2020年中考數(shù)學(xué)二輪核心考點(diǎn)講解第15講非常規(guī)思維問(wèn)題解析版

1、【中考數(shù)學(xué)二輪核心考點(diǎn)講解】第15講非常規(guī)思維問(wèn)題知識(shí)儲(chǔ)備、軸對(duì)稱/翻折的性質(zhì)1. 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；2. 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線;3. 對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)與每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段相等；4. 若對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長(zhǎng)線相交，則交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上、梯形常見輔助線的作法作STff、圓幕定理和交弦定理AP BP=DP * CP(dpr=apc)PTjPA PB(PAT-PTRlD割純定理PA PB=PC * PD(PACPD)托勒密壬理Ae - BD=AD ' BC + AB DC（內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積二對(duì)邊乘積之和）四、

2、正弦定理與余弦定理正弦定理Sin A Sin B Sin Cr為ABC 接圓半徑）余妾定理Or - b' +e" -2ccos4b 二丁 +c- - 2ac s B= a1 + 2ab COS C五、阿基米德折弦定理阿基米新弦趣M是弧ABC的中j BOABJ LID丄哉則有:CD=AB+BD例題精講 ¾ i 可認(rèn)【例題1】（1）如圖1,四邊形ABCD是菱形， BAD= BCD=60 ° ,當(dāng)AC=12時(shí)，則厶BCD的周長(zhǎng)=（2）如圖2,若四邊形 ABCD不是菱形， BAD=2 ACB=2 ACD=60 ° , AC=12 ,判斷 BCD的周長(zhǎng)是

3、否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由。（3）如圖 2,在四邊形 ABCD 中，/ BAD= ACB= ACD=45 °，AC=12 ,求 BCD 的周長(zhǎng)。國(guó)冊(cè) 的軸對(duì)tfh1 井UJ不變.LjI AS >J時(shí)稱軸.In出AJBC的ft劉ABC 1!5f4ZX'' 連揍rc, I Ar=-ACAC1=-M IZC-UJ-ZCiw3 分c,ri.-r ZW64J , Zfrl,l2Oe Z4ct d = j jr,r-jtfi:點(diǎn)F D段CrM h:、ZCD的周快等于CC"的¾. CCtt *3JC *<? 12占譏MCD的岡氐不變.C#(碇轉(zhuǎn)方注也龍撰

4、f不過(guò)比枚奴雜)g j I )4bkkhkkh * bbbkkkkb h Hbdfr ”甘 Id【歸納，本題重點(diǎn)巧用 作軸對(duì)稱/翻折的方法進(jìn)行解題】【變式1】已知：如圖(1)在Rt ABC中， BAC = 90° AB= AC,點(diǎn)D、E分別為線段 BC上兩動(dòng)點(diǎn)， 若 DAE = 45°(1) 探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；(2) 已知：如圖(2),等邊三角形 ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且 DCE = 30°請(qǐng)你找出一個(gè)條件, 使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).圖【解析】(1) DE2= BD2+EC2

5、;(2)當(dāng)AD = BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.如圖，與(2)類似，以 CE為一邊，作 ECF = ECB ,在CF上截取CF = CB ,可得 CFE也厶 CBE, DCFDCA. AD = DF , EF = BE . DFE = 1+ 2= A+ B = 120°若使 DFE為等腰三角形，只需 DF = EF ,即AD = BE,當(dāng)AD = BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角 DFE為120°【例題 2】如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC, ABC+ DCB = 90°,且 BC = 2AD ,以 AB、B

6、C、DC 為邊 向外作正方形，其面積分別為Si、S2、S3,若S= 3, S3= 9,則S2的值為.S【解析】 Si = 3, S3= 9, AB= _ ：, CD = 3,過(guò)A作AE/ CD交BC于E,則 AEB = DCB , AD / BC,四邊形AECD是平行四邊形， CE= AD, AE = CD= 3, ABC+ DCB = 90°, AEB+ ABC = 90°, BAE = 90 ° , BE= J, ： , L - ；：= 2:， BC= 2AD , BC= 2BE = 4 :， S2=（ 4：）2= 48,故選：D.【變式 2-1 】如圖所示.

