雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教學(xué)設(shè)計(jì)）一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：（1）理解雙曲線的定義及焦點(diǎn)、焦距的意義，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）根據(jù)不同的題設(shè)條件，正確區(qū)分兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程與方法：（1）引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)與橢圓的對(duì)比去探索雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想及事物類比的研究方法的認(rèn)識(shí)（2）從建立坐標(biāo)系、簡(jiǎn)化方程過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理的能力情感態(tài)度與價(jià)值觀：（1）培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于研究的精神（2）通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)氛圍二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)難點(diǎn)：（1）理解，及雙曲線左、右支等

2、不同的軌跡情形；（2）令的思維過(guò)程，及焦點(diǎn)分別在x軸y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程形式三、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）情境設(shè)置1、荊門(mén)市火力發(fā)電廠通風(fēng)塔圖片和演示截面圖2、初中代數(shù)中反比例函數(shù)的圖象那么，雙曲線是怎樣形成的？（二）、探索定義1、模擬實(shí)驗(yàn)：取一條拉鏈，拉開(kāi)一部分，在拉開(kāi)的一邊取其端點(diǎn)，在另一邊中間部分取一點(diǎn)，分別固定在F1、F2兩點(diǎn)處，把筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈逐漸拉開(kāi)或合攏，筆尖就畫(huà)出一條曲線（演示模擬實(shí)驗(yàn)）2、分析問(wèn)題：（1）動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2的距離之差保持怎樣的關(guān)系？ （2）這個(gè)常數(shù)與|F1F2|大小關(guān)系？ （3）|MF1|與|MF2|大小關(guān)系與M點(diǎn)的位置有何關(guān)系? 3、定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1

3、、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線定點(diǎn)F1、F2焦點(diǎn)距離|F1F2|=2c焦距思考題：由定義知|MF1|MF2|=2a(2a>0),2c=|F1F2|若2a<2c，點(diǎn)M的軌跡是什么？ 符合雙曲線的定義，應(yīng)是雙曲線若2a=2c，點(diǎn)M的軌跡是什么？ 以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線 若2a>2c，點(diǎn)M的軌跡是什么？ 由模擬實(shí)驗(yàn)討論，軌跡不存在（三）探求方程1、雙曲線方程的推導(dǎo)解：建系設(shè)點(diǎn) 以F1、F2所在直線為x軸，它們的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)M（x,y）是雙曲線上任一點(diǎn)，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，寫(xiě)出軌跡上動(dòng)點(diǎn)M的適合

4、條件由定義可知M點(diǎn)滿足列出方程 化簡(jiǎn)方程 移項(xiàng) 平方 整理得 ，即 由雙曲線定義可知2a,即a,設(shè)=，方程整理得 這是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2、判斷下列雙曲線方程焦點(diǎn)的位置 如何判斷雙曲線焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的比較 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中距離差“-”，有別于橢圓中距離和“+”，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2 +b2 ,a>0，b>0；有別于橢圓方程中，c2=a2 -b2 ,a>b>0雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上

5、有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上（四）應(yīng)用練習(xí)例1 填空題(1)已知雙曲線方程，則a= ,b= ,c= 焦點(diǎn)在 軸上，其坐標(biāo)為 ，焦距為 (2)如果橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，那么a= 例2 已知一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)M（-4，0）且與已知圓C：(x-3)2+y2=4相外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程分析：根據(jù)雙曲線的定義求解解：設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r(r>0)，圓 (x-3)2+y2=4的圓心為C (3,0),半徑為2則|PM|=r |PC|=r+2 |PC|-|PM|=2<|MC|=6,又|PC|>|PM|P點(diǎn)的軌跡是以M、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支則c=3, a=1, b2

6、=c2 -a2=8P點(diǎn)的軌跡方程為 (x<0) （五）歸納小結(jié) 1、 橢圓與雙曲線聯(lián)系與區(qū)別橢圓雙曲線定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)位置與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系比較分母大小 若x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，焦點(diǎn)在y軸上a、b、c關(guān)系c2=a2 -b2c2=a2 +b22、布置作業(yè) P108 習(xí)題8.3 1、3、4雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（課堂實(shí)錄）（課前1分鐘，播放片頭，包括各種物體及音樂(lè)）教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，并研究了這一圓錐曲線的幾何性質(zhì)在剛才的片頭中,我們還看到了許多物體，它們的外形是多種形式的優(yōu)美曲線今天我們來(lái)研究其中的一種曲線學(xué)生：（興奮、疑惑

