AB,若MN分別為棱PD,PC上的點(diǎn)，。為AC中點(diǎn)，且AC20M2ON(

8、1)求證：平面ABM平面PCD(2)求直線CD與平面ACM所成角的正弦值(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離解：Q PA 平面ABCDPA AB, PA ADPMOCQ 矩形 ABCD AB AD故PA, AB, AD兩兩垂直以PA, AB, AD為軸建立空間直角坐標(biāo)系P 0,0,4 ,B 2,0,0 ,C 2,4,0 ,D 0,4,0 ,0 1,2,0AC 20M 2ON ,且 OM,ON 分別為 VAMC ,VANC 的中線ANPC,AMPD設(shè)點(diǎn)Mx, y,z因?yàn)镻,M,D三點(diǎn)共線uuurrPMuuirPDuuuu 而PMx,y,z 4uur,PD0,4,UHTPD0,4M0CM 0,4,4而A

9、MPDuuuu AMuunPD164 4M 0,2,2同理，設(shè)點(diǎn)x,y,z因?yàn)镻,N,C三點(diǎn)共線uuurPNuurPCuuur而PNx,y,zuur4 ,PC2,4,UUTPD,4,4,4而ANPCuuurANuuurPC4 +16N 8,169 9209(1)設(shè)平面ABM的法向量為uux,y,zuurAB2,0,0uuuu,AM 0,2,22x2y2zurn10,1,設(shè)平面PCD的法向量為iun2x, y,zuuirPC2,4,uur4 ,DC 2,0,02x2x4y 04z 0uu n20,1,1uu uu n1 n2urn1uu n2平面ABM 平面PCDr(2)設(shè)平面ACM的法向量為n

10、 x, y,zuuurACuuuu2,4,0 ,AM 0,2,22x2y4y 02z 0rn 2, 1,1uuur 而CD2,0,0設(shè)直線CD與平面ACM所成角為uuir r cos：. CD ,nuurrCD nuuur rCD n dN 平面ACMuuir rAN nrn921619一6一209276例3：已知在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形,且 AD 2,AB 1,PA 平面ABCD, E,F分別是線段AB,BC的中點(diǎn)(1)求證：PF FD(2)在線段 PA上是否存在點(diǎn) G ,使得EG/平面PFD ,若存在，確定點(diǎn) G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)若PB與平面ABCD所成的

11、角為45°,求二面角A PDF的余弦值解：因?yàn)镻A 平面ABCD,且四邊形 ABCD是矩形以PA, AD, AB為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) PAP 0,0, h ,B 1,0,0 ,D 0,2,0,C 1,2,0,F 1,1,0,E1 ,0,02uuur(1) PF 1,1,uurh ,FD1,1,0uur PFuuurFD 0PF FD(2)設(shè) G 0,0,auuirEGr設(shè)平面PFD的法向量為nx, y,zuuiruuuiQ PF 1,1, h ,FD 1,1,0x y zhh,h,2Q EG/平面PFDuuurEGuur rEG n2h2a0解得4h存在點(diǎn)G ,為AP的四等分點(diǎn)

12、(靠近A)(3) Q PA 底面 ABCDPB在底面ABCD的投影為BAPBA為PB與平面ABCD所成的角,PBA 45oVPBA為等腰直角三角形APr平面PFD的法向量為n 1,1,2平面APD為yOz平面，所以平面 APD設(shè)二面角A PD F的平面角為ABur的法向量為m 0,1,0為銳角cosAD / BC,(1)求證:u r cos- m,n四棱錐 PABC 90o, PACD 平面POCABCD 中PB 3, BC(2)求二面角C PD O的平面角的余弦值平面 PAB 平面 ABCD1,AB 2, AD 3,O 是 AB 中點(diǎn)(3)在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn) M，使得BM /平面POD

13、,若存在，求出CM的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由PC解：過(guò)O在平面ABCD作AB的垂線交CD于QQ PAPB,O為AB中點(diǎn)POABQ平面PAB 平面 ABCDPO 平面ABCDPO OB,PO OQQOQ AB以PO,OB,OQ為軸建立空間直角坐標(biāo)系PO . PA2 OA222P 0,0,2 2 2 ,B 1,0,0 , A 1,0,0 ,C 1,1,0 ,D 1,3,0(1)uurCD 2,2,0 設(shè)平面POC的法向量為rn x, y,zuur_ uuurOP 0,0,2 : 2 ,OC 1,1,0uuu r_OP n 02 2z 0ruuu rn 1,1,0OC n 0x y 0uuur rC

