知識講解二項式定理理基礎

1、 二項式定理 【學習目標】1理解并掌握二項式定理，了解用計數(shù)原理證明二項式定理的方法 2會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題【要點梳理】要點一：二項式定理1.定義一般地,對于任意正整數(shù),都有：()，這個公式所表示的定理叫做二項式定理， 等號右邊的多項式叫做的二項展開式。式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，n）叫做二項式系數(shù)，2二項式(a+b)n的展開式的特點：(1)項數(shù)：共有n+1項，比二項式的次數(shù)大1；(2)二項式系數(shù)：第r+1項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；(3)次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n字母a降冪

2、排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個常用的二項展開式：()要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：（）公式特點：它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是；字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；a與b的次數(shù)之和為n。 要點詮釋： （1）二項式(a+b)n的二項展開式的第r+1項和(b+a)n的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的 （2）通項是針對在(a+b)n這個標準形式下而言的，如(ab)n的二項展開式的通項是（只需把b看成b代入二項式定理）。要點三：二項式系數(shù)及其性質1.楊輝三角和二項

3、展開式的推導。在我國南宋，數(shù)學家楊輝于1261年所著的詳解九章算法如下表，可直觀地看出二項式系數(shù)。展開式中的二項式系數(shù),當依次取1,2,3,時,如下表所示: 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表叫做二項式系數(shù)的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數(shù)的性質。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù) 2.的展開

4、式中各項的二項式系數(shù)、具有如下性質：對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即；增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且最大.各二項式系數(shù)之和為，即；二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即。要點詮釋：二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別：二項展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等。如(ab)n的二項展開式的通項是，在這里對應項的二項式系數(shù)都是，但項

5、的系數(shù)是，可以看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念3.展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為要點詮釋：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決。要點四：二項式定理的應用1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進行求有關系數(shù)和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項式系數(shù)有關的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設(1) 令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=1，則(4)(5)3.利用二項式定理

6、證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關的不等式問題：有些不等式，可應用二項式定理，結合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當刪去(縮小)，或把某些負項刪去(放大)，使等式轉化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進行證明。；（）如：求證：【典型例題】類型一、求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)例1. 求的二項式的展開式【思路點撥】 按照二項式的展開式或按通項依次寫出每一項，但要注意符號【解析】解一： 解二：【總結升華】記準、記熟二項式(a+b)n的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條件，對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡捷舉一反三：【變式】求二項式的展開式

7、【答案】 （1）解法一： 解法二：。例2（1）求的展開式的第四項的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)【思路點撥】先根據(jù)已知條件求出二項式的指數(shù)n，然后再求展開式中含x的項因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題，故選用通項公式【解析】（1）的展開式的第四項是，的展開式的第四項的系數(shù)是（2）的展開式的通項是，的系數(shù)，的二項式系數(shù)【總結升華】1.利用通項公式求給定項時避免出錯的關鍵是弄清共有多少項,所求的是第幾項,相應的是多少；2. 注意系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別；3. 在求解過程中要注意冪的運算公式的準確應用。舉一反三：【變式1】求的展開式的第3項的二項式系數(shù)和系數(shù)；【答案】10，80；【變式

8、2】求(x3)5的展開式中x5的系數(shù)；【答案】（1）Tr1依題意155r5，解得r2故(2)240為所求x5的系數(shù)例3.（1）(2x2)6的展開式中的常數(shù)項；（2）求的展開式中的有理項.【思路點撥】常數(shù)項就是項的冪指數(shù)為0的項，有理項，就是通項中x的指數(shù)為正整數(shù)的項，可以根據(jù)二項式定理的通項公式求?！窘馕觥浚?）Tr1(2x2)6-r(1)r·26- r·依題意123r0，解得r4故·2260為所求的常數(shù)項（2）通項為有理項，,即是6的倍數(shù),又因為,所以=0,6,12故展開式中的有理項為,.【總結升華】 使二項展開式的某一項為常數(shù)項，就是使這一項不含“變元”，一般