7、、有求知欲）（情境設(shè)置片頭中的一幅圖片，火力發(fā)電廠通風(fēng)塔）教師：這是荊門(mén)市火力發(fā)電廠的通風(fēng)塔，它的截面輪廊線是什么曲線？（演示通風(fēng)塔截面圖）教師：這種曲線我們似曾相識(shí)，初中代數(shù)中我們學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)，它的圖象就是這樣的曲線（作出圖象）為了使大家觀察得更清楚，我們將的圖象旋轉(zhuǎn)45°（旋轉(zhuǎn)后又重新建立新的坐標(biāo)系給出圖象）教師：（適時(shí)提出）它是什么曲線？學(xué)生：（回應(yīng)熱烈）雙曲線 教師：很好（板書(shū)）雙曲線教師：通風(fēng)塔的截面輪廓線是雙曲線的一部分，物理中雙曲線型旋轉(zhuǎn)體的通風(fēng)效果是最好的（設(shè)計(jì)感悟：片頭中的圖片直觀，引起學(xué)生對(duì)這課堂的興趣，同時(shí)對(duì)雙曲線有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)演示通風(fēng)塔截面圖，從具體到抽象

8、，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，有利于認(rèn)識(shí)事物 旋轉(zhuǎn)后再建系，這樣符合建系的原則，又為后面推導(dǎo)雙曲線方程中建系埋下一個(gè)伏筆另外還注意了物理知識(shí)的滲透）教師：雙曲線是怎樣形成的？我們一起來(lái)探索一下（邊演示實(shí)驗(yàn)，邊講解）教師：先來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：取一條拉鏈，拉開(kāi)它的一部分，（動(dòng)畫(huà)1）在拉開(kāi)的一邊上取其端點(diǎn)，在另一邊的中間部分取一點(diǎn)，分別固定在F1、F2兩點(diǎn)處，使一邊比另一邊多出|F2N|（動(dòng)畫(huà)2）在拉動(dòng)的過(guò)程中，我們看到點(diǎn)M隨之變動(dòng)，選擇拉鏈的好處是使得|MF1|與|MF2|增加的長(zhǎng)度相同，都是藍(lán)色部分教師：為了顯示的更直觀，將|MF1|與|MF2|平移放到下面來(lái)，再觀察一次（重新演示動(dòng)畫(huà)2）教師：我們看

9、到|MF1|與|MF2|增加的長(zhǎng)度相同，但是它們的差總保持不變，是這一段紅色的部分教師：（補(bǔ)充）是一個(gè)常數(shù)教師：（演示動(dòng)畫(huà)3）將筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈的逐漸合攏或拉開(kāi)，筆尖就畫(huà)出右邊的一條曲線此時(shí)|MF1|大于|MF2|，且差保持不變，是一個(gè)常數(shù)若F1，F(xiàn)2互換位置，會(huì)得到怎樣的曲線呢？學(xué)生：（思考）教師：（演示動(dòng)畫(huà)4）這樣又得到了左邊的這條曲線，此時(shí)|MF1|小于|MF2|，它們的差的絕對(duì)值保持不變教師：想一想，在剛才的實(shí)驗(yàn)中，動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值保持怎樣的關(guān)系？學(xué)生1：是一個(gè)定值教師：也就是一個(gè)常數(shù)，很好教師：再想一想，這個(gè)常數(shù)與|F1F2|大小關(guān)系怎樣？ 學(xué)生2：小

10、于|F1F2|教師：回答得非常好你是通過(guò)哪個(gè)幾何圖形看出的？學(xué)生：三角形MF1 F2教師：三角形兩邊之差總小于第三邊教師：接著，我們?cè)傧胍幌?，|MF1|與|MF2|大小關(guān)系與M點(diǎn)的位置有何關(guān)系?學(xué)生3：當(dāng)|MF1|大于|MF2|時(shí)，M點(diǎn)在右支；當(dāng)|MF1|小于|MF2|時(shí)，點(diǎn)M在左支教師：上面左右兩支合起來(lái)叫做雙曲線（設(shè)計(jì)感悟：選取拉鏈實(shí)驗(yàn)好處是M點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，但始終滿足差的絕對(duì)值為常數(shù)跟蹤得軌跡是雙曲線，這是辯證唯物主義觀點(diǎn)的運(yùn)用，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律也是可以被學(xué)生掌握和應(yīng)用的逐個(gè)的演示動(dòng)畫(huà)1到4，將實(shí)驗(yàn)細(xì)化，更清楚更直觀）教師：根據(jù)模擬實(shí)驗(yàn)，以及橢圓的定義，你能否給雙曲線下一個(gè)定義呢？橢圓的定義是怎