7、梯形 ABCD 中，AB / CD , A+ B= 90°, AB = P, CD = q, E, F 分別為 AB, CD 的中點(diǎn)，求EF.【解析】過(guò)點(diǎn)F分別作FG / AD , FH / BC交AB于G , H ,（如圖） A= FGH , B= FHG , B+ A= 90 ° , FGH+ FHG = 90°, FGH是直角三角形， FG / AD, FH / BC, AB/ CD ,四邊形ADFG、FHBC都是平行四邊形, 又 E、F分別是兩底的中點(diǎn)， AE= EB, BH = AG, GE = EH , DF = AG =斗 FC = HB =斗 FG

8、 = AD , FH = BC,在Rt FGH中，即EF是Rt FGH斜邊的中線， EF = GH = ( AB - CD)2 25,【變式 2-2 】如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AB : BC :CD : DA 3:8: 3 3:2 ,求 B、/ D解：過(guò)A作AE/ DC,設(shè)AB=3a (a> 0)根據(jù)勾股定理逆定理可得BAE=90°, AEB=30°,可推出 B=60°, D=150°【例題3】如圖，F(xiàn)A切O于A, PBC是 O的割線，如果 PB= 2, PC = 4 ,貝U RA的長(zhǎng)為.【解析】 PA切O于A, PBC是 O

9、的割線，PB = 2, PC= 4, PA2 = PB× PC, FA=J：= 2 二故答案為：2.'：.【變式3-1】如圖，CD是 O的直徑，以D為圓心的圓與 O交于A、B兩點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E, CD交 D 于 P,已知 PC= 6, PE : ED = 2: 1 ,貝U AB 的長(zhǎng)為()C. ： :【解析】延長(zhǎng)PD交 D于F. 設(shè) PE = 2x, DE = X.根據(jù)相交弦定理，得：CE× ED = AE × BE= PE × EF,(6+2x)× X= 2x× 4x,解得X= 1 .所以AE = BE= 2丄所以 AB

10、 = 4 ：.故選：B.【變式3-2】九年級(jí)學(xué)生小剛是一個(gè)喜歡看書的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學(xué)書上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦， 被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），非常好奇，仔細(xì)閱讀原來(lái)就是：PA?PB= PC?PD ,小剛很想知道是如何證明的，可已證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結(jié)AC、BD .聰明的你一定能幫他證出，請(qǐng)?jiān)趫D1中做出輔助線，并寫出詳細(xì)的證明過(guò)程.小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2, AB是 O弦，P是AB上一點(diǎn)，AB = 10cm, PA = 4cm, OP= 5cm,求O的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會(huì)幫助他

11、，請(qǐng)寫出詳細(xì)的證明過(guò)程.【解析】（1）圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.已知，如圖1, O的兩弦AB、CD相交于E, 求證：AP?BP = CP?DP .證明如下：連結(jié)AC, BD,如圖1 , C= B, A= D, APCsA DPB , AP： DP = CP : BP, AP?BP= CP?DP ;所以兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.(2)過(guò)P作直徑CD ,如圖2, AB= 10, FA = 4, OP = 5,. PB= 10 4= 6, PC = OC+OP = R+5, PD = OD - OP = R由(1)中結(jié)論得，F(xiàn)A?PB = PC?PD ,.

