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文檔簡介
1、參考資料:分享百分百,最純粹的分享平臺用C語言求解N階線性矩陣方程Ax=b的簡單解法一、描述問題:題目:求解線性方程組Ax=b,寫成函數(shù)。其中,A為n×n的N階矩陣,x為需要求解的n元未知數(shù)組成的未知矩陣,b為n個常數(shù)組成的常數(shù)矩陣。即運行程序時的具體實例為:轉(zhuǎn)化為矩陣形式(為檢驗程序的可靠性,特意選取初對角線元素為0的矩陣方程組)即為:二、分析問題并找出解決問題的步驟:由高等代數(shù)知識可知,解高階線性方程組有逆矩陣求解法、增廣矩陣求解法等,而在計算機(jī)C語言中,有高斯列主消元法、LU分解法、雅克比迭代法等解法。為了與所學(xué)的高等代數(shù)知識相一致,選擇使用“高斯簡單迭代消元法”,與高等代數(shù)中
2、的“增廣矩陣求解法”相一致。以下簡述高斯消元法的原理:算法基本原理:首先,為了能夠求解N階線性方程組(N由用戶輸入),所以需要定義一個大于N維的數(shù)組adim+1dim+1(dim為設(shè)定的最大維數(shù),防止計算量溢出),當(dāng)用戶輸入的階數(shù)N超過設(shè)定值時提示重啟程序重新輸入。進(jìn)而,要判斷方程組是否有解,無解提示重啟程序重新輸入,有解的話要判斷是有無數(shù)不定解還是只有唯一一組解,在計算中,只有當(dāng)原方程組有且只有一組解時算法才有意義,而運用高等代數(shù)的知識,只有當(dāng)系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式 |A|0 時,原方程組才有唯一解,所以輸入系數(shù)矩陣后要計算該系數(shù)矩陣的行列式 |A|(定義了getresult(n)函數(shù)計算),
3、當(dāng)行列式 |A|=0 時同樣應(yīng)提示重啟程序重新輸入, |A|0 時原方程組必然有且僅有唯一一組解。判斷出方程組有且僅有唯一一組解后,開始將系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣(合并即為增廣矩陣)進(jìn)行初等行變換(以 a11 為基元開始,將第j列上j行以下的所有元素化為0),使系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣。這里要考慮到一種特殊情況,即交換到第j-1列后,第j行第j列元素 ajj=0 ,那此時不能再以 ajj 為基元。當(dāng)變換到第j列時,從j行j列的元素 ajj 以下的各元素中選取第一個不為0的元素,通過第三類初等行變換即交換兩行將其交換到
4、160;ajj 的位置上,然后再進(jìn)行消元過程。交換系數(shù)矩陣中的兩行,相當(dāng)于兩個方程的位置交換了。再由高斯消元法,將第j列元素除 ajj 外第j行以下的其他元素通過第二種初等行變換化為0,這樣,就能使系數(shù)矩陣通過這樣的行變換化為一個上三角矩陣,即,當(dāng)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換時,常數(shù)矩陣也要進(jìn)行對應(yīng)的初等行變換,即此時 那么有接下來,進(jìn)行“反代”,由 可求出 ,再往上代入 即可求出 以此類推,即可從 xn推到 xn-1 ,再推到xn-2 直至&
5、#160;x1 。至此,未知矩陣x的所有元素就全部求出,即求出了原方程組有且僅有的唯一一組解?;驹硎疽鈭D:三、編寫程序1. #include<stdio.h>2. #include<stdlib.h>3. #include<math.h>4. #define dim 10 /定義最大的維數(shù)1
6、0,為防止計算值溢出5. double adim+1dim+1,bdim+1,xdim+1; /定義雙精度數(shù)組6. double temp;7. double getarray(int n); /定義輸入矩陣元素的函數(shù)8. double showarray(int n);
7、60; /定義輸出化簡系數(shù)矩陣過程的函數(shù)9. int n,i,j,k,p,q;10. double main()11. 12. 13. printf("請輸入系數(shù)矩陣的階數(shù)n(n<10):");14. scanf("%d",&n);15. /*判斷矩陣階數(shù)是否超過界定值*/16. if(n>dim)17. 18. &
8、#160;printf("錯誤:元數(shù)超過初設(shè)定的值%d,請重啟程序重新輸入n",dim);19. exit(0);20. 21.22. /*輸入系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣(即增廣矩陣)的元素*/23. getarray(n);24. 25. /*使對角線上的主元素不為0*/26. for(j=1;j<=n-1;j+)27. &
9、#160; 28. if(ajj=0)29. for(i=j+1;i<=n;i+)30. 31. if(aij!=0)32.