14、D / n CD 平面 POCir(2)設(shè)平面PCD的法向量為 叫 x, y,zuuur_ uuurPC1,1, 2,2 ,CD2,2,0uuur ir_PC n 0 x y 2 . 2z 0 uur urCD n 0 2x 2y 0uu設(shè)平面PDO的法向量為n2x, y,zurn12, .2,1uurOP0,0,2 ,2uuur,OD1,3,0uuu uu_OP 2 02.2z 0uuu uuOD n2 0 x 3y 0ur uuU uun1 n24cos j ni, n2 y -tr一ur 一 ni n25inn23,1,0所以二面角CPD O的平面角的余弦值為uuur uuu(3)設(shè) M

15、 x, y, z Cm Cp1, 122uuuuuuuCM x 1,y 1,z ,CPzuuurBM,1,2 2Q BM/平面POD4例5:已知四棱錐CMPCBAD120°,(1)求證：平面(2)PAPBD,1,2 2in而平面PDO的法向量為n23,1,0umu urBM n2 034ABCD 中,PA平面ABCD ,平面PAC設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O, M為OC中點(diǎn),PM D的正切值是2，6 ,求a : b的值建系思路一：由 PA與底面垂直，從而以PA作為z軸，以RB為x軸,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形,AD若二面角DM由120°的肉形性質(zhì)可得取CD中點(diǎn)T ,連結(jié)AT則有A

16、TAB ,從而建立空間直角坐標(biāo)系解：取CD中點(diǎn)T ,連結(jié)AT ,可得ATCDABAT Q PA 平面 ABCD以PA,AB,AT為軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CT可得：B a,0,0 ,C 1a,-r3a,0 ,D 221 a, 2、3a,0 ,P 0,0,b 2(1)設(shè)平面PBD的法向量為irm x, y,znunQ PB a,0,urrr b ,BD32a，3,。2ax bz3 -ax203ay2設(shè)平面PAC的法向量為b3birmb,、3b, ax, y,zuurQ APunr0,0, b ,AC1a,旦,022,3,1,0設(shè)平面OPM的法向量為irnix,y,zuuuQOP1a, 4.3 uu

17、uua,b ,OM413 .a, a,0881 -ax41 ax83 hay bz4“3 nay 08urn1-3,1,0設(shè)平面PMD的法向量為uu出uur x,y,z Q PD,3 uuura, a, b , MD7、3- a, a,0881-ax2aybz7 -ax8ay7b3.3aur1-3b,7b,33a設(shè)二面角PMD的平面角為12.6,可得 cos5coscos(u1,uu)4b252b2 27a21 ax2ir rm n 0 平面PBD 平面PAC(2) O 1a, a,0 ,M 3a,33a,04488建系思路二:由思路一可發(fā)現(xiàn)盡管建系思路簡(jiǎn)單,但是所涉及的點(diǎn)的坐于復(fù)雜，而導(dǎo)致1

18、0b52b2 27a2100b2 52b2 27a2a2 48 16a24: 3b279b后面的計(jì)算繁雜。所以考慮結(jié)合圖形特點(diǎn)，建立 坐標(biāo)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)系，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算：利用菱形對(duì) 角線垂直的特點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)。過(guò)O作PA的平行線，即可垂直底面，從而所建立的坐標(biāo)系使得底面上的點(diǎn)均在軸上；另一方面，可考慮以O(shè)C為單位長(zhǎng)度，可得a 2 ,避免了坐標(biāo)中出現(xiàn)過(guò)多的字母解：過(guò)。作OT/ PA, QPA平面ABCDAT 平面ABCD因?yàn)锳BCD為菱形，所以O(shè)C OD以O(shè)T,OC,OD為軸建立空間直角坐標(biāo)系，以O(shè)C為單位長(zhǎng)度A 1,0,0 ,C 1,0,0 ,B 0, .3,0 ,D 0, .3,0 ,P1,

19、0,b(1)設(shè)平面PBD的法向量為irmx, y,zuurQ PB1, .3, b ,uuD 0,2 .3,0x 3 y bz2 ,3y 0urmb,0,1設(shè)平面PAC的法向量為x, y,z因?yàn)槠矫鍼AC即為xOz平面0,1,0irm平面PBD平面PAC(2)1一,0,02設(shè)平面OPM的法向量為urn1x,y,zuuuQOPuuuu1,0,b ,OM1一,0,02x bz設(shè)平面PMD的法向量為ur%x 3ybzurn10,1,0x,y,zuuurQ PD1-3,uuur b ,MDi-,02 3buun223b,b,3、3設(shè)二面角O PMD的平面角為貝U tan2,、6 ,可得 cosurrn

