第10章曲線積分與曲面積分16505

1、第十章 曲線積分與曲面積分一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求：1、理解二類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2、會(huì)計(jì)算兩類曲線積分3、掌握（Green）公式，會(huì)使用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。4、了解兩類曲面積分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并會(huì)計(jì)算兩類曲面積分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其計(jì)算方法。6、會(huì)用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（如曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、功、流量等）。二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配：第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 2學(xué)時(shí)第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 2學(xué)時(shí)第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 2學(xué)時(shí) 習(xí)題課 2學(xué)時(shí)第四節(jié)

2、對(duì)面積的曲面積分 2學(xué)時(shí)第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 2學(xué)時(shí)第六節(jié) 高斯公式 通量與散度 2學(xué)時(shí)第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 2學(xué)時(shí) 習(xí)題課 2學(xué)時(shí)三、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：1、二類曲線積分的概念及其計(jì)算方法2、二類曲面積分的概念及其計(jì)算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲線積分及曲面積分的物理應(yīng)用和幾何應(yīng)用也是本章重點(diǎn)。5、兩類曲線積分的關(guān)系和區(qū)別6、兩類曲面積分的關(guān)系和區(qū)別7、曲線積分和曲面積分的物理應(yīng)用及幾何應(yīng)用第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、內(nèi)容要點(diǎn)由例子引入對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義給出性質(zhì)，然后介紹將對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分化為定積分的計(jì)算方法。1、引例：求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量最后舉例鞏固

3、計(jì)算方法的掌握。2、為第一類曲線積分，其中為曲線，被積函數(shù)中的點(diǎn)位于曲線上，即必須滿足對(duì)應(yīng)的方程，是弧微分、弧長(zhǎng)元素。若是封閉曲線，則第一類曲線積分記為3、第一類曲線積分的應(yīng)用：1）、曲線的長(zhǎng)s=2）、若空間曲線形物體的線密度為，則其質(zhì)量M;質(zhì)心坐標(biāo)為，其中;對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4、第一類曲線積分的計(jì)算方法：若空間曲線參數(shù)方程為：， ，則，=。例1計(jì)算，其中：，解因?yàn)?，,所以例2 ，其中為球面與平面的交線；解 的參數(shù)方程為，根據(jù)對(duì)稱性得到=例3 計(jì)算，其中解:,或解：被積函數(shù)中的點(diǎn)位于曲線上，即必須滿足對(duì)應(yīng)的方程 ，所以，=二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1、理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念，了解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

4、的性質(zhì) 2、掌握計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的方法3、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與曲線方向無(wú)關(guān)，化弧長(zhǎng)的曲線積分為定積分時(shí)，定積分的上限不能比下限小。三、教學(xué)設(shè)計(jì)與安排（包含于上面）四、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一第一型曲線積分的概念和性質(zhì)1金屬曲線的質(zhì)量設(shè)有金屬曲線L（如圖91），L上各點(diǎn)的密度為二元連續(xù)函數(shù)（，），求這曲線的質(zhì)量。把L分成n個(gè)小弧段：s，s，s，其中s（i=1,2,n）也表示這些小弧段的長(zhǎng)度。在s上任取一點(diǎn)（，），由于線密度函數(shù)是連續(xù)的，因此當(dāng)s很小時(shí)，s的質(zhì)量m便可近似地表示為：m（，）s，于是整個(gè)金屬曲線地質(zhì)量近似于M(，)s.記s,令0取上式和式的極限，得M(，)s.2第一型曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的

5、曲線積分）的定義定義：設(shè)L為xoy平面內(nèi)的曲線弧，是L上的有界函數(shù),把L分成n個(gè)小弧段: s，s，s，其中s（i=1,2,n）也表示第i個(gè)小弧段的弧長(zhǎng). 記s,在每個(gè)小弧段s上任取一點(diǎn)（，）,作和式s,如和式極限s存在,且極限值與L的分法和點(diǎn)（，）在s上的取法無(wú)關(guān),則稱此極限值為函數(shù)(x,y)在曲線L上的第一型曲線積分或稱為對(duì)弧長(zhǎng)的線積分,記作,即=s稱為被積函數(shù),L為積分曲線弧.注1:同前面一樣,并非任一個(gè)函數(shù)在L上的對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分都是存在的.但若在L上連續(xù),則其積分是存在的.故以后在不作特別說明的情況下,總假定在L上連續(xù).注2:顯然物體M的質(zhì)量為:M=注3:類似地,我們可定義對(duì)于空間曲線