12、 4 × 6=( R+5) ×( R 5),解得R= 7 ( R=- 7舍去).所以O(shè)的半徑R= 7cm.【例題4】問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1, AB和BC是 O的兩條弦(即折線 ABC是圓的一條折弦)，BC > AB, M是X的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足 D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD = AB+BD .下 面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明 CD = AB+BD的部分證明過(guò)程.BE= CE+AC;證明：如圖 2,在CB上截取 CG= AB ,連接 MA, MB , MC和MG . M是須的中點(diǎn)，.MA = MC(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分; 實(shí)

13、踐應(yīng)用：(2)如圖3,已知 ABC內(nèi)接于 O, BC> AB> AC, D是，的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為BE= CE+AC .(3)如圖4 ,已知等腰 ABC內(nèi)接于 O , AB= AC, D為AB上一點(diǎn)，連接 DB , ACD = 45°, AE CD于點(diǎn)E , BDC的周長(zhǎng)為4. ：_：+2, BC = 2 ,請(qǐng)求出 AC的長(zhǎng).【解析】(1)證明：如圖2,在CB上截取CG = AB,連接MA , MB , MC和MG , M是訂的中點(diǎn)， MA = MC .rBA=GC 在厶MBA和厶MGC中, A是門的中點(diǎn), 厶二ZG ,JA=MC M

14、BA MGC (SAS) , MB = MG , 又 MD 丄 BC, BD = GD, DC = GC+GD = AB+BD;實(shí)踐應(yīng)用(2) 如圖3,依據(jù)阿基米德折弦定理可得： 故答案為：BE= CE+AC;(3) AB = AC, AE CD ,根據(jù)阿基米德折弦定理得，CE= BD+DE , BCD的周長(zhǎng)為4二+2, BD+CD + BC = 4：?+2 , BD+DE+CE+BC = 2CE+BC = 4 二+2 , BC= 2, CE= 2!,在 Rt ACE 中， ACD = 45°, AE= CE= 2 一AC= 4.【變式4-1】我們知道，如圖1 , AB是O的弦，點(diǎn)F

15、是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作EF丄AB于點(diǎn)E,易得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即AE= EB. O上一點(diǎn)C (AC> BC),則折線ACB稱為 O的一條“折弦”.(1) 當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的上方時(shí)(如圖2),過(guò)點(diǎn)F作EF丄AC于點(diǎn)E,求證：點(diǎn)E是“折弦ACB”的中 點(diǎn)，即 AE = EC+CB .(2) 當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的下方時(shí)(如圖3),其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說(shuō)明理由；若不成立，那么 AE、EC、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明.(3) 如圖4,已知Rt ABC中， C = 90°, BAC = 30°, Rt ABC的外接圓 O的半徑為2,過(guò)O 上一點(diǎn)P作P

16、H丄AC于點(diǎn)H ,交AB于點(diǎn)M ,當(dāng) FAB = 45°時(shí)，求 AH的長(zhǎng).(3)如圖3,在 AC 上截取 AG= BC,連接 FA, FG , FB, FC ,點(diǎn)F是丨的中點(diǎn)，F(xiàn)A= FB,(FA=FB在厶 FAG 和 FBC 中，.卜亠，LG=BC FAG FBC (SAS), FG = FC , FE 丄 AC,： EG = EC,： AE= AG + EG = BC+CE;(2)結(jié)論AE = EC+CB不成立，新結(jié)論為： CE = BC+AE,理由：如圖3,在CA上截取 CG= CB,連接FA, FB, FC,點(diǎn) F 是罕 的中點(diǎn)， FA = FB, Z- -, FCG = F

17、CB,CG=CBZFCG=ZFCB,FC=FC FCG FCB ( SAS), FG = FB , FA= FG, FE 丄 AC,： AE = GE,： CE= CG + GE= BC+AE ;在 Rt ABC 中，AB = 2OA = 4, BAC = 30°,S在CA上截取 CG= CB,連接PA, PB, PG, v ACB= 90 °,. AB 為 O 的直徑， APB = 90° ,v FAB = 45°, PBA = 45°= PAB, FA= PB, PCG = PCB,. BC =B = 2, AC= 2 ；當(dāng)點(diǎn)P在弦AB上方

