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文檔簡介
1、 二項式定理 【學習目標】1理解并掌握二項式定理,了解用計數(shù)原理證明二項式定理的方法 2會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題【要點梳理】要點一:二項式定理1.定義一般地,對于任意正整數(shù),都有:(),這個公式所表示的定理叫做二項式定理, 等號右邊的多項式叫做的二項展開式。式中的做二項展開式的通項,用Tr+1表示,即通項為展開式的第r+1項:,其中的系數(shù)(r=0,1,2,n)叫做二項式系數(shù),2二項式(a+b)n的展開式的特點:(1)項數(shù):共有n+1項,比二項式的次數(shù)大1;(2)二項式系數(shù):第r+1項的二項式系數(shù)為,最大二項式系數(shù)項居中;(3)次數(shù):各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n字母a降冪
2、排列,次數(shù)由n到0;字母b升冪排列,次數(shù)從0到n,每一項中,a,b次數(shù)和均為n;3.兩個常用的二項展開式:()要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項:()公式特點:它表示二項展開式的第r+1項,該項的二項式系數(shù)是;字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同;a與b的次數(shù)之和為n。 要點詮釋: (1)二項式(a+b)n的二項展開式的第r+1項和(b+a)n的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的,應用二項式定理時,其中的a和b是不能隨便交換位置的 (2)通項是針對在(a+b)n這個標準形式下而言的,如(ab)n的二項展開式的通項是(只需把b看成b代入二項式定理)。要點三:二項式系數(shù)及其性質1.楊輝三角和二項
3、展開式的推導。在我國南宋,數(shù)學家楊輝于1261年所著的詳解九章算法如下表,可直觀地看出二項式系數(shù)。展開式中的二項式系數(shù),當依次取1,2,3,時,如下表所示: 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表叫做二項式系數(shù)的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數(shù)的性質。表中每行兩端都是1,而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義:為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù),可以考慮在這n個括號中取r個b,則這種取法種數(shù)為,即為的系數(shù) 2.的展開
4、式中各項的二項式系數(shù)、具有如下性質:對稱性:二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等,即;增減性與最大值:二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大,在后半部分逐漸減小,在中間取得最大值.其中,當n為偶數(shù)時,二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大;當n為奇數(shù)時,二項展開式中間兩項的二項式系數(shù),相等,且最大.各二項式系數(shù)之和為,即;二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和,即。要點詮釋:二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別:二項展開式中,第r+1項的二項式系數(shù)是組合數(shù),展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù),二者不一定相等。如(ab)n的二項展開式的通項是,在這里對應項的二項式系數(shù)都是,但項
5、的系數(shù)是,可以看出,二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念3.展開式中的系數(shù)求法(的整數(shù)且)如:展開式中含的系數(shù)為要點詮釋:三項或三項以上的展開式問題,把某兩項結合為一項,利用二項式定理解決。要點四:二項式定理的應用1.求展開式中的指定的項或特定項(或其系數(shù)).2.利用賦值法進行求有關系數(shù)和。二項式定理表示一個恒等式,對于任意的a,b,該等式都成立。利用賦值法(即通過對a、b取不同的特殊值)可解決與二項式系數(shù)有關的問題,注意取值要有利于問題的解決,可以取一個值或幾個值,也可以取幾組值,解決問題時要避免漏項等情況。設(1) 令x=0,則(2)令x=1,則(3)令x=1,則(4)(5)3.利用二項式定理
6、證明整除問題及余數(shù)的求法:如:求證:能被64整除()4.證明有關的不等式問題:有些不等式,可應用二項式定理,結合放縮法證明,即把二項展開式中的某些正項適當刪去(縮小),或把某些負項刪去(放大),使等式轉化為不等式,然后再根據(jù)不等式的傳遞性進行證明。;()如:求證:【典型例題】類型一、求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)例1. 求的二項式的展開式【思路點撥】 按照二項式的展開式或按通項依次寫出每一項,但要注意符號【解析】解一: 解二:【總結升華】記準、記熟二項式(a+b)n的展開式,是解答好與二項式定理有關問題的前提條件,對較復雜的二項式,有時先化簡再展開會更簡捷舉一反三:【變式】求二項式的展開式
