解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用山東 李浩明在現(xiàn)實(shí)生活中, 有許多和解直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如航海航空、建橋修路、測(cè)量技術(shù)、圖案設(shè)計(jì)等，解決這類(lèi)問(wèn)題其關(guān)鍵是把具體問(wèn)題抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的邊角關(guān)系以及勾股定理來(lái)解決.下面舉例說(shuō)明，供大家參考一、航空問(wèn)題例1（2008年桂林市）汶川地震后，搶險(xiǎn)隊(duì)派一架直升飛機(jī)去A、B兩個(gè)村莊搶險(xiǎn)，飛機(jī)在距地面450米上空的P點(diǎn)，測(cè)得A村的俯角為，B村的俯角為（如圖1）求A、B兩個(gè)村莊間的距離（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)）圖1 分析:要求A、B兩個(gè)村莊間的距離,由題意知AB=PB，在RtPBC中,可求得，又因?yàn)镻C=450，所以可通過(guò)解直角三角形

2、求得PB.解：根據(jù)題意得：，所以，所以，所以AB=PB.在中，PC=450，所以PB = .所以(米)答：A、B兩個(gè)村莊間的距離為520米 二、測(cè)量問(wèn)題例2.（2008年湛江市）如圖2所示，課外活動(dòng)中，小明在離旗桿AB 米的C處，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂部A的仰角為，已知測(cè)角儀器的高CD=米，求旗桿AB的高(精確到米) 圖2EDCBA分析:要求AB的高,由題意知可知CD=BE,先在RtADE中求出AE的長(zhǎng),再利用AB=BE+AE求出AB的長(zhǎng).解：在RtADE中，ADE=. DE=，ADE=. AE=DEADE =. AB=AE+EB=AE+DC=.答：旗桿AB的高為米三、建橋問(wèn)題例4.（2008年河

3、南）如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來(lái)從A地到B地需要經(jīng)過(guò)DC，沿折線ADCB到達(dá)，現(xiàn)在新建了橋EF，可直接沿直線AB從A地到達(dá)B地一直BC=11km，A=45°，B=37°橋DC和AB平行，則現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來(lái)少走多少路程？（結(jié)果精確到0.1km參考數(shù)據(jù)：，sin37°0.60，cos37°0.80）. 分析:要求現(xiàn)在比原來(lái)少走多少路程，就需要計(jì)算兩條路線路程之差，如圖構(gòu)造平行四邊形，將兩條路線路程之差轉(zhuǎn)化為，作高線DH,將ADG轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，先在在中求DH、GH，再在中求AD、AH,此題即可得解.解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，交于，四邊形為

4、平行四邊形HG圖3，兩條路線路程之差為 在中， 在中，即現(xiàn)在從地到地可比原來(lái)少走約4.9km四、圖案設(shè)計(jì)問(wèn)題例4.（2008年上海市）“創(chuàng)意設(shè)計(jì)”公司員工小王不慎將墨水潑在一張?jiān)O(shè)計(jì)圖紙上，導(dǎo)致其中部分圖形和數(shù)據(jù)看不清楚（如圖4所示）已知圖紙上的圖形是某建筑物橫斷面的示意圖，它是以圓的半徑所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，是與圓的交點(diǎn)由于圖紙中圓的半徑的值已看不清楚，根據(jù)上述信息（圖紙中是坡面的坡度），求的值圖4 分析:要求圓的半徑的值，需在直角三角形ODH中來(lái)解決,而已知的條件太少，需要先在直角三角形CEH中，根據(jù)條件、坡面的坡度求出、，然后在直角三角形ODH中利用勾股定理列出方程，從而求出的值

5、解：由已知，垂足為點(diǎn)，則，在中，設(shè)，又，得，解得，在中，解得航海中的安全問(wèn)題船只在海上航行，特別要注意安全問(wèn)題，這就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，以確保船只航行的安全性.請(qǐng)看下面兩例.圖1北60°30°D例1 （深圳市）如圖1，某貨船以24海里時(shí)的速度將一批重要物資從處運(yùn)往正東方向的處，在點(diǎn)處測(cè)得某島在北偏東的方向上該貨船航行分鐘后到達(dá)處，此時(shí)再測(cè)得該島在北偏東的方向上，已知在島周?chē)＠锏膮^(qū)域內(nèi)有暗礁若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？試說(shuō)明理由分析：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是弄清方位角的概念，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于D，然后通過(guò)解直角三角形求出CD的長(zhǎng)，通過(guò)列方程解決幾何問(wèn)題也是一種

6、常用方法.解：由已知，得AB=24×=12，CAB=90°-60°=30°，CBD=90°-30°=60°，所以C=30°，所以C=CAB，所以CB=AB=12.在RtCBD中，sinCBD=，所以CD=CB·sinCBD=12×. 所以貨船繼續(xù)向正東方向行駛無(wú)觸礁危險(xiǎn)例2 如圖2，一艘漁船在A處觀測(cè)到東北方向有一小島C，已知小島C周?chē)?.8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng).漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達(dá)B處，在B處測(cè)得小島C在北偏東60°方向上，這時(shí)漁船改變航線向正東（即BD

7、）方向航行，這艘漁船是否有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn)？FFFAAABBBDDDCCCMNKE圖2圖3圖4分析：先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.可有如下兩種方法求解.解法一：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BMAH于M，則BM/AF.所以ABM=BAF=30°.在RtBAM中，AM=AB=5，BM=.過(guò)點(diǎn)C作CNAH于點(diǎn)N，交BD于K.在RtBCK中，CBK=90°-60°=30°.設(shè)CK=x，則BK=x. 在RtCAN中，因?yàn)镃AN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN.又NM=BK，BM=KN，所以x+=5+x.