10、 33. /*交換增廣矩陣的第i行與第j行的所有元素*/34. for(k=1;k<=n;k+)35.
11、 36. aik+=ajk;37. ajk=
12、aik-ajk;38. aik-=ajk;39. 40.
13、; bi+=bj;41. bj=bi-bj;42. bi-=bj;43. 44.
14、160; continue; /找到第j列第一個不為0的元素即跳回第一層循環(huán)45. 46. 47. /*開始用高斯簡單迭代消元法進(jìn)行求解計算*/48. for(j=1;j<=n-1;j+)49. 50.
15、160; /*使系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣,常數(shù)矩陣相應(yīng)進(jìn)行變換*/51. for(i=j+1;i<=n;i+)52. 53. temp=aij/ajj;54. bi=bi-
16、temp*bj;55. for(k=1;k<=n;k+)56. aik=aik-temp*ajk;57. printf("n通過初等行變換增廣矩陣矩陣C化為:n");58.
17、0; /*輸出進(jìn)行初等行變換的過程*/59. printf("C=");60. for(p=1;p<=n;p+)61. 62.
18、160; for(q=1;q<=n;q+)63. printf("t%.3f",apq);64. printf("t%.3fn",bp);65.
19、160; 66. printf("n");67. 68. 69.70. /*輸出最終的增廣矩陣C*/71. showarray(n);72.73. /* 開始按順序反代求解xi(i=n,n-1,n-2,2,1)*/74. xn=bn/a
20、nn;75. for(j=n-1;j>=1;j-)76. 77. xj=bj;78. for(k=n;k>=j+1;k-)79. xj=xj-xk*ajk;80. xj=xj/ajj;81.
21、0; 82. printf("n原方程組的唯一一組實數(shù)解為:n");83. for(j=1;j<=n;j+)84. printf("x%d= %.3fn",j,xj);85. 86.87. /*定義矩陣輸入函數(shù)getarray(n)并打印以作檢查*/88. double getarray(int n)89. 90. printf("n請輸入該矩陣各行的實數(shù)(以空格隔開)n");91.
22、for(i=1;i<=n;i+)92. 93. printf("n第%d行:t",i);94. for(j=1;j<=n;j+)95. 96. scanf("%lf",&aij);97. printf("a%d%d=
23、%.3f",i,j,aij);98. printf("n");99. 100. 101. printf("nA=");102. for(i=1;i<=n;i+)103. 104. for(j=1;j<=n;j+)105. printf("t%.3f",a
24、ij);106. printf("n");107. 108. printf("n");109. /*輸入常數(shù)矩陣的各個數(shù)*/110. for(i=1;i<=n;+i)111. 112. printf("請輸入常數(shù)b%d = ",i);113.
25、;scanf("%lf",&bi);114. 115. 116.117. /*定義增廣矩陣C輸出函數(shù)showarray(n)*/118. double showarray(int n)119. 120. printf("n通過初等行變換最終增廣矩陣矩陣C化為:n");121. printf("C=");122. for(i=1;i<=n;i+)123. 124. for(j=1;j<=n;j+)125. printf("t%.3f",aij);126.
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