9、采用令變元的指數(shù)為零的方法解答這類問題。求有理項是對x的指數(shù)是整數(shù)情況的討論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號的要求舉一反三：【變式】 求二項式的展開式中的常數(shù)項及有理項 設二項式的通項為，令，得r=8。令，即r=0，2，4，6，8時，。，。 二項式的展開式中的常數(shù)項是第9項：；有理項是第1項：x20，第3項：，第5項：，第7項：，第9項：類型二、 二項式之積及三項式展開問題例4求的展開式中的系數(shù).【思路點撥】 將變形為，要使兩個因式的乘積中出現(xiàn)，根據(jù)式子的結構可以分類討論：當前一個因式為1時，后面的應該為；當前一個因式為時，后面的應該為；當前一個因式為時，后面的應該為；也可以利用通項公式化簡解

10、答。【解析】解法一：，的通項公式（），分三類討論：（1）當前一個因式為1時，后面的應該為，即；（2）當前一個因式為時，后面的應該為，即；（3）當前一個因式為時，后面的應該為，即；故展開式中的系數(shù)為。解法二：的通項公式（），的通項公式,（），令,則或或，從而的系數(shù)為?！究偨Y升華】當多個不同的二項式相加或相乘時，可以依據(jù)題意進行恰當?shù)姆诸惢蚍植接嬎?，也可以直接利用通項公式化簡后求解。舉一反三：【變式】求(x2)10(x21)的展開式中x10的系數(shù)；【答案】 (x2)10x1020x9180x8 (x2)10(x21)的展開式中x10的系數(shù)是1180179例5求的展開式中的系數(shù)【思路點撥】要把上式展

11、開，必須先把三項中的某兩項結合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開【解析】（法一），顯然，上式中只有第四項中含的項，展開式中含的項的系數(shù)是（法二）：展開式中含的項的系數(shù)是【總結升華】有些題中，常出現(xiàn)三項式展開或兩個二項式乘積的展開問題，所用解法一般為二項式定理展開，或將三項式轉化為二項式舉一反三：【變式1】的展開式中含項的系數(shù)是 ；【答案】【變式2】在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)【答案】在(x+1)5展開式中，常數(shù)項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項為25=32，含x的項為 展開式中

12、含x的項為 ，此展開式中x的系數(shù)為240類型三、有關二項式系數(shù)的性質及計算的問題例6已知（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項?！舅悸伏c撥】 利用展開式的通項，得到系數(shù)的表達式，進而求出其最大值?！窘馕觥浚?）展開式的通項：，故展開式中二項式系數(shù)最大的項為：（2）設第項的系數(shù)最大，則，化簡得，解得:， ，故所求展開式中系數(shù)最大的項為：【總結升華】求展開式中系數(shù)最大的項，一般是解一個不等式組。舉一反三：【變式】求展開式中系數(shù)最大的項?！敬鸢浮吭讲皇堑臉藴识検剑灰欢ㄊ侵虚g項系數(shù)最大。設項系數(shù)最大，有。，解得。k是非負整數(shù)，k=8。第8項系數(shù)最大，即。類型四、利用賦值

13、法進行求有關系數(shù)和。例7. 若，則_（用數(shù)字作答）【思路點撥】求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法【解析】令，則，即【總結升華】賦值法是解決二項展開式的系數(shù)和的有效方法，通過對二項展開式中的字母或代數(shù)式賦予允許值，以達到解題目的舉一反三：【變式1】若，則 ,【答案】0；令,得答案0.【變式2】 已知，則等于（ ）A63 B64 C31 D32【答案】 逆用二項式定理得：，所以n=6，所以。故選A。類型四、 二項式定理的綜合運用例8. 求證：對任何非負整數(shù)n，33n26n1可被676整除。 【思路點撥】 注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二項展開式去證明 【解析】 當n=0時，原式=0，可被676整除 當n=1時，原式=0，也可被676整除 當n2時，原式 每一項都含262這個因數(shù)，故可被262=676整除 綜上所述，對一切非負整數(shù)n，33n26n1可被676整除 【總結升華】 此類整除問題（或余數(shù)問題）可以用二項式定理證明，證明的關鍵在于將被除式進行恰當?shù)淖冃?，使其能寫成二項式的形式，展開后的每一項中都會有除式這個因式，就可證得整除或求出余數(shù)舉一反三：【變式】除以的余數(shù)是 .【答案】；故除以的余數(shù)是.例9. 求證