20、coscos- n1 ,n213b2 275b13b2 2725b2 13b2 27b212 4279-627 -CDJ 4：3,3八 b ,Q a2 例6：如圖，在邊長(zhǎng)為 4的菱形ABCD中， BAD 60o, DE AB于點(diǎn)E ,將VADE沿DE折起到VA1DE的位置，使得A1D DC(1)求證：AiE 平面BCDE(2)求二面角EA1BC的余弦值EP ,(3)判斷在線段EB上是否存在一點(diǎn) P ,使平面ADP 平面ABC ,若存在，求出的PB值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1) QCD ED,CD A1DCD 平面AEDCD A1EQ AE DEA1E平面 BCDE(2)AE ED,AiE

21、BEQ DE BEAE,ED,BE 兩兩垂直 以AE,ED,BE為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系計(jì)算可得：AE 2, DE 2.3A 0,0,2 ,B 2,0,0 ,D 0,2、3,0 C 4,2 一3,0ir(2)平面EAB的法向量為m 0,1,0r設(shè)平面A1BC的法向量為n x,y,zuuur _uuir_BC 2,2、3,0 ,AC 4,2、3, 2uur r_BC n02x2.3y0uuur rAC n04x2,3y2z0n ,3, 1,3設(shè)二面角EA1BC的平面角為ir rcos-r r m n 1 cos m,n-ur-r- ='/ m n 1 "(3)設(shè) P ,0,0ur設(shè)平

22、面A1DP的法向量為n1x,y,zuuuu _AD0,2、3, 2uurAiP,0, 2-641 -uuuu urAD n1 0 uur urA1P n10x 22、.3y 2z 0、3y -x 2z 03zur niQ平面A1DP 平面A1BCr ur_ . 3一n n1 0 2V3 V30 解得： 33P 3,0,0不在線段BE上，故不存在該點(diǎn)哪些量和位置關(guān)系是不變的，要將小煉有話說(shuō)：(1)對(duì)待翻折問(wèn)題要注意在翻折的過(guò)程中, 平面圖形的相關(guān)量與翻折后的幾何體建立對(duì)應(yīng)關(guān)系。(2)在處理點(diǎn)的存在性問(wèn)題時(shí)，求該點(diǎn)所在平面法向量的過(guò)程中會(huì)遇到所解方程含參的情況，此時(shí)可先從含參方程入手，算出滿足方程

23、的一組值，再代入另一方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)便。例7：如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是平行四邊形， PA 平面ABCD ,點(diǎn)別為 BC,PA 的AB AC1,AD 版.(1)證明:MN /平面 PCD ;(2)設(shè)直線AC與平面PBC所成角為內(nèi)變化時(shí)，求二面角 P BC A的取值范圍.且，當(dāng)在解：Q AB2 AC2 AD2AB ACQ PA 平面 ABCDPA AB, PA AC以PA, AB, AC為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) PA hB 1,0,0 ,C0,1,0,D 1,1,0 ,Ph0,0,h ,N 0,0,2,M1 1八,02 2(1)uuuuMN設(shè)平面rPCD的法向量為nx,y,zi

24、irCD1,0,0uju ,PC0,1,ujur CD ujur PCrnrnzhrn 0,h,1UUlUMN2h2h0MN/平面PCD(2)設(shè)平面PBC的法向量為irmx,y,ziirBCiur1,1,0 ,PB 1,0,uulr BC 1110 PBir m ir mx yx zhirmh,h,1imrQ AC0,1,0uurirsincos AC,m2h2 10,6sin0,2h22h2 1平面BCA的法向量為UTn10,0,1ITm h,h,1LT UTcos： m,n1urLTm n1irmIT ni1,2h2 1由h 0,可得2h2211,2設(shè)二面角P BC A的平面角為則cos0

25、,4例8:在如圖所示的多面體中,EA平面 ABC,DB 平面ABC , AC BC ,且ACBC BD 2AE 2,M是AB中點(diǎn)(1)求證：CM EM(2)求平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值(3)在DC上是否存在一點(diǎn) N，使得直線MN與平面EMC所成的角為60°?若存在，指出點(diǎn) N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由DECAMB解：過(guò)A在平面ABC上作BC的平行線ANQ ACBCAN ACQ EA平面ABCAEAN, AE ACAE,AC,AN兩兩垂直如圖建系:B 2,2,0 ,C0,2,0 ,D 2,2,2(1)UUUUCMUUUT1, 1,0 ,EM1,1, 1,M 1,1,