11、樣的？師生：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡教師：那么雙曲線定義呢？學(xué)生4：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1F2的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線教師：回答得非常好（板書(shū)）定義，用紅色字打出“差的絕對(duì)值”，“2a>2c=|F1F2|” 教師：橢圓定義中和為常數(shù)，記為2a，雙曲線中差的絕對(duì)值為常數(shù)，我們也記為2a；所不同的是雙曲線中常數(shù)2a小于|F1F2|，橢圓中常數(shù)2a大于|F1F2|；同樣這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距，記為2c=|F1F2|教師：雙曲線滿足動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為（板書(shū)）|MF1|MF2|=2a(2a>

12、;0且2a2c=|F1F2|）教師：由定義知道，差的絕對(duì)值為常數(shù)2a2c，能否大于或等于2c呢？我們來(lái)討論一下這三種情況的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題1、若2a<2c，點(diǎn)M的軌跡是什么？ 學(xué)生5：雙曲線教師：符合雙曲線的定義問(wèn)題2、若2a=2c，點(diǎn)M的軌跡是什么？學(xué)生5：是線段 教師：若2a=2c，即|MF1|MF2|= |F1F2|，M、F1、F2這三點(diǎn)不構(gòu)成三角形，這三點(diǎn)共線剛才他說(shuō)是線段，M點(diǎn)在哪兒？師生：在 F1、F2之間 教師：這樣可能嗎？不可能M點(diǎn)在哪兒？哪位同學(xué)補(bǔ)充一下？學(xué)生6：是射線教師：幾條？學(xué)生6：兩條 問(wèn)題3、若2a>2c，點(diǎn)M的軌跡是什么？ 學(xué)生7：是橢圓 教師：橢圓定義中

13、是到兩定點(diǎn)的距離“之和”為常數(shù)，我們這里是“之差”滿不滿橢圓定義？師生：不滿足教師：不是橢圓， 教師：當(dāng)2a<2c時(shí)，M、F1、F2這三點(diǎn)構(gòu)成三角形；當(dāng)2a=2c時(shí)，這三點(diǎn)共線；當(dāng)2a>2c時(shí)，既不構(gòu)成三角形，又不共線那么師生：軌跡不存在（設(shè)計(jì)感悟：三個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，使學(xué)生對(duì)雙曲線定義中2a與2c的關(guān)系，更進(jìn)一步理解）教師：復(fù)雜的曲線可以通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系得到簡(jiǎn)單對(duì)稱的曲線方程，如橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么雙曲線方程如何？教師：我們用求曲線方程的一般步驟，類比于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程，共同來(lái)推導(dǎo)雙曲線的方程第一步是師生：建系設(shè)點(diǎn)教師：你準(zhǔn)備如何建系？ 學(xué)生8：以F1、F2它們的中點(diǎn)為坐標(biāo)

14、原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)M（x,y）是雙曲線上任一點(diǎn)，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，教師：這樣建系設(shè)點(diǎn)不僅滿足雙曲線的對(duì)稱性，而且還使得所設(shè)未知數(shù)、參數(shù)盡可能少且具有直觀性很好教師：第二步寫(xiě)出幾何條件，第三步根據(jù)幾何條件，以及兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，第四步化簡(jiǎn)方程請(qǐng)同學(xué)們類比于橢圓方程推導(dǎo)過(guò)程來(lái)完成（學(xué)生積極思考，認(rèn)真演算）教師：（在學(xué)生討論過(guò)程中）對(duì)于這個(gè)方程的化簡(jiǎn)，主要任務(wù)是去掉什么？學(xué)生：去根號(hào)學(xué)生9：先移項(xiàng)，再平方 教師：含兩個(gè)根式時(shí)，將一個(gè)移項(xiàng)，再平方學(xué)生9：再一次平方得：教師：很好在橢圓方程簡(jiǎn)化中我們也遇到了類似的一個(gè)方程，我們是怎么處理？師生：設(shè)字母b 教

