142_角平分線(2)三角形的內(nèi)心

1、1.4 角平分線（2） 三角形的內(nèi)心尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖角平分線的作法 做一做做一做l已知:A AOB B,如圖.l求作:射線OC,使AAOC=BC=BOC C.l作法:l用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .l1.在OAT和oB上截取OD,OE,使OD=OE.l2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在 AAOB B內(nèi)內(nèi)交于點(diǎn)C.l3.作射線OC.ABOCl則射線OC就是AAOB B的平分線.DE駛向勝利的彼岸角平分線的性質(zhì)定理定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等. .回顧 思考逆定理逆定理 在一個(gè)角的內(nèi)部在一個(gè)角的內(nèi)部, ,且到角

2、的兩邊距離相等且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的點(diǎn), ,在這個(gè)角的平分線上在這個(gè)角的平分線上. .駛向勝利的彼岸親歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展w剪一個(gè)三角形紙片通過折疊剪一個(gè)三角形紙片通過折疊找出每個(gè)角的平分線找出每個(gè)角的平分線. .結(jié)論:三角形三個(gè)角的平三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn)分線相交于一點(diǎn). .老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.你想證明這個(gè)命題嗎?w觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么? 做一做做一做駛向勝利的彼岸親歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展利用尺規(guī)作出三角形利用尺規(guī)作出三角形三條角平分線. .結(jié)論:三角形三條角平分線相交于一點(diǎn).老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.你想證明這個(gè)命題嗎?你能證明這個(gè)命題嗎? 做一做做

3、一做w再觀察這三條角平分線.你又發(fā)現(xiàn)了什么?與同伴交流. .駛向勝利的彼岸思考分析命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).如圖,設(shè)ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.BM是ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,ABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)P.咋證三條直線交于一點(diǎn)咋證三條直線交于一點(diǎn)w基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).要想證明三條直線相交于一點(diǎn),只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.這時(shí)可以考慮前面剛剛學(xué)到的逆定理.ABCPMNDEFPD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.PD=PF.點(diǎn)

4、P在BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).駛向勝利的彼岸定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.如圖,在ABC中,BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分線,且PDAB,PEBC,PFAC(已知),BM,CN,AH相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).老師提示老師提示: :這又是一個(gè)證明三條直線交于一點(diǎn)的根據(jù)之一這又是一個(gè)證明三條直線交于一點(diǎn)的根據(jù)之一這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心內(nèi)心. .幾何的幾何的三種語言三種語言 做一做做一做ABCPMNDEF挑戰(zhàn)

5、自我挑戰(zhàn)自我 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)駛向勝利的彼岸l如圖如圖,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平分線的角平分線,DEAB,垂足為垂足為E.老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫出其過程.l(1)如果如果CD=4cm,AC的長(zhǎng)的長(zhǎng);l(2)求證求證:AB=AC+CD.EDABC夢(mèng)想成真 試一試試一試1.如圖,已知ABC,作ABC一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線,看它們是否交于一點(diǎn)?這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?如果以這個(gè)點(diǎn)為圓心,這一點(diǎn)到三角形一邊的距離為半徑作圓,你能作出這個(gè)圖形嗎?ABC老師提示:三角形一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線交于一點(diǎn), 這個(gè)的點(diǎn)

6、叫做三角形的旁心.這樣點(diǎn)有三個(gè).回味無窮w 定理定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角的兩邊距離相等. . w 逆定理逆定理 在一個(gè)角的內(nèi)部在一個(gè)角的內(nèi)部, ,且且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的點(diǎn), ,在在這個(gè)角的平分線上這個(gè)角的平分線上. .w 定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等(這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心).w 三角形一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線交于一點(diǎn), 這個(gè)的點(diǎn)叫做三角形的旁心.這樣點(diǎn)有三個(gè).小結(jié) 拓展OCB1A2PDE知識(shí)的升華獨(dú)立獨(dú)立作業(yè)作業(yè)P習(xí)題1. 1 、 2 、 3題.祝你成功！習(xí)題1.9 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.已知:如圖,C=900, B=300,AD是RtABC的角平分線.w求證:BD=2CD. w老師期望:w你能寫出規(guī)范的證明過程.ABCD習(xí)題1.9 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w2.已知:如圖,ABC的外角CBD和BCE的角平分線相交于點(diǎn)F.w求證:點(diǎn)F在DAE的平分線上. 老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣. ABCFDE習(xí)題1.9 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w3.已知:如圖,P是AOB平分線上的一點(diǎn),PCOA,PDOB,垂足分別C,D.w求證:w(1)OC=OD;w(2)OP是CD的垂直平分線.