26、0 ,E 0,0,1UJUDCMUUUU EMUULU UUUTCM EMCM EMur(2)設(shè)平面EMC的法向量為n1x, y,zuuiuiuumQCM 1, 1,0 ,EM 1,1, 1x y 0 uuCn11,1,2x y z 0uu設(shè)平面BCD的法向量為n2x, y,zuuruurBD 0,0,2 ,CB 2,0,02z2xurn10,1,0設(shè)平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值為uu uu則coscosn1n2(3)設(shè)N x,y,zQN在CD上uuurCNuur CDuurCD2,0,2uuurCNx,y 2,zuur CD2 ,0,2,2,2uuur MN1,1,2sinu

27、uur uucos； MN ,n1uuuu MN uuuu MNuu nu n1、.326,6 .8 2 42解得:2uur 1 uurCN -CD 2o60存在點(diǎn)N ,當(dāng)N為CD中點(diǎn)時(shí)，直線 MN與平面EMC所成的角為例9：如圖，在四棱錐 P- ABCD中，PAA底面ABCD, AD A AB , ABDC,AD= DC= AP = 2, AB = 1 ,點(diǎn) E 為棱 PC 的中點(diǎn).(1)證明：BE DC(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF AC ,求二面角F AB P的余弦值解：Q PA 底面ABCDPA AD,PA ABPA, AD, AB兩兩垂直

28、，如圖建系：P 0,0,2 ,B 1,0,0 ,D 0,2,0 ,C 2,2,0 ,E 1,1,1 uuuuur(1) BE 0,1,1 ,DC 2,0,0uuu uuir uuu uuurBE DC 0 BE DCBE DC r(2)設(shè)平面PBD的法向量為n x,y,zuuruurPB 1,0, 2 ,BD 1,2,0x 2z 0 r n 2,1,1x 2y 0設(shè)直線BE與平面PBD所成角為sinuuu r cos BE ,nuuu rBE nuuur-rBE nl2_3,2 .63(3)設(shè) F x,y,zQ P,F,C三點(diǎn)共線uuruuuPF x,y,z 2 ,PC 2,2, 2uur u

29、urPF PC 2 ,2 , 2x 2y 2F 2 ,2 ,2 2z 22uurBF 21,2 ,2 2uuurAC 2,2,0Q BF ACuuu uurBF AC2 212 20 解得:1132,2,2ur設(shè)平面FAB的法向量為m x,y,zuuuuuirAB 1,0,0 , AF113, , .2 2 21irm 0,3, 1r平面ABP的法向量為n 0,1,0ir r cos m,nir r m n tr-r m n面角F AB P的余弦值為 3、,1010例10：如圖，在三柱ABC A B1C1，H是正方形AAEE的中心，AA 2J2 , C1H平面AA1B1B ,且CH 娓(1)求

30、異面直線 AC與AB1所成角的余弦值(2)求二面角 A AC1 B1的正弦值(3)設(shè)N為棱BC1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AARB內(nèi)，且MN 平面A1B1C ,求線段BM的長(zhǎng)解：連結(jié) AB,AB1，因?yàn)镠是正方形AA1B1B的中心AB,AB1交于 H，且 HA HB1QC1H平面 AAB B如圖建系： A 2,0,0 ,B1 0,2,0 , A 0, 2,0 ,B 2,0,0 ,C1 0,0, 5uuuu uuir設(shè) C x,y,zC1C A1A2, 2,0x2y2C 2, 2, 5z .5 0 uuur_ uuuu(1)AC 2,0, 75 , AB 2,2,0uuur uuur 4cosAC,AB

31、1：=3 2、2r(2)設(shè)平面AACi的法向量為n x,y,zuuuruuur_AA 2, 2,0 ,ACi2,0-55, ,5,22x 2y 0xyr2x - 5z 02x 、5zir設(shè)平面ACiBi的法向量為m x,y,zuuuurACiuuuur2,0,、. 5 , BQ0, 2,、. 52x 5z 02y .5z 0ur r11r.m ncosm,n) -ur-r- m n2x 、5z2y 、. 5z42i4 7ur,.5, 5,22設(shè)一面角 A ACi Bi的平面角為，則cos 一7-3.5sin . i cos 7(3) N0,i,，因?yàn)?M在底面AABB上，所以設(shè)M x,y,0u

