橢圓-高考文科數(shù)學專題練習

1、課時作業(yè)知能提升一、填空題1.設P是橢圓器十為=1上的點.若Fi、F2是橢圓的兩個焦點,則|PFi|+|PF2| 25 16解析：由題意知 a=5,|PFi|十|PF2|=2a=10.答案：102,已知橢圓C的短軸長為6,離心率為4,則橢圓C的焦點F到長軸的一個端5點的距離為.12b=6,c 4一解析：由題息可知且a>0, b>0, c>0, a2 Ia = b + c ,解得 a = 5, b=3, c=4.:橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為 a+c=9或a c= 54=1.答案：1或93. m>n>0”是“方程mx2+ny2= 1表示焦點在y軸上的橢圓”

2、的 條件.22解析：把橢圓方程化成,+1=1.若m>n>0,則了m>0.所以橢圓白焦點在y軸上.反m n之，若橢圓的焦點在y軸上，則1>m>0即有m>n>0.故為充要條件.答案：充要4.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為1,且它的長軸長等于圓 C: x2 + y22x 15=0的半徑，則橢圓的標準方程是 .解析：由 x2 + y2 2x 15= 0,知 r=4=2a? a=2.又 e= C=± c= 1,則 b2=a2 c2=3.a 222-x y答案：7+q=1435 .若橢圓上存在點P,使得點P到兩個焦點的距離之比為2： 1,則此橢圓離心

3、率的取值范圍是.解析：設P到兩個焦點的距離分別為2k, k,根據(jù)橢圓定義可知：3k= 2a,又結 合橢圓的性質可知.橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為 2c,即k<2c,2a0 6c,即 e方 ,. 3答案：1, 1) 3 226 .已知Fi, F2分別是橢圓/卜1的左、右焦點，P是橢圓上的任意一點，則 1PFPFPF2的取值范圍是.解析：顯然當PFi=PF2時，|牛開"2|= 0.由橢圓定義得PF2 = 4j2PFi,從而 |PFi-PF2| |2PFi-4V2l 14V2 , 而、歷 匚”行" 獷472PFi= PFi = |pF2 .而 2V2-2<P

4、Fi<2A/2+25所以 2啦+2普V24232，故 |普一2 <2+2啦.綜上所述，PFPFPF2% 0,2/2 + 2. 答案：0,242 + 2,， ，i7 .已知橢圓的中心在原點，焦點在 y軸上，若其離心率為萬，焦距為8,則該橢圓的方程是.解析：由題意知，2 c= 8, c= 4,C 4 1 a a 2'a= 8,從而 b2=a2 c2=48,22方程是y +猿=i. 64 4822答案：64+48=i心x2 y2以一 一口上必人公一一 一山8,已知P是橢圓工+；=1上的動點，F(xiàn)i, F2是橢圓的兩個焦點，則PFi PF2的取值范圍為:解析：解法一 (利用三角代換)

5、設橢圓上任意一點為P(xo, yo),所以xo = 2$cos 0,22. e(其中°為參數(shù))，橢圓的左、右焦點分別為«2叵。),F2（2J2, 0）,所以 PF1 = （-2*y2 x。， yo）, PF2 （2j2 xo, yo）.所以PF1 PF2 = x2 + y0 8=12coJ 時4sin2 9-8 = 8coJ 9-4 -4,4.解法二（轉換成二次函數(shù)）設橢圓上任意一點為P（xo, yo）,橢圓的左、右焦點分別為 Fi（ 2也，0）, F2（2也,0）,所以 PFi = （ 242xo, -yo）,PF2=（2/2xo, - yo）.所以PFi PF2=X0

6、+ y28,該式表示橢圓上任意一點到原點的距離的平方與 8的 差.因為橢圓上任意一點到原點的距離最小值為短半軸b=2,距離最大值為長半軸 a = 273.所以 x2 + y2 4,12,所以PFi PF2=x0 + y28C 4,4.答案： 4,49 .以等腰直角 ABC的兩個頂點為焦點，并且經(jīng)過另一頂點的橢圓的離心率為解析：當以兩銳角頂點為焦點時，因為三角形為等腰直角三角形，故有b= c,此時可求得離心率e= Cc.;同理，當以一直角頂點和一銳角頂點為焦點時，設直角邊長為 m,故有2c=m2a=(1 + /2)m,所以，離心率eC 2c m一a-2a(1+ 亞 m一手或啦1V2-i.解答題1

7、0 .已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(-2,o),且長軸長與短軸長的比是2 :國求橢圓C的方程；設點M(m,0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點.當|MP|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù) m的取值范圍.22解析：(1)設橢圓C的方程為合+1:1(a>b>0).，a2= b2+ c2,由題意，得 a ： b=2 ： ,3, c= 2.解得 a2=16, b2=12.222216+y2= 1,故一4&x&4.1 221 .、2=4x -2mx+ m + 12=4(x 4m)所以橢圓c的方程為靠+12=1.(2)設P(x, y)為橢圓上的動點，由于橢

8、圓方程為因為MP=(x m, y),所以 |MP|2=(x m)2+y2 = (x m)2+ 12 (1 x6) + 123m2.因為當|MP|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點, 即當x=4時，|IMP|2取得最小值.而x -4,4, 故有4m>4,解得m> 1.又點M在橢圓的長軸上，所以一4<mi<4.故實數(shù)m的取值范圍是1,4.11.已知橢圓C的中心為坐標原點，一個長軸端點為(0,1),短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形.若直線l與y軸交于點P(0, m),與橢圓C交于不同的兩點 A、B,且AP=3PB.(1)求橢圓C的方程;求實數(shù)m的取值范圍.解析：(1)依題意

9、a=1, b = c,.b2 = 2,;所求橢圓C的方程為2x2 + y2=1.(2)設直線 l: y= kx+ m,消去 y得(k2+2)x2+2kmx+ m21 = 0, A= 4k2m24(k2 + 2)(m21)=4(2m2 k22)>0, .2m2 k22<0,rt 八二1 、,x-rx1 + 3x2 - AP= 3PB,設 A(x1，y。，B(x2, y2),則=0,1 3xi = - 3x2,又, xi + x2 =2kmm2 1k2+2，xix2= . + 2.2kml2x2=k2Ti，消去 x1 得2_1,I3x2=-%消去 x2得 3k2m2= (k，2)(1

10、m2),_ 22 2-2m2；k=4m._ 2c 2 c 2 2m2 “ 2m2 4mT1 <0?(m2-1)(4m2-1)<0,mC (-1, -2)U(2, 1).12.已知中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓C的離心率3為為3,點A, B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O 到直線AB的距離為655(如圖所示).(1)求橢圓C的標準方程;已知點E(3,0),設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足 EPXEQ,求EPQP 的取值范圍.解析：(1)由離心率e=c=*，得:=巾-e2 =彳a 2 a2. .a=2b.原點O到直線AB的距離為笠, ab 6 5AA.-2 2= 5 . a + b 5代入，得b2 = 9.；a2=36.則橢圓C的標準方程為轟+ '=1.36 9(2)VEP±EQ,.EPEQ = 0.EP QP= EP (