用樣本估計(jì)總體58

1、東北師大附中2011-2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)（理）第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案058用樣本估計(jì)總體 編寫教師：楊艷昌 審稿教師：劉彥永一、知識梳理 （一）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布1頻率分布、頻率分布表、頻率分布直方圖：頻率分布表和頻率分布直方圖是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況2. 畫頻率分布直方圖的步驟：(1) 求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；(2) 決定組距與組數(shù)；(3) 將數(shù)據(jù)分組；(4) 列頻率分布表；(5) 畫頻率分布直方圖3. 頻率分布折線圖和總體密度曲線：(1) 頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長

2、方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖；(2) 總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加， 組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，即為總體密度曲線4. 莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)（二）用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征5平均數(shù)：對于一組數(shù)據(jù)，平均數(shù) 6. 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)7. 中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)8標(biāo)準(zhǔn)差：對于一組數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離9方差：對于一組數(shù)據(jù)，方差10利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

3、：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是其最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等；平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和二、題型探究探究一：如何求頻率分布的有關(guān)數(shù)據(jù)；畫頻率分布直方圖；用樣本頻率分布估計(jì)總體分布分組頻數(shù)頻率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5mn合計(jì)MN例1 某市2011年4月1日 4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下（主要污染物為可吸入顆粒物）： 61，76，70，56，81，91，92

4、，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45() 完成頻率分布表；（）作出頻率分布直方圖；（）根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0 50之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51 100之間時(shí)，為良；在101 150之間時(shí)，為輕微污染；在151 200之間時(shí)，為輕度污染請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡短評價(jià).解：（）首先根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)完成頻率分布表： （）作出頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率21461052-411511611711911811101111空氣污染指數(shù)() 答對下述兩條中的一條即可：根

5、據(jù)污染指數(shù)，確定空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕微污染、輕度污染的天數(shù)： 該市一個(gè)月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的，有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的，處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28天，占當(dāng)月天數(shù)的. 說明該市空氣質(zhì)量基本良好. 輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的. 污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的天數(shù)有15天，加上處于輕微污染的天數(shù)，共有17天，占當(dāng)月天數(shù)的，超過50%.說明該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善.例2 為了了解高三年級學(xué)生中女生的身高（單位：）情況，某中學(xué)對高三年級女生身高進(jìn)行了一次測量，所得數(shù)據(jù)整理后，列出了頻率分布表（如下表）：() 求出表中所表示的數(shù)分別是多少？() 畫出頻率分布直方圖

6、，并利用它估計(jì)全體高三年級女生身高的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)； () 試問：全體女生中身高在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多？并估計(jì)高三年級學(xué)生中女生的身高在161.5cm以上的概率分組頻數(shù)頻率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5mn合計(jì)MN分組頻數(shù)頻率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5mn合計(jì)MN分組頻數(shù)頻率145.5149.510.

7、02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5合計(jì)解: ()，；， 145.5149.5153.5157.5161.5165.5169.50.0100.1000.0200.0750.0400.005身高 ()頻率分布直方圖如圖，眾數(shù)是其最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即； 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，而，頻率分布直方圖左邊第一個(gè)小矩形的面積為0.02，第二個(gè)小矩形的面積為0.08，第三個(gè)小矩形的面積為0.40，這三個(gè)小矩形面積的和恰好等于0.5， 中位數(shù)為157.5；平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分

8、布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和()在153.5157.5cm的范圍最多，估計(jì)在161.5cm以上的概率為0.160.040.2探究二：莖葉圖的繪制與運(yùn)用例3 隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高（單位:），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖（如圖）() 根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;() 計(jì)算甲班的樣本方差；() 現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173的同學(xué), 求身高為176的同學(xué)被抽中的概率.解:（）乙班平均身高高于甲班；() 甲班的樣本的平均數(shù)為 甲班的樣本方差為 （）設(shè)身高為176的同學(xué)被抽中的事件為A； 從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于1

9、73的同學(xué)有：（181，173）、（181，176）、 （181，178）、（181，179）、（179，173）、（179，176）、（179，178）、（178，173）、(178, 176) 、（176，173）共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件； 例4 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）如下： 品種A：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，443，445，

10、451，454.品種B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430.（）繪制莖葉圖；（）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？ （）通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.A B9 7 358 7 36 3 5 37 1 4 8 38 3 5 69 2 39 1 2 4 4 5 7 75 0 40 0 1 1 3 6 7 5 4 2 41 0 2 5 6 7 3 3 1 42 2 4 0 0 43 0 5 3 3

