考研 線性代數(shù) 筆記精華 行列式和矩陣

1、線代框架之行列式和矩陣 注：全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.注： 關(guān)于：稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；線性無(wú)關(guān)；任意一個(gè)維向量都可以用線性表示.行列式的定義 行列式的計(jì)算：行列式按行（列）展開(kāi)定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.若都是方陣（不必同階）,則上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.關(guān)于副對(duì)角線：范德蒙德行列式：矩陣的定義 由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作：或伴隨矩陣 ，為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式. 逆矩陣的求法: 注： 方陣的冪的性質(zhì)：

2、 設(shè)的列向量為,的列向量為，則 ，為的解可由線性表示. 同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣. 用對(duì)角矩陣左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對(duì)角矩陣右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣： 分塊對(duì)角陣相乘：分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣： 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 矩陣與的列向量組等價(jià)（右乘可逆矩陣）. 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無(wú)關(guān)； 都是的解； . 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交. 單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線

3、性無(wú)關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān). 原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān). 兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.向量組線性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線性表示. 維列向量組線性相關(guān)； 維列向量組線性無(wú)關(guān). . 若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).行階梯形矩陣 可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)

4、即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí)，稱為行最簡(jiǎn)形矩陣 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系； 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì)施行一次初等行變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣左乘；對(duì)施行一次初等列變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣右乘.若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等. 若是矩陣,則,若，的行向量線性無(wú)關(guān)； 若，的列向量線性無(wú)關(guān),即：線性無(wú)關(guān). 初等矩陣的性質(zhì)： 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無(wú)條件恒成立）標(biāo)準(zhǔn)正交基 個(gè)維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1. .是單位向量 . 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對(duì)稱性： 雙線性： 正交矩陣 為正交矩陣的個(gè)行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 正交矩陣