《污染氣象學》課件：第二章1

1、2.1 梯度輸送理論梯度輸送理論K理論理論 (重點重點擴散方程兩種解的基本假定與特點擴散方程兩種解的基本假定與特點) 2.2 湍流擴散的統(tǒng)計理論湍流擴散的統(tǒng)計理論 (重點重點泰勒公式的導出泰勒公式的導出,擴散參數(shù)和擴散時間關系擴散參數(shù)和擴散時間關系)2.3 湍流擴散相似理論湍流擴散相似理論 2.4 各種擴散理論的比較各種擴散理論的比較 第二章小結（第二章小結（ 各種擴散理論的比較）各種擴散理論的比較）第二章第二章 湍流擴散基本理論湍流擴散基本理論 大氣總處于湍流運動狀態(tài) 污染物排入大氣，存在濃度梯度，不均勻分布。 污染物隨氣流（風）整體輸送，湍流混合作用將清潔空氣卷入污染煙氣，同時將污染煙氣帶

2、到周圍大氣中，通過湍流擴散、耗散、稀釋，空氣污染物濃度再分布。 空氣污染物的散布是在大氣邊界層湍流場中進行的，空氣污染物的散布過程就是大氣輸送與擴散的結果。 空氣污染物散布的理論處理就是從大氣湍流擴散的基本理論出發(fā)，對空氣污染物散布過程作正確的數(shù)學物理估算。 對大氣污染物散布過程進行理論處理： 可得污染物濃度計算公式進行預測和估算。 描述大氣輸送與擴散有兩種基本途徑，即歐拉方法和拉格朗日方法。 1）歐拉方法是相對于固定坐標系描述污染物的輸送與擴散； 2）拉格朗日方法是跟隨流體移動的粒子來描述污染物的濃度及其變化。u 歐拉方式，一種是傳統(tǒng)的做法，即在氣象塔的固定點上，當氣流流過風杯風速表時測量風

3、和湍流。測量儀器不隨空氣移動。u 拉格朗日方式，跟隨標記粒子1或2移動穿過湍流場的測量稱之為拉格朗日方式的測量。 污染物的擴散是拉格朗日形式的過程，但測量往往采用歐拉方式。 歐拉方法處理，是相對于固定坐標系描述污染物的輸送與擴散； 拉格朗日方法則是由跟隨流體移動的粒子來描述污染物的濃度及其變化。 兩種方法采用不同類型的描述空氣污染物濃度的數(shù)學表達式，都能正確地描述湍流擴散過程。然而，每種方法都有一定的困難，從而影響到對空氣污染物散布的精確模擬。 歐拉方法易于測量，可以有效地預測污染物濃度，但是，由雷諾方程導得的歐拉擴散方程組是不閉合的，為了求解必須采用適當?shù)拈]合方案并由此帶來一系列的技術難點和

4、問題。 歐拉方法的主要問題和困難就是有個閉合問題。 拉格朗日方法的數(shù)學處理比歐拉方法容易些，不存在閉合問題。 但不易精確確定所需的粒子統(tǒng)計量。 研究平均運動規(guī)律，形成了湍流半經(jīng)驗理論； 研究脈動運動規(guī)律，形成了湍流統(tǒng)計理論。 采用不同的方法，形成不同的擴散理論 （三種大氣擴散基本理論） 1）梯度輸送理論（K理論) 2）統(tǒng)計理論 3）相似理論 應用于實際的是梯度輸送理論和統(tǒng)計理論。 實際的大氣擴散模式主要是由梯度輸送理論推導出來的。 梯度輸送理論（梯度輸送理論（K理論）理論） 德國科學家德國科學家菲克菲克，在，在1855年發(fā)表了一篇題為年發(fā)表了一篇題為“論擴散論擴散”的著名論文。在這篇論文中，他

5、首先的著名論文。在這篇論文中，他首先提出了梯度擴散理論。他把這個理論表述為：提出了梯度擴散理論。他把這個理論表述為：“假定食鹽在其溶劑中的擴散定律與在導體中發(fā)假定食鹽在其溶劑中的擴散定律與在導體中發(fā)生的熱擴散相同，是十分自然的。生的熱擴散相同，是十分自然的?！彼且痪S的它是一維的大氣擴散方程式，是經(jīng)典的熱傳導方程式。大氣擴散方程式，是經(jīng)典的熱傳導方程式。 湍流梯度輸送理論的基本假定是：湍流梯度輸送理論的基本假定是：由湍流所由湍流所引起的局地的某種屬性的通量與這種屬性的局地引起的局地的某種屬性的通量與這種屬性的局地梯度成正比，通量的方向與梯度方向相反，比例梯度成正比，通量的方向與梯度方向相反，比