18、時(shí),SCCG=CBZPCG=ZPCBPC=PC PCG PCB ( SAS), PG= PB, PA= PG ,V PH 丄 AC , AH = GH , AC= AH + GH+CG = 2AH + BC , 2 _ ；= 2AH+2 , AH =:- 1,當(dāng)點(diǎn)P在弦AB下方時(shí)，如圖5 ,在AC上截取 AG= BC ,連接PA , PB , PC ,v ACB= 90 ° , AB 為 O 的直徑，v FAB = 45°, PBA = 45°= PAB ,AG=BCZPZPBC(同弧所對(duì)的圓周角相等，PA=PB FAG PBC (SAS) , PG= PC ,V

19、 PH 丄 AC , CH = GH , AC = AG+GH+CH = BC+2CH , 2 : = 2+2CH , CH =.：- 1 , AH = AC - CH = 22 -(V- 1)=+1,即:當(dāng) PAB= 45° 時(shí)，AH 的長(zhǎng)為 :- 1 或.>1 .【例題5】閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).托勒密定理：托勒密(Ptolemy)(公元90年公元168年)，希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作天文學(xué)大成被后,托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著在厶PCG和厶PCB中,在厶FAG和厶PBC中,PGAPB= 90°, .FA= PB,人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密

20、有時(shí)把它叫作數(shù)學(xué)文集 名的托勒密（Ptolemy）定理.托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和. 已知：如圖 1四邊形ABCD內(nèi)接于O,求證：AB?CD + BC?AD = AC?BD下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：證明：如圖 2,作 BAE = CAD ,交BD于點(diǎn)E. r. . ABE = ACDAC CD.AB?CD = AC?BEC3?V -I 一 ACB= ADE （依據(jù) 1） BAE = CAD BAE+ EAC = CAD + EAC即 BAC = EAD ABCsA AED （依據(jù) 2）任務(wù)：(1)請(qǐng)繼續(xù)完成上面的證明過(guò)程，并回答上述過(guò)程中的“依據(jù)1 ”和“依

21、據(jù)2”分別是什么.(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形 ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：.(3)如圖3,四邊形 ABCD內(nèi)接于O , AB = 3, AD = 5, BAD = 60° ,點(diǎn)C為丨的中點(diǎn)，求 AC的長(zhǎng).【解析】(1 ) ABC AED AD?BC = AC?ED AB?CD+AD?BC = AC?( BE+ED) AB?CD +AD ?BC = AC?BD上述證明過(guò)程中的“依據(jù) 1”是同弧所對(duì)的圓周角相等.“依據(jù)2”是兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.(2) 當(dāng)圓內(nèi)接四邊形 ABCD是矩形時(shí)，則 AB = CD , AD = BC, AC= BD , AB?CD

22、+AD?BC = AC?BD ,2 2 2 AB2+AD2= bd2,托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：勾股定理， 故答案為勾股定理.(3) 連接BD ,作CE丄BD于E.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， BAD+ BCD = 180°, BAD = 60°, BCD = 120°,. =， CD = CB, CDB = 30°,ff在 Rt CDE 中，cos30°=,CD DE = - CD,2 BD = 2DE =:CD,由托勒密定理：AC?BD = AD?BC+CD?AB, AC? CD = 3CD+5CD ,答：AC的長(zhǎng)為【變式5-

23、1】問(wèn)題探究：（1） 已知：如圖， ABC中請(qǐng)你用尺規(guī)在 BC邊上找一點(diǎn)D ,使得點(diǎn)A到點(diǎn)BC的距離最短.（2） 托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.如圖， P是正 ABC外接圓的劣弧 BC上任一點(diǎn)（不與 B、C重合），請(qǐng)你根據(jù)托勒密（Ptolemy）定理證明：FA =PB+PC問(wèn)題解決：（3）如圖，某學(xué)校有一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在點(diǎn) P處，使P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點(diǎn)P?若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離（結(jié)果保留根號(hào)）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