11、 44 4 1 45 解：（）莖葉圖如圖所示（）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況，而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù).（）通過觀察莖葉圖，可以計(jì)算出品種A的平均每畝產(chǎn)量為411.1千克，品種B的平均畝產(chǎn)量為397.8千克，由此可知，品種A的平均畝產(chǎn)量比品種B的平均畝產(chǎn)量高，但品種A的畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種B的畝產(chǎn)量比較集中在平均產(chǎn)量附近.三、方法提升（1）用頻率分布直方圖解決相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)正確理解圖表中各個(gè)量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵. 頻率分布直方圖有以下幾個(gè)要點(diǎn)： 縱軸表示頻率/組距； 頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比； 直方圖中每一個(gè)矩形的面積是樣本

12、數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1. （在繪制小矩形時(shí)，寬窄要一致）（2）標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小. 標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小. 因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.（3）幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)與不足： 頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便； 頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到

13、在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)，但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了； 頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小,那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線； 用莖葉圖優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會(huì)抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖顯得不太方便了.五、課時(shí)作業(yè)一、選擇題（1）若某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是 A8 9 7 9 3 1 6 4 0 2（A）91.5和91.5 （B）91.5和92 （C ）91和91.5 （D）9

14、2和92（2）將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001，002，600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003這600名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū)，從001到300在第營區(qū)，從301到495住在第營區(qū)，從496到600在第營區(qū)，三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為 B（A）26, 16, 8, （B）25，17，8 （C）25，16，9 （D）24，17，9（3）樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為 D（A） （B） (C) (D) 2（4）在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長方形，若中間一個(gè)小長方形的面積等于其它10個(gè)小長方形的面積和的，且樣本容量

15、為160，則中間一組的頻數(shù)為 A（A）32 （B）0.2（C）40 （D）0.25 010515246010515246（5）如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則 B(A) (B) (C) (D) （6）根據(jù)中華人民共和國道路交通安全法規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在2080 mg/100ml（不含80）之間，屬于酒后駕車，處暫扣一個(gè)月以上三個(gè)月以下駕駛證，并處200元以上500元以下罰款；血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時(shí)，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和暫扣三個(gè)月以上六個(gè)月以下駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款據(jù)法制晚

16、報(bào)報(bào)道，2010年8月15日至8 月28日，全國查處酒后駕車和醉酒駕車共28800人，如圖是對這28800人酒后駕車血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為 C （A）2160 （B）2880（C）4320 （D）8640（7）統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)水平測試成績，得到樣本頻率分布直方圖（如圖所示），若滿分為100分，規(guī)定不低于60分為及格，則及格率是 D（A）20% （B）25%（C）6% （D）80%（8）有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：115，155） 2 155,195） 4 195，235） 9 235,275） 18 275，

17、315） 1l 315，355） 12 355395） 7 395,435） 3 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在315，435）的概率約是（ ） A B C D二、填空題100110120130140150身高0.0050.0100.0200.035（9）從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.由圖中數(shù)據(jù)可知；若要從身高在，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_. 0.030； 3 （10）將容量為的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分步直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為，且前三組數(shù)據(jù)的

18、頻數(shù)之和等于27，則等于_. 60（11）一個(gè)總體共有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號0，1，2，99，依從小到大的編號順序平均分成10個(gè)小組，組號依次為1，2，3，10，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號碼為，那么在第組中抽取的號碼個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，若，則在第8組中抽取的號碼是_76（12）下圖甲是某市有關(guān)部門根據(jù)對當(dāng)?shù)馗刹康脑率杖肭闆r調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖甲中從左向右第一組的頻數(shù)為4000在樣本中記月收入在，的人數(shù)依次為圖乙是統(tǒng)計(jì)圖甲中月工資收入在一定范圍內(nèi)的人數(shù)的算法流程圖，則樣本的容量 ；圖乙輸出的 10000， 60001000150

19、02000250030003500月收入（元）0.00010.00030.00040.00084000圖甲開始輸入否輸出結(jié)束圖乙是三、解答題（13）從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），結(jié)果如下：甲品種：271273280285285 287292294295301303303307 308310314319323325325 328331334337352乙品種：284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356由以上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖，3 1 277 5 5

20、0 28 45 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 88 5 5 3 32 0 2 2 4 7 97 4 1 33 1 3 6 734 32 35 6甲乙根據(jù)以上莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論：；解： 1乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度（或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度）2甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散（或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中（穩(wěn)定）甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大）分組頻率3甲品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為307mm，乙品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為318mm4乙品種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）甲品種棉花的纖維長度除一個(gè)特殊值（352）外，也大致對稱，其分布較均勻（14）為了了解一個(gè)小水庫中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)情況，從這個(gè)水庫中多個(gè)不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的重量（單位：千克），并