8、解得x=5.因?yàn)?>4.8，所以漁船沒(méi)有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn).解法二：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CEBD于E.所以CE/GB/FA.所以BCE=GBC=60°，BCA=FAC=45°.所以BCA=BCE-ACE=60°-45°=15°.又BAC=FAC-FAB=45°-30°=15°，所以BCA=BAC.所以BC=AB=10.在RtBCE中，CE=BC·cosBCE=BC·cos60°=10×=5.也5>4.8，所以漁船沒(méi)有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn).實(shí)際中的仰角和俯角問(wèn)題視線視線水平線

9、俯角仰角鉛垂線圖1在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看,視線與水平線的夾角叫做仰角;從上往下看,視線與水平線的夾角叫做俯角.計(jì)算原理:視線、水平線、物體的高構(gòu)成直角三角形，已知仰角、俯角和另一邊，利用解直角的知識(shí)就可以求出物體的高度.梳理總結(jié)：仰角和俯角是指視線相對(duì)于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧記為“上仰下俯”.在測(cè)量物體的高度時(shí)，要善于將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題.在測(cè)量山的高度時(shí)，要用“化曲為直”的原則把曲的山坡“化整為零地分成一些小段，把每一小段山坡長(zhǎng)近似地看作直的，測(cè)出仰角求出每一小段山坡對(duì)應(yīng)的高，再把每部分高加起來(lái)，就得到這座山的高度.例1 (成都)如圖2，甲、乙兩棟高樓的水平距

10、離BD為90米，從甲樓頂部C點(diǎn)測(cè)得乙樓頂部A點(diǎn)的仰角為，測(cè)得乙樓底部B點(diǎn)的俯角為，求甲乙兩棟高樓各有多高？(計(jì)算過(guò)程和結(jié)果都不取近似值.E圖2分析:過(guò)點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E, 在RtBCE和RtACE中, BE和AE可用含CE(即為水平距離)的式子表示出來(lái),從而求得兩樓的高.解:作CEAB于點(diǎn)E,CEDB,CDAB,且CDB=,四邊形BECD是矩形.CD=BE,CE=BD.在RtBCE中, =,CE=BD=90米.AB圖3BE=CE(米).CD=BE=(米).在RtACE中, =,CE=90米. AE=CE(米).AB=AE+BE=(米).答:甲樓高為米,乙樓高為米.反思:仰角和俯角問(wèn)題是解直角

11、三角形中的常見(jiàn)題型,作輔助線構(gòu)造直角三角形(一般同時(shí)得到兩個(gè)直角三角形)并解之是解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法.例2 （樂(lè)山）如圖3，小山上有一棵樹(shù)現(xiàn)有測(cè)角儀和皮尺兩種測(cè)量工具，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，在山腳水平地面上測(cè)出小樹(shù)頂端到水平地面的距離要求：畫(huà)出測(cè)量示意圖；寫(xiě)出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）；根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)計(jì)算AEFHCDB圖4分析：要測(cè)量底步不能到達(dá)的物體的高度,要轉(zhuǎn)化為雙直角三角形問(wèn)題,測(cè)量方案如圖2,計(jì)算的關(guān)鍵是求 AE,可設(shè)AE=x,則在RtAGF和 RtAEF中, 利用三角函數(shù)可得, ,再根據(jù)HE-FE=CD=m建立方程即可.解：（1）測(cè)量圖案（示意圖）如圖4所示（2）測(cè)量步驟：

12、第一步：在地面上選擇點(diǎn)安裝測(cè)角儀，測(cè)得此時(shí)樹(shù)尖的仰角;第二步：沿前進(jìn)到點(diǎn)，用皮尺量出之間的距離;第三步：在點(diǎn)安裝測(cè)角儀，測(cè)得此時(shí)樹(shù)尖的仰角;第四步：用皮尺測(cè)出測(cè)角儀的高.（3）計(jì)算：令A(yù)E=x,則得,又得, HE-FE=HF=CD=m, 解得，AB=反思：在多個(gè)直角三角形中一定要認(rèn)真分析各條線段之間的關(guān)系(包括三角函數(shù)關(guān)系、相等關(guān)系),運(yùn)用方程求解,有時(shí)可起到事半功倍之效. ABCD圖5快樂(lè)套餐:1.(泰安)如圖5，一游人由山腳沿坡角為的山坡行走600m，到達(dá)一個(gè)景點(diǎn)，再由沿山坡行走200m到達(dá)山頂，若在山頂處觀測(cè)到景點(diǎn)的俯角為，則山高等于 （結(jié)果用根號(hào)表示）圖62.(安徽)如圖6，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD，甲乙兩人分別在相距8米的A、B兩處測(cè)得D點(diǎn)和C點(diǎn)的仰角分別為45