24、明理由.5【解析】（1）利用尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn) 則點(diǎn)D即為所求；（2）由托勒密定理得， PA?BC= PB?AC+PC?AB, ABC為正三角形，. AB= BC= AC, PA?BC= PB?BC+PC?BC, FA= PB+PC;（3）以BC為邊作正厶BCD ,使點(diǎn)D與點(diǎn)A在BC兩側(cè)，作厶BCD的外接圓，連接 AD交圓于P,連接PB,作DE丄AC交AC的延長(zhǎng)線于 E, 則點(diǎn)P即為所求，由（2）得，PD = PB+PC, P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和= DA ,且距離之和最小，. CD = BC= 30, DCE = BCE- BCD = 30°,A作BC的垂線，交BC于D , DE

25、=15,圖由勾股定理得，CE = I I ； ：.：= 15 :,則 AD =,：-；-：；-= 30 . - I ：；,答：P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小值為 30 J :m.【例題6】如圖，在Rt ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法:sinA SinB/ SinA = C=,C=bSinB根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí)在圖 的銳角 ABC中，探究b之間的關(guān)系，并寫出探究過(guò)程.園【解析】,理由為:abCSLnASLnBSinC過(guò) A 作 AD 丄 BC, BE AC,在 Rt ABD 中,在 Rt ADC 中,ADCSinC= ,即 AD = bsinC,bSinB =,即 AD = CS

26、inB,CbCSLnBSLnC. CSinB = bsinC,aCSLnASLrLC=b C即同理可得aSinA SLnB SiIlC【變式6-1】觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題在銳角 ABC中， A、/ B、/ C的對(duì)邊分別是 a、b、c,過(guò) A作 AD丄BC于 D （如圖（1）,則 _SinB SLnC,即 AD = CSinB, AD = bsinC,于是 CSinB= bsinC,即,同理有:SinC sinA SirA SinB說(shuō) _ b _ usinA SirIB SinC所以即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條 邊

27、），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素.根據(jù)上述材料，完成下列各題.A（1）如圖（2）, ABC 中， B = 45°, C = 75°, BC = 60,則 A=; AC =;（2）自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚島國(guó)有化”鬧劇以來(lái)，我國(guó)政府靈活應(yīng)對(duì)，現(xiàn)如今已對(duì)釣魚島執(zhí) 行常態(tài)化巡邏.某次巡邏中，如圖（3 ），我漁政204船在C處測(cè)得A在我漁政船的北偏西 30°的方向上,隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東 30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島 A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政204船距釣魚島A的距離AB.（結(jié)果

28、精確到0.01 , .廠八：）【解析】（1）由正玄定理得： A= 60°, AC = 20'故答案為：60°, 20 I,;（2）如圖，依題意：BC= 40 × 0.5= 20 （海里） CD / BE, DCB+ CBE = 180°. DCB = 30°, CBE= 150°. ABE = 75°, ABC = 75°. A= 45°.在厶ABC中,AB 二 BCinZCB SLnZAAB20sin0esin45s即解之得：AB = 10 . I 24.49海里.所以漁政204船距釣魚島A的距

29、離約為24.49海里.【變式6-2】在厶ABC 中,定理，請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題:我們稱為余弦(1)如圖，已知 DEF , E = 60°, DE = 4, DF = .:,求 EF 的長(zhǎng)度;（2）通過(guò)合理的構(gòu)造，試求cos1052_2 2【解析】(1)由余弦定理，可得 CoSE = 匚'2 DE-EF E= 60°, DE = 4, DF =：；, 1垃+國(guó)於-132X4EF ，解得EF = 1或3;AD 丄 BC, AD = 1.(2)如圖，在 ABC 中， B = 45°, C= 30°,在 RTAADC 中，