7、【答案】 (1)解法一: 解法二:。例2(1)求的展開式的第四項的系數(shù);(2)求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)【思路點撥】先根據(jù)已知條件求出二項式的指數(shù)n,然后再求展開式中含x的項因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題,故選用通項公式【解析】(1)的展開式的第四項是,的展開式的第四項的系數(shù)是(2)的展開式的通項是,的系數(shù),的二項式系數(shù)【總結升華】1.利用通項公式求給定項時避免出錯的關鍵是弄清共有多少項,所求的是第幾項,相應的是多少;2. 注意系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別;3. 在求解過程中要注意冪的運算公式的準確應用。舉一反三:【變式1】求的展開式的第3項的二項式系數(shù)和系數(shù);【答案】10,80;【變式
8、2】求(x3)5的展開式中x5的系數(shù);【答案】(1)Tr1依題意155r5,解得r2故(2)240為所求x5的系數(shù)例3.(1)(2x2)6的展開式中的常數(shù)項;(2)求的展開式中的有理項.【思路點撥】常數(shù)項就是項的冪指數(shù)為0的項,有理項,就是通項中x的指數(shù)為正整數(shù)的項,可以根據(jù)二項式定理的通項公式求?!窘馕觥浚?)Tr1(2x2)6-r(1)r·26- r·依題意123r0,解得r4故·2260為所求的常數(shù)項(2)通項為有理項,,即是6的倍數(shù),又因為,所以=0,6,12故展開式中的有理項為,.【總結升華】 使二項展開式的某一項為常數(shù)項,就是使這一項不含“變元”,一般
9、采用令變元的指數(shù)為零的方法解答這類問題。求有理項是對x的指數(shù)是整數(shù)情況的討論,要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號的要求舉一反三:【變式】 求二項式的展開式中的常數(shù)項及有理項 設二項式的通項為,令,得r=8。令,即r=0,2,4,6,8時,。,。 二項式的展開式中的常數(shù)項是第9項:;有理項是第1項:x20,第3項:,第5項:,第7項:,第9項:類型二、 二項式之積及三項式展開問題例4求的展開式中的系數(shù).【思路點撥】 將變形為,要使兩個因式的乘積中出現(xiàn),根據(jù)式子的結構可以分類討論:當前一個因式為1時,后面的應該為;當前一個因式為時,后面的應該為;當前一個因式為時,后面的應該為;也可以利用通項公式化簡解
10、答。【解析】解法一:,的通項公式(),分三類討論:(1)當前一個因式為1時,后面的應該為,即;(2)當前一個因式為時,后面的應該為,即;(3)當前一個因式為時,后面的應該為,即;故展開式中的系數(shù)為。解法二:的通項公式(),的通項公式,(),令,則或或,從而的系數(shù)為?!究偨Y升華】當多個不同的二項式相加或相乘時,可以依據(jù)題意進行恰當?shù)姆诸惢蚍植接嬎?,也可以直接利用通項公式化簡后求解。舉一反三:【變式】求(x2)10(x21)的展開式中x10的系數(shù);【答案】 (x2)10x1020x9180x8 (x2)10(x21)的展開式中x10的系數(shù)是1180179例5求的展開式中的系數(shù)【思路點撥】要把上式展
11、開,必須先把三項中的某兩項結合起來,看成一項,才可以用二項式定理展開,然后再用一次二項式定理,也可以先把三項式分解成兩個二項式的積,再用二項式定理展開【解析】(法一),顯然,上式中只有第四項中含的項,展開式中含的項的系數(shù)是(法二):展開式中含的項的系數(shù)是【總結升華】有些題中,常出現(xiàn)三項式展開或兩個二項式乘積的展開問題,所用解法一般為二項式定理展開,或將三項式轉化為二項式舉一反三:【變式1】的展開式中含項的系數(shù)是 ;【答案】【變式2】在(x2+3x+2)5的展開式中,求x的系數(shù)【答案】在(x+1)5展開式中,常數(shù)項為1,含x的項為,在(2+x)5展開式中,常數(shù)項為25=32,含x的項為 展開式中
12、含x的項為 ,此展開式中x的系數(shù)為240類型三、有關二項式系數(shù)的性質及計算的問題例6已知(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求展開式中系數(shù)最大的項?!舅悸伏c撥】 利用展開式的通項,得到系數(shù)的表達式,進而求出其最大值?!窘馕觥浚?)展開式的通項:,故展開式中二項式系數(shù)最大的項為:(2)設第項的系數(shù)最大,則,化簡得,解得:, ,故所求展開式中系數(shù)最大的項為:【總結升華】求展開式中系數(shù)最大的項,一般是解一個不等式組。舉一反三:【變式】求展開式中系數(shù)最大的項?!敬鸢浮吭讲皇堑臉藴识検剑灰欢ㄊ侵虚g項系數(shù)最大。設項系數(shù)最大,有。,解得。k是非負整數(shù),k=8。第8項系數(shù)最大,即。類型四、利用賦值
13、法進行求有關系數(shù)和。例7. 若,則_(用數(shù)字作答)【思路點撥】求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法【解析】令,則,即【總結升華】賦值法是解決二項展開式的系數(shù)和的有效方法,通過對二項展開式中的字母或代數(shù)式賦予允許值,以達到解題目的舉一反三:【變式1】若,則 ,【答案】0;令,得答案0.【變式2】 已知,則等于( )A63 B64 C31 D32【答案】 逆用二項式定理得:,所以n=6,所以。故選A。類型四、 二項式定理的綜合運用例8. 求證:對任何非負整數(shù)n,33n26n1可被676整除。 【思路點撥】 注意到262=676,33n=27n=(26+1)n,用二項展開式去證明 【解析】 當n=0時,原式=0,可被676整除 當n=1時,原式=0,也可被676整除 當n2時,原式 每一項都含262這個因數(shù),故可被262=676整除 綜上所述,對一切非負整數(shù)n,33n26n1可被676整除 【總結升華】 此類整除問題(或余數(shù)問題)可以用二項式定理證明,證明的關鍵在于將被除式進行恰當?shù)淖冃?,使其能寫成二項式的形式,展開后的每一項中都會有除式這個因式,就可證得整除或求出余數(shù)舉一反三:【變式】除以的余數(shù)是 .【答案】;故除以的余數(shù)是.例9. 求證
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