15、師：我們引入一個(gè)字母b(b0),使b2=a2 c2，因?yàn)闄E圓中a大于c我們能否也引入一個(gè)量，哪位同學(xué)出出主意？學(xué)生10：設(shè)=教師：雙曲線中a與c關(guān)系？學(xué)生10：c大于a教師：這個(gè)方法很可行，因?yàn)槭且粋€(gè)正數(shù)，所以令=此時(shí)即可化簡(jiǎn)，結(jié)果是師生：教師：這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程它所表示的雙曲線焦點(diǎn)在X軸上，其中，（板書(shū)）標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上 教師：如果我們以F1F2所在的直線為y軸，即焦點(diǎn)在y軸上，它的標(biāo)準(zhǔn)方程怎樣？學(xué)生： 教師：與橢圓中類似，由坐標(biāo)變換思想，互換x,y的位置即可得焦點(diǎn)在y軸上的方程（板書(shū)）焦點(diǎn)在y軸上， 教師：標(biāo)準(zhǔn)方程形式上與橢圓類似，右邊為1，左邊為平方差的形式；而橢圓左邊為

16、和的形式兩個(gè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程形式相似，但焦點(diǎn)的位置不同，如何判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上？判斷下列雙曲線方程焦點(diǎn)的位置 學(xué)生10：焦點(diǎn)在X軸上，焦點(diǎn)在y軸上教師：是標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？學(xué)生：不是標(biāo)準(zhǔn)方程教師：你能不能將它化為標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)生10：同時(shí)乘-1，得就是方程教師：你能不能幫我們歸納一下，在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中如何判斷雙曲線焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？學(xué)生10：如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上教師：他給了我們一個(gè)判定雙曲線焦點(diǎn)位置的方法，而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，通過(guò)比較a、b即分母大小，判定焦點(diǎn)的位置教師：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程作一下比較首先，從方程形式上看有什么

17、不同？學(xué)生11：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中距離差“-”，有別于橢圓中距離和“+”，教師：a、b、c三者關(guān)系有什么不同？學(xué)生11：雙曲線中c2=a2 +b2 ,a>0，b>0；有別于橢圓方程中，c2=a2 -b2 ,a>b>0教師：焦點(diǎn)位置判定方法不同（設(shè)計(jì)感悟：學(xué)生自行推導(dǎo)方程教師進(jìn)行指導(dǎo)，又推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，進(jìn)行區(qū)別，教師適時(shí)提出問(wèn)題：如何判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？從而突破難點(diǎn)，正確區(qū)別兩個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)方程形式）教師：我們來(lái)做幾個(gè)練習(xí)，熟悉雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程例1 填空題(1)已知雙曲線方程，則a= ,b= ,c= 焦點(diǎn)在 軸上，其坐標(biāo)為 ，焦距為 (2)如果橢

18、圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，那么a= 教師：先看第1題，快速作答學(xué)生12：a=3, b=4，c=5,x軸，（-5，0）（5，0），焦距為10教師：接著計(jì)算一下第（2）題學(xué)生13：a=教師：雙曲線焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？學(xué)生13：在x軸上教師：等于多少？教師：在橢圓的焦點(diǎn)也應(yīng)在X軸上，那么等于學(xué)生13：=14-a2教師：14-a2等于5，則a2為9，a等于3，因?yàn)閍大于0（設(shè)計(jì)感悟：鞏固雙基，信息反繢）例3 已知一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)M（-3，0）且與已知圓C：(x-3)2+y2=4相外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程學(xué)生：（思考）教師：點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，M點(diǎn)和C點(diǎn)是兩個(gè)定點(diǎn)，且在X軸上對(duì)稱的兩點(diǎn)；圓P和圓C相外切，兩圓相外切，能

19、得到什么條件？師生：圓心距等于半徑之和教師：|PC|-|PM|=2即，P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離之差是學(xué)生：是常數(shù) 教師：P點(diǎn)的軌跡是什么？學(xué)生：雙曲線 教師：我們跟蹤一下它的軌跡來(lái)看一看（演示跟蹤軌跡）教師：當(dāng)我們知道曲線的屬性，就可以用待定系數(shù)法求方程，關(guān)鍵是求a,b學(xué)生14：c=3, a=1, b2 =c2 -a2=8，P點(diǎn)的軌跡方程為 教師：還需要什么條件？學(xué)生14：X0教師：要注意討論軌跡的范圍教師：我們利用雙曲線的定義得到了它的方程（設(shè)計(jì)感悟：更進(jìn)一步的掌握雙曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程）教師：雙曲線與橢圓有區(qū)別又有聯(lián)系， 我們通過(guò)一個(gè)表格來(lái)比較異同點(diǎn)我們橫向來(lái)填空（教師與學(xué)生一起來(lái)完成表格）橢圓雙曲線定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)位置與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系比較分母大小 若x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，焦點(diǎn)在y軸上a、b、c關(guān)系c2=a2