30、AD = 1 . AC= 2, CD = 3,在 RTAADB 中，AD = 1 , AB=，BD = 1 ,ABC 中，AB = AC = 2, BC = ；： ：+1 , BAC = 180° - 30°- 45°= 105° ,ab2+ac2-bc2+4- (3 T ) 22 AB-AC2×22利用余弦定理可得 cos105= /. J巧題狂練讓>ls!*1.如圖，AB是圓O的直徑，弦 CD丄AB于E, P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 PC交圓O于F ,若PF = 7,FC = 13 , PA: AE : EB = 2: 4: 1,貝U

31、 CD 長(zhǎng)為4 D【解析】 設(shè)BE為X,則PA= 2x, PB= 7x.根據(jù)割線定理，得FA?PB = PF?PC ,即 2x?7x= 7 × 20,解得X=r.又 CE2= AE?BE = 4x2= 40, CE= 2 I, CD = 2CE = 4.! .2.定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦阿基米德折弦定理：如圖1, AB和BC組成圓的折弦， AB >BC, M是弧ABC的中點(diǎn)，MF丄AB于F ,貝U AF = FB+BC.如圖 2, ABC 中， ABC = 60°, AB= 8, BC = 6, D 是 AB 上一點(diǎn)，BD = 1 ,作

32、DE 丄 AB 交厶 ABC 的 外接圓于E,連接EA,則 EAC =60° .【解析】如圖2,連接OA、OC、OE, AB= 8, BC = 6, BD = 1 , AD = 7, BD + BC= 7, AD = BD+BC, 而ED丄AB,點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即弧 AE =弧CE, AOE = COE, AOC= 2 ABC = 2× 60°= 120° AOE = COE= 120°, CAE =COE= 60°故答案為60°.3.如圖，在 Rt ABC 中， ACB = 90則AD的長(zhǎng)為,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，以CD

33、為直徑的圓與 AB相切于點(diǎn)E,若CD1 .=3,【解析】連接OE, CE, AB與圓O相切于點(diǎn)E,: 一_ 1EC22 2 2OA2 = AE2+OE2, AED = ACE,. tan ACE = tan AED =2DC為圓O的直徑， DEC = 90°, A= A, AED ACE, 竺=坐=丄，即卩AE = 2AD,EC AE 2設(shè) AD = X ,貝U AE= 2x, CD = 3, OD = OC = 1.5 ,在Rt AEO中，根據(jù)勾股定理得:X= 0 (舍去)或X= 1,即(x+1.5) 2=( 2x) 2+1.52,整理得：X2- X= 0,即 X (X- 1)=

34、0,解得:則 AD = 1.故答案為：14.已知：如圖，直角梯形 ABCD中AD / BC, A = 90°, CD = CB = 2AD .點(diǎn)Q是AB邊中點(diǎn)，點(diǎn) P在CD 邊上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn) P為直角頂點(diǎn)作直角 MPN , MPN的兩邊分別與 AB邊、CB邊交于點(diǎn)M、N.(1) 若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M在線段AQ上，如圖(1).求證：近NQ-CN=*BG(2) 若點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BQ上，如圖(2).線段MQ、CN、BC的數(shù)量關(guān)系是：,并 【解析】(1)如圖1 ,過(guò)點(diǎn)D作DE丄BC于E, AD / BC, A = 90°,四邊形 ABED 是矩形， BE= AD ,設(shè)

35、AD = X,貝V CD = CB= 2x, CD = CB= 2AD = 2x,. CE= BE = 2x- X= X,在 RtA CDE 中，根據(jù)勾股定理得，DE = U¢0 $' = Q(Zx) 2 -*2 =、電 x, MPN 是直角， MDE + EDN = 90°, 又 ADM+ MDE = 90°, DAM = EDN , Rt ADM S Rt EDN , 辿=鰻即置=AM麗=麗，7=麗， EN= 一 Wl ,x,：'：MQ - CN=：-：(丄X =127 CB= 2x,連接 中占I 八、：(2)如圖2,點(diǎn)P是CD PQ / AD