6、例系數(shù)系數(shù) K 稱為湍流交換系數(shù)。稱為湍流交換系數(shù)。 統(tǒng)計理論統(tǒng)計理論 泰勒泰勒是湍流統(tǒng)計理論的創(chuàng)始人之一。他在是湍流統(tǒng)計理論的創(chuàng)始人之一。他在1921 年發(fā)表的論文中，首先應用統(tǒng)計學的方法來研究湍流年發(fā)表的論文中，首先應用統(tǒng)計學的方法來研究湍流擴散問題，提出了著名的泰勒公式。它把描寫湍流的擴散問題，提出了著名的泰勒公式。它把描寫湍流的擴散參數(shù)擴散參數(shù) Y2(t)，和另一統(tǒng)計特征量相關系數(shù)，和另一統(tǒng)計特征量相關系數(shù) R 建立建立起關系，只要能找到相關系數(shù)的具體函數(shù)，通過積分起關系，只要能找到相關系數(shù)的具體函數(shù)，通過積分就可求出擴散參數(shù)就可求出擴散參數(shù)Y2(t)，污染物在湍流中擴散問題就，污染物

7、在湍流中擴散問題就得到解決。得到解決。 薩頓薩頓首先找到了相關系數(shù)的具體表達式，應用泰首先找到了相關系數(shù)的具體表達式，應用泰勒公式，提出了解決污染物在大氣中擴散的實用模式，勒公式，提出了解決污染物在大氣中擴散的實用模式，成為這一領域的先驅(qū)者。成為這一領域的先驅(qū)者。 高斯煙流模式高斯煙流模式是在大量實測資料分析的基礎上，是在大量實測資料分析的基礎上，應用應用統(tǒng)計理論得到的統(tǒng)計理論得到的。它是目前應用較廣的模式。它是目前應用較廣的模式。 相似理論相似理論 湍流相似擴散理論，最早始于英國科學家湍流相似擴散理論，最早始于英國科學家理查理查遜和泰勒遜和泰勒。后來由于許多科學家的努力，特別是俄。后來由于許

8、多科學家的努力，特別是俄國科學家國科學家莫寧莫寧的貢獻，使湍流擴散相似理論得到很的貢獻，使湍流擴散相似理論得到很大發(fā)展。大發(fā)展。 湍流擴散相似理論的基本觀點是，湍流擴散相似理論的基本觀點是，湍流由許多湍流由許多大小不同的湍渦所構成，大湍渦失去穩(wěn)定分裂成小大小不同的湍渦所構成，大湍渦失去穩(wěn)定分裂成小湍渦，同時發(fā)生了能量轉(zhuǎn)移，這一過程一直進行到湍渦，同時發(fā)生了能量轉(zhuǎn)移，這一過程一直進行到最小的湍渦轉(zhuǎn)化為熱能為止最小的湍渦轉(zhuǎn)化為熱能為止。 從這一基本觀點出發(fā)，利用量綱分析的理論，從這一基本觀點出發(fā)，利用量綱分析的理論，建立起某種統(tǒng)計物理量的普適函數(shù)，再找出普適函建立起某種統(tǒng)計物理量的普適函數(shù)，再找出

9、普適函數(shù)的具體表達式，從而解決湍流擴散問題。我們把數(shù)的具體表達式，從而解決湍流擴散問題。我們把這種理論稱為相似擴散理論。這種理論稱為相似擴散理論。 1、半經(jīng)驗理論： 按照歐拉方法處理擴散問題，通常是遵循梯度輸送理論的概念和思路實施的。 梯度輸送理論處理空氣污染物散布的基本思路,就是利用湍流半經(jīng)驗理論，將速度場的脈動量與平均量聯(lián)系起來。 湍流半經(jīng)驗理論的一個基本假定是：由湍流引起的動量通量與局地風速梯度成正比，如比例系數(shù)K即湍流交換系數(shù)亦稱湍流擴散系數(shù)。zukwu為流體密度為流體密度式中Ksx、Ksy、Ksz分別表示x、y、z三個方向的比例系數(shù)，即任意物理量（S）的脈動值與該特征量的平均值的梯度

