飛機精確定位問題數(shù)學(xué)模型

1、飛機精確定位問題摘要飛機在飛行過程中，地面各個監(jiān)控臺通過VOR（高頻多向?qū)Ш皆O(shè)備）和DME（距離測量裝置）向飛機發(fā)送當(dāng)前位置的信息，幫助飛機較精確地確定其所處的位置。確保飛機與地面間的聯(lián)系，保證飛機的飛行安全。本文運用非線性規(guī)劃的方法，在飛機和這些設(shè)備在同一平面上的假設(shè)下，利用題中所給的已知數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化，統(tǒng)一量綱，建立了非線性規(guī)劃的模型，并對已知數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)進行了標(biāo)準(zhǔn)化的處理，使模型得到的結(jié)果更加精確.利用最小二乘法，利用LINGO最優(yōu)化求解得出最小誤差為2.650275下，得出飛機坐標(biāo)為（981.90810,729.9403）的結(jié)果。關(guān)鍵詞：飛機定位 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 非線性規(guī)劃模型1 問題

2、重述飛機在飛行過程中，能夠收到地面上各個監(jiān)控臺發(fā)來的關(guān)于飛機當(dāng)前位置的信息，根據(jù)這些信息可以比較精確地確定飛機的位置。如VOR（高頻多向?qū)Ш皆O(shè)備）提供的飛機與該設(shè)備連線的角度信息；DME（距離測量裝置）提供的飛機與該設(shè)備的距離信息。根據(jù)題目圖中飛機接收到來自3個VOR給出的角度和1個DME給出的距離(括號內(nèi)是測量誤差限，來確定當(dāng)前飛機的位置.2 問題分析根據(jù)VOR（高頻多向?qū)Ш皆O(shè)備）和DME（距離測量裝置）提供的信息，記設(shè)備VOR1、VOR2、VOR3、的坐標(biāo)為(以km為單位，i=1, 2, 3；DME的坐(以km為單位，對數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化，統(tǒng)一量綱，同時全面的考慮各種誤差因素，幫助減小不必要的

3、誤差，提高結(jié)果的精確度.3 模型假設(shè)1.飛機和這些設(shè)備在同一平面上.2.假設(shè)測量的誤差服從正態(tài)分布.4 符號說明符號 符號說明 單位 第i個VOR的橫坐標(biāo) 第i個VOR的縱坐標(biāo) DEM的橫坐標(biāo) DEM的縱坐標(biāo) 第i個VOR的角度測量誤差 度 DEM的距離測量誤差 公里 第i個VOR的角度測量角度 度 DEM的測量距離 公里 待測飛機的坐標(biāo)5 模型的建立與求解 5.1 模型建立表1設(shè)備坐標(biāo)與飛機的距離或角度誤差VOR1（764,1393）161.2度（2.81347?。?.8度（0.014弧）VOR2（629,375）45.1度（0.78714?。?.6度（0.0105?。￢OR3（1571,2

4、59）309.0度（5.39307?。?.3度（0.0227?。〥ME（155,987）864.3米2米采用VOR導(dǎo)航設(shè)備能夠得到飛機與該設(shè)備連線的角度信息和DME測量裝置得到飛機與該設(shè)備的距離信息對飛機定位。當(dāng)設(shè)備間各自得到帶有一定誤差的數(shù)據(jù)時，為了比較精確地確定飛機的位置就需要把相對應(yīng)的誤差值平方和最小，即角度誤差與距離誤差平方和最小，目標(biāo)函數(shù)有最小時，決策變量只有飛機的位置坐標(biāo)，因此需要建立一個NLP模型。目標(biāo)函數(shù)：從測量誤差入手，利用最小二乘法，求測量誤差的殘差平方和最小的情況下,決策變量的值。首先將飛機與VOR角度和飛機與DEM距離進行了標(biāo)準(zhǔn)化處理，即根據(jù)本例中給出的精度可以認為是測

5、量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(也可以是與標(biāo)準(zhǔn)差成比例的一個量，如標(biāo)準(zhǔn)差的3倍或6倍等。在這種理解下，用各自的誤差對測量誤差進行無量綱化處理。5.2 模型求解由LINGO程序（見附錄）建立的優(yōu)化模型，利用最小二乘法，求得Variable Value Reduced CostX0 981.9080 0.000000Y0 729.9403 0.000000在最小誤差為2.650275下，飛機坐標(biāo)為（981.90810,729.9403）6 模型的評價與改進這是飛機飛行過程中常見位置確定問題。在已知相關(guān)信息條件下，與實際情況較好的結(jié)合。并對已知數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)進行了標(biāo)準(zhǔn)化的處理，盡可能的減小誤差，該模型思路清晰，方法明確，

6、結(jié)構(gòu)簡單。并經(jīng)過模型的改進，所得結(jié)果較為精確.具有較強的實際應(yīng)用價值。參考文獻1 謝金星.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件.北京：清華大學(xué)出版社，2005.2 2009.附 錄附錄描述1問題一Lingo求出最優(yōu)解程序model:sets:mubiao/1,2,3/:x,y,t,k;endsetsdata:x=764,629,1571;y=1393,375,259;t=2.81347,0.78714,5.39307;k=0.014,0.0105,0.0227;x4=155;y4=987;d=864.3;k4=2.0;enddatainit:x0=981.2311;y0=733.3135;en

7、dinitmin=sum(mubiao(i:(x0-x/(y0-y-tan(t/k2+(sqrt(x0-x42+(y0-y42-d/k42;endGlobal optimal solution found.Objective value: 2.650275Objective bound: 2.650274Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 14Total solver iterations: 5320Model Class: NLPTotal variables: 3Nonlinear variables: 2Integer vari

8、ables: 0Total constraints: 2Nonlinear constraints: 1Total nonzeros: 3Nonlinear nonzeros: 2Variable Value Reduced CostX4 155.0000 0.000000Y4 987.0000 0.000000D 864.3000 0.000000K4 2.000000 0.000000X0 981.9080 0.000000Y0 729.9403 0.000000X(1 764.0000 0.000000X(2 629.0000 0.000000X(3 1571.000 0.000000Y(1 1393.000 0.000000Y(2 375.0000 0.000000Y(3 259.0000 0.000000T(1 2.813470 0.000000T(2 0.7871400 0.000000T(3 5.393070 0.000