36、, PQ =BC,MQ - CN =_BC;4PQ,過(guò)點(diǎn)D作DE丄BC于E,過(guò)點(diǎn)P作PF丄BC于F,設(shè)AD = X,則CD= CB = 2x, 點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)，1同（1）可求, 點(diǎn)P是CD2DE =-：x,中占I 八、：(AD+CB)=一(x+2X )= x,2 PF / DE , PF =-x,CF =CE =2 又 QPM+ MPN = FPN + MPN , QPM = FPN , PQM PFN ,x,PQFPKLFN ,即 CN = CE- FN =x-二MQ,23 FN =二 MQ ,3 MQ+CN3L1X =4"IBC CB= 2x,BC,點(diǎn)Q是AB邊中點(diǎn)，. AQ

37、=B= DE = x,2 MQ = AQ- AM =2ix - AM ,2-AM)-( XAM )=X - .AM - x+J AM =故答案為:/MQ + CNBC.【解析】證明：如圖，連接 AD / CG, D = ECG ,在厶ADE和厶GCE中CD的中點(diǎn)，EF丄AB ,垂足為F ,求證：S梯形ABCD= AB?EF.AE交BC的延長(zhǎng)線于 G點(diǎn)，連接BE,DB120°CCfXfAICl£ZD=ZGCE7.如圖：已知點(diǎn) A、B、C、D順次在圓 O上，AB= BD,BM丄AC,垂足為 M .證明：AM = DC + CM .DE=ECt Zdea=Zceg ADE也厶 G

38、CE (ASA), AE= GE,可得： SaABG= S梯形 ABCD= 2SABE= AB × FE .6.如圖，在 O中，AB= AC,點(diǎn)D是P '上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D 不與 C、B 重合)，連接 DA、DB、DC , BAC(1) 若AC = 4,求 O的半徑；(2) 寫出DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明.【解析】(1)如圖1 ,連接OC, OA, BC,AB= AC, BAC = 120°, ABC = ACB = 30 ADC = ABC= 30°, AOC= 2ADC = 60°,OC = OA, AOC是等邊三角形, OA = AC=

39、 4;(2) CD + BD =：'：AD ,理由如下:延長(zhǎng)DB到點(diǎn)E,使BE = DC,連接AE,如圖2 ABE = ACD , AB= AC, BE = CD , AB=AC Zabe=ZacbBE=CD ABE ACD (SAS) AE= AD, ADB = ACB = 30°, ADE = E= 30°, DAE = 120°, DE = . -AD 即：BD+CD = VpAD.B【解析】證明:C BAM = BDC ,又 AB = BD ,將厶ABM繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到 DBN ,使 BAM與 BDC重合，如圖, ABM DBN , AM = DN ,

40、 BM = BN , AMB = N , BM 丄AC,即 AMB = 90°, N= 90°, 在直角 BMC和直角 BNC中，："一山,IBCC BMC BNC , CM = CN , DN = CD+CN, AM = DC+CM .8. 小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.(1) 更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題如圖1 ,在 O中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線 CD 丄AB于點(diǎn)E,則AE= BE .請(qǐng)證明此結(jié)論；(2) 從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦如圖2, PA, PB組成 O的 一條折弦.C是劣

41、弧AB的中點(diǎn)，直線 CD丄PA于點(diǎn)E,貝U AE = PE+PB.可以通過(guò)延長(zhǎng) DB、AP相交于 點(diǎn)F ,再連接AD證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過(guò)程；(3) 如圖3, PA. PB組成O的一條折弦，若 C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線 CD丄PA于點(diǎn)E,則AE, PE 與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明. C是劣弧AB的中點(diǎn)， CDA = CDB , DE 丄 AB, AED = DEB = 90°, A+ ADE = 90°, B+ CDB = 90°, A= B, ADB為等腰三角形， CD 丄 AB, AE= BE;(2) 如圖2 ,延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)