10、成線性比例關系。 zSKSwySKSxSKSuszsysx推廣用于任意物理量 S，則有： 湍流的半經(jīng)驗理論，是根據(jù)一些假設及實驗結果建立湍流應力與平均速度梯度之間的關系，從而建立起湍流運動的封閉方程組。半經(jīng)驗理論在理論上有很大的局限性和缺陷，但在一定條件下往往能夠得出與實際符合得較滿意的結果，因此在工程技術中得到廣泛的應用。 2、湍流擴散問題： 由湍流運動引起的污染物局地質(zhì)量通量輸送與污染物的平均濃度梯度成正比，如 Kx、Ky、Kx則分別為x、y、z三個方向的湍流擴散系數(shù)，故稱K理論。這就是梯度輸送理論（也稱K理論）的基本關系式，也是導出湍流擴散方程的基礎。zqKwqyqKvqxqKuqzyx

11、1湍流擴散方程湍流擴散方程 湍流擴散方程實質(zhì)上是流體中擴散物質(zhì)質(zhì)量守恒定律的一種形式。因此可以根據(jù)連續(xù)方程，將式中的流體密度換成擴散物質(zhì)的濃度q而得 )()()(zwqyqxuqtq（2.1）湍流擴散方程的另一推導方法： 湍流擴散方程實質(zhì)上是流體中擴散物質(zhì)質(zhì)量守恒定律的一種形式。 利用質(zhì)量守恒定律：分析小體元由于平均運動和湍流擴散而發(fā)生的物質(zhì)交換。 取微小體積dxdydz，研究其中由于 平均流動和湍流擴散而產(chǎn)生的物質(zhì) 交換情況。 單位時間流入質(zhì)量（左邊）： 單位時間流出質(zhì)量（右邊）：沿x方向污染物凈變化量(流入流出)：uqudydzdydzdxxququdxdydzqux同理：y方向凈變化量：

12、 z方向凈變化量：單位時間微元里總變化量為：另一方面，微元內(nèi)原有的污染物質(zhì)量為 qdxdydz單位時間內(nèi)的變化量（即變化率）為：由質(zhì)量守恒得：dxdydzqvydxdydzqwzdxdydzzqwyqvxqudxdydztqqwzqvyquxtq 上述為連續(xù)方程 考慮由湍流引起的速度脈動和濃度漲落，即將速度和濃度寫為平均值與脈動值之和)()()(zwqyqxuqtqwwwuuuqqq（2.1）(2.2)代入，取平均，整理得：類比分子擴散： Kx, Ky, Kz為湍流擴散系數(shù)zqKqwyqKqxqKquzyxzqwyqxquzqwyqxqutqzqwyqxquzqwyqxqutq(2.3)局地變

13、化平流輸送項湍流擴散項u或此式右端項的意義是，單位時間通過單位面積向x，y，z方向輸送的擴散物質(zhì)的平均質(zhì)量，即局地質(zhì)量通量。運用梯度輸送理論的閉合形式，對湍流脈動量用平均量表示，即有)()()(zqwyqxqudtqd式中 為污染物的平均濃度以毫克/米3表示；Kx、Ky、Kz分別表示坐標x、y、z方向的湍流擴散系數(shù)。 （2.4）式即為根據(jù)梯度輸送理論導出的普遍形式湍流擴散方程，它說明流體中某物質(zhì)的散布是由湍流擴散所引起的。 這樣，對大氣擴散問題的處理就成為在一定的邊界條件下求解方程（2.4）的問題，這就是K理論發(fā)展的推動力之一。)()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyxq(2.4)二二

14、 擴散方程的兩種解擴散方程的兩種解 為處理大氣擴散問題，需求解擴散方程，一個主要問題: 如何定 Kx、Ky、Kz假定和簡化: )()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyx首先取最簡單的情況，即假設流場在三個方向的擴散系數(shù)Kx、Ky、Kz為常數(shù)（即斐克擴散情形）； 若取坐標系使x軸與平均風向一致，z軸垂直向上，則有 ，(2.4) 簡化為： 若平均風速很小，則（2.5)式可進步簡化得此式表明:在給定條件下，可求解（2.5）式或（2.6）式。0w222222zqKyqKxqKxqutqzyx222222zqKyqKxqKtqzyx(2.5)(2.6)zqwyqxquzqwyqxqutq（一）瞬