32、uuirNMx,y iT 2ur平面AiBiCi的法向量為m.5, ,5,2Q MN 平面 AB1cur MN / m541415,可解得:2,044三、歷年好題精選1、如圖，在四麴隹S ABCD中，底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA 底面ABCD, AB垂直于 AD和BC, SA AB BC 2,AD 1,M是棱SB的中點(diǎn).(1)求證：AM /平面SCD(2)求平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值(3)設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為求sin的最大值2、(2015,北京)如圖，在四棱錐 A EFCB中，VAEF為等邊三角 形， 平 面 AEF平 面 EFCBEF /

33、BC,BC 4,EF 2a, EBCFCB 60o,O為EF的中點(diǎn)(1)求證：AO BE(2)求二面角F AE B的余弦值(3)若BE 平面AOC ,求a的值3、(2015,山東)如圖，在三棱臺(tái)DEF ABC 中，AB 2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).(1)求證：BD/平面FGH ；(2)若 CF 平面 ABC , AB BC,CF DE, BAC 45o,求平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小.4、(2014,北京)如圖，正方形 AMDE的邊長(zhǎng)為2, B,C分別為AM,MD的中點(diǎn)，在五棱車B P ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面 ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G, H(1)

34、求證：AB/FG葭(2)若PA 底面ABCDE ,且PA AE ,求直線BC與平面ABF 所成角的大小，并求線段 PH的長(zhǎng)5、(2014,江西)如圖，四棱錐 P ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD 平面ABCD若 BPC 90o, PB 也 PC2 ,問(wèn)AB為何值時(shí),(1)求證：AB PD四棱錐P ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面 BPC與平面DPC夾角的余弦值1、解析：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建系:,S 0,0,2 ,M 0,1,1習(xí)題答案:則 A 0,0,0 ,B 0,2,0 ,C 2,2,0 , D 1,0,0uumunruurAM 0,0,1 ,SD 1,0, 2 ,CD 1,

35、 2,0r設(shè)平面SCD的法向量為n x,y, zuuu rSD n 0 x 2z 0ruur r,可得：n 2, 1,1CD n0x 2y0uuuu ruuurrAM n0AM nAM /平面 SCDur（2）可知平面SAB的法向量為n11,0,0 ,設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為0,2cosr n r- nurn12蟲.63所成的二面角余弦值為.63(3)設(shè) N x,2x 2,0uuurMN x,2xir平面SAB的法向量為n1,0,0sinx.5x2 12x 103 一即x52、解析：（1）AOEFQ平面AEFAO平面AOBE110 I212 1 x105一時(shí)，sin取得最大值，即

36、3sinmax-35Q VAEF為等邊三角形且 。為EF的中點(diǎn)平面EFCBEFCB(2)取BC中點(diǎn)D ,連結(jié)OD ,分別以O(shè)E,OD,OA為軸如圖建系可得：A 0,0,、3a ,E a,0,0 ,B 2,2,3.3a,0設(shè)平面urAEB的法向量為n1x,y,zuuir 由AEa,0,_ uur,3a , EB2 a,2，3 J3a,0 可得:uur urAE n1 uuu ur EB n1ax % 3az2,3、3aur一ni . 3, 1,1平面AEFuu的法向量n20.1,0ir uucos： n1,n2irni urniiun2、.55由二面角F AEB為鈍二面角可知cos.5(3) C

37、 2,26,3a,0AOC的法向量為irmx, y,zuuu_OA 0,0, ,3auuur ,OC2,2 .33a,0urnOA uur OCir m ir mQ BE3、解析:在三棱臺(tái)2xuuu ur-3a yuuuur解得m2.3 、, 3a,2,0平面AOC22.3(1)證明:BE/m,因?yàn)?BEa 2, . 3a 2.3,073a 73a 2 ，解得：a 2 (舍)連結(jié) DG,DC ,設(shè)DC,GF交于點(diǎn)TDEF ABC 中，由 AB2DE 可得 AC 2DFQ G為AC中點(diǎn)DF / AC ,即 DF / AG 且 DFAG四邊形DGCF是平行四邊形T為DC中點(diǎn)且DG / FC在VBDC中，可得TH為中位線TH / DB以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA,GB,GC所在的直線 分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AB 2,則 DE CF 1,AC 2J2, AG 顯,B（0,