42、F ,再連接AD , ADBP是圓內(nèi)接四邊形， PBF = FAD , C是劣弧AB的中點(diǎn)， CDA = CDF , CD 丄 PA, AFD為等腰三角形， F = A, AE= EF, PBF = F, PB= PF, AE= PE+PB(3) AE = PE - PB .連接AD , BD , AB, DB、AP相交于點(diǎn)F,弧 AC =弧 BC, ADC = BDC, CD 丄 AP, DEA = DEF , ADE = FDE , DE = DE , DAE DFE , AD = DF , AE = EF , DAF = DFA , DFA= PFB , PBD = DAP , PFB

43、= PBF , PF= PB , AE= PE- PB.9. 閱讀與思考：阿基米德（公元前 287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、 力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，阿基米德流傳于世的著作有10余種，多為希臘文手稿下面是阿基米德全集中記載的一個(gè)命題：AB是 O的弦，點(diǎn)C在 O上，且CD丄AB于點(diǎn)D ,在弦AB上取點(diǎn)E ,使AD = DE,點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，且 丨= I ,連接BF可得BF = BE.(1) 將上述問(wèn)題中弦 AB改為直徑AB,如圖1所示，試證明BF = BE;(2) 如圖2所示，若直徑AB= 10，Eo =丄OB，作直線I與 O相切于點(diǎn)

44、F.過(guò)點(diǎn)B作BP I于點(diǎn)P.求BP的長(zhǎng).【解析】(1)如圖1所示，連接CE、BC, CD 丄 AB, AD = DE , AC= CE, CAE = CEA,又 T ', CA= CF , FBC = EBC, CE= CF,又 A+ F= 180°, CEA+ CEB = 180 ° , CEB= F, CEB CFB (AAS), BE= BF ;(2)如圖2所示，連接AF ,T AB= 10, EO=二-=,. EB = 7.5, AB 為 O 的直徑， AFB = 90°, I與與 O相切于點(diǎn)F, OFP = 90°, AFO = BFP

45、 ,又 OF = OA, OAF = OFA, OAF = BFP , BP I 于點(diǎn) P, BPF = 90° ,BF=BA',BP 7.5BP=f10. 閱讀下面的材料：如圖(1),在以AB為直徑的半圓 O內(nèi)有一點(diǎn)P , AP、BP的延長(zhǎng)線分別交半圓 O于點(diǎn)C、D . 求證：AP?AC+BP?BD = AB2.證明：連接 AD、BC ,過(guò) P 作 PM 丄 AB ,則 ADB = AMP = 90° ,點(diǎn)D、M在以AP為直徑的圓上；同理： M、C在以BP為直徑的圓上.由割線定理得： AP?AC = AM?AB , BP?BD = BM?BA ,2所以，AP?AC

46、+BP?BD = AM?AB+BM?AB= AB?( AM + BM )= AB2. 當(dāng)點(diǎn)P在半圓周上時(shí)，也有 AP?AC+BP?BD = AP2+BP2= AB2成立，那么：(1) 如圖(2)當(dāng)點(diǎn)P在半圓周外時(shí)，結(jié)論 AP?AC+BP?BD = AB2是否成立？為什么?(2) 如圖(3)當(dāng)點(diǎn)P在切線BE外側(cè)時(shí)，你能得到什么結(jié)論？將你得到的結(jié)論寫出來(lái). (2)【解析】(1)成立.證明：如圖(2), PCM = PDM = 90°,點(diǎn)C、D在以PM為直徑的圓上，. AC?AP= AM?AD , BD?BP= BM?BC, AC?AP+ BD ?BP = AM?MD+BM ?BC;2 AM?MD + BM?BC = AB2, AP?