15、時點源的解（一）瞬時點源的解1.無風瞬時點源的解無風瞬時點源的解 假定大氣是靜止的，即 ， 湍流擴散系數(shù)為常數(shù)，并且各向同性，即Kx=Ky=Kz=常數(shù)。若在t=0時，在坐標原點釋放Q（克）的污染物質(zhì)，則（2.6）式可化為 如果排放出來的污染物質(zhì)具有保守性質(zhì)，即在擴散過程中既不增加也不損失，在整個空間中總量保持不變，即滿足連續(xù)性條件。)(222222zqyqxqKtq(2.7) Qdxdydzq0wu寫成球坐標形式寫成球坐標形式)(222rqrrrKtq2222zyxr取邊界條件：1）當 時： 時 時 2）當 時 條件1）表示除了在排放源處（原點）空間任一點在開始排放的瞬間，污染物尚未擴散到該點

16、之前，濃度為零。條件2）表示當擴散時間足夠長時，污染物質(zhì)向無窮空間擴散，各點濃度趨近于零。0t0r0q0rqt0q在以上條件下，擴散方程（2.7）式的解為： 上式表示了一個在原點（0，0，0），t=0時刻瞬間噴放的煙團，在空間某點（x、y、z）處，在t=t時刻所造成的濃度。 說明一個煙團隨時間膨脹稀釋過程，其濃度在同一時間隨距離增加按指數(shù)律減小，并呈三維正態(tài)分布。 KtrKtQzyxKtKtQtzyxq4exp)( 8)(41exp)( 8),(22/32222/3(2.8)令于是（2.8）可寫成下面的形式 tKtKtKzzyyxx2,2,2222)222(exp)2(),(2222222/3

17、zyxzyxzyxQtzyxq(2.9) (2.9)表明：瞬時點源的濃度正比于源強Q，隨距離增加按指數(shù)規(guī)律遞減， 為x，y，z方向上濃度分布的標準差，稱為擴散參數(shù)。 由于無風，煙團僅在原點膨脹擴散，(2.9)又稱為靜止煙團模式。)222(exp)2(),(2222222/3zyxzyxzyxQtzyxqzyx,(2.9)2、有風瞬時點源的解、有風瞬時點源的解 大氣總是處于運動狀態(tài)，取一個隨平均風速沿x軸移動的坐標系，如圖所示。0u 圖中在原坐標系中坐標為（x，y，z）的一點，在移動坐標系中坐標是,),(zyt ux 有風時將源點放在移動坐標系的原點上，則有風瞬時點源的解便可由無風瞬時點源的一般

18、解得到。在移動坐標系中瞬時源的解和（2.9）式的形式一樣。 移動坐標相對固定坐標而言，y，z未改變，x變成了 ，把移動坐標換為固定坐標表示，則得有風瞬時點源的解： 上式稱為移動煙團模式。實用估計用此式。tux2222222/3222)(exp)2();,(zyxzyxzyt uxQtzyxq(2.10)（二）有風條件下連續(xù)點源的解（二）有風條件下連續(xù)點源的解1）坐標： 原點取在煙囪口上，取平均風沿x軸方向，即z軸垂直向上，y軸水平向與x軸相垂直。2）有風條件下，平流輸送項比x方向上的湍流擴散項的作用大得多，即有 ，x方向的湍流擴散項可略去。3）Kx=Ky=Kz=K為常數(shù)4）定常條件 ， 于是擴

19、散方程（2.5）式變?yōu)?2xqKxqux0tq222222zqKyqKxqKxqutqzyx (2.11)邊界條件：連續(xù)條件： 源強Q2222zqKyqKxquzy.,0; 0,qzyxqzyx時時 Qqdydzu類似，(2.11)的解為： （2.12）上式是假定污染物在無界空間中擴散，不受任何界面限制的條件下導出的，稱為無界情況下的擴散模式。222222exp2),(zyzyzyuQzyxq如圖，連續(xù)點源濃度在下風方的y，z方向濃度均是呈正態(tài)分布。隨下風距離x增加， 也增大，污染物散布范圍不斷擴大，濃度不斷降低。zy,（上述理論結果與實驗結果一致）實際為有界擴散 實際應用中，有時用煙流寬度和高度表示水平和鉛直擴散范圍。 煙流寬度2y0定義為沿著y軸，污染物濃度下降到等于軸線濃度的1/10處的兩點間的距離。 當污染物沿y方向濃度分布為正態(tài)分布時，坐標y處的濃度q可用下式表示 ： q0為中心軸線上的濃度。2202expyyqqyyyyyyeyqqy3 . 4215. 21