6、弧的曲線積分: =注4:若L為閉曲線,則在L上的對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記為性質(zhì)1.若(i=1,2n)存在,C (i=1,2,n)為常數(shù),則=性質(zhì)2:如按段光滑曲線L由曲線L,L,L首尾相接而成,且(i=1,2,n)都存在,則=性質(zhì)3:若,都存在,且在L上,則性質(zhì)4:若存在,則也存在,且有性質(zhì)5:若存在,L的弧長(zhǎng)為S,則存在常數(shù)C,使得=CS二.第一型曲線積分的計(jì)算法我們可應(yīng)用下列定理將第一型曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算:定理:設(shè)曲線L的方程為:,其中,在上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),為L(zhǎng)上的連續(xù)函數(shù),則有=證:詳細(xì)的證明書上有,大家自己看,現(xiàn)在我們從另外一方面來說明這個(gè)問題:我們用來表示L上的以為取值區(qū)間所對(duì)

7、應(yīng)部分的弧長(zhǎng),則有=.兩邊求微分,得進(jìn)而:又當(dāng)在L上變化時(shí),相應(yīng)地在上取值,故= . (注:并非嚴(yán)格的證明)注1:若L的方程為,則= 若L的方程為,則= 2:若空間曲線的方程為:,.則有= 3:定理.注1.2中的定積分的上下限,一定滿足:下限上限.這是因?yàn)?在這里的L(或)是無(wú)向曲線弧段,因而單從L的端點(diǎn)看不出上下限究竟是什么.這就要從L(或)的方程的形式來考慮.又>0>0從而當(dāng)很小時(shí),>0.此時(shí)若視為L(zhǎng)上某一段弧的弧長(zhǎng),應(yīng)有>0>0.這說明此時(shí)的變化是由小到大的.而這里正是的一般形狀,故下限上限.例1: 設(shè)L是半園周: 0. 計(jì)算解: =例2: 設(shè)為球面被平面所

8、截的圓周,計(jì)算.解:根據(jù)對(duì)稱性知 =的弧長(zhǎng)=第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、內(nèi)容要點(diǎn)引例：變力沿曲線所作的功由例子引入對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義，給出性質(zhì)然后介紹將對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為定積分的計(jì)算方法，并強(qiáng)調(diào)指出兩類曲線積分化為定積分的計(jì)算方法，最后舉例鞏固計(jì)算方法的掌握。一、為第二類曲線積分，其中是一條定向曲線，為向量值函數(shù)，為定向弧長(zhǎng)元素（有向曲線元）若曲線的參數(shù)方程為：，則切向量，單位切向量弧長(zhǎng)元素=定向弧長(zhǎng)元素= =上面的等式表明第二類曲線積分可以化為為第一類曲線積分。例1 把第二類曲線積分化成第一類曲線積分，其中為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。解 方向向量，其方向余弦，原式=例2.把第二類曲線積分化成第

9、一類曲線積分，其中為從點(diǎn)沿上半圓周到點(diǎn)解的參數(shù)方程為，切向量其方向余弦，=。二、第二類曲線積分的應(yīng)用：若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A沿光滑曲線（或分?jǐn)喙饣€）移動(dòng)到點(diǎn)B，在移動(dòng)過程中，這質(zhì)點(diǎn)受到力，則該力所作的功W=三、第二類曲線積分的計(jì)算方法：1、若空間定向曲線的參數(shù)方程，則=2、若平面定向曲線的參數(shù)方程：，則=例1 計(jì)算，其中為曲線上從到的一段弧。解 =。例2計(jì)算曲線積分，其中是曲線從軸正向看去，取順時(shí)針方向分析先寫出曲線的參數(shù)方程，可令，則，為參數(shù)，由題設(shè)，的起點(diǎn)、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為和0；在代入計(jì)算公式。解曲線的參數(shù)方程為，于是原式二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1、二類曲線積分的定義及計(jì)算方法，并講清楚它們

10、的聯(lián)系和區(qū)別。2、曲線積分與二重積分由格林公式聯(lián)系起來，并由此得出結(jié)果可用曲線積分計(jì)算平面圖形的面積。在本章的講述中，應(yīng)提醒學(xué)生注意：1、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線方向有關(guān)。2、求曲線型構(gòu)件的質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，長(zhǎng)度及重心坐標(biāo)用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分；求變力沿曲線所作的功用對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。三、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題這里講的是曲線積分的另一種形式.假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受力=i+j的作用沿平面曲線L運(yùn)動(dòng),求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從L的一端點(diǎn)A移動(dòng)到另一端點(diǎn)B時(shí),力所做的功W.(這里假設(shè),在L上連續(xù))首先,對(duì)有向曲線L作分割:用點(diǎn)M,M,M與M=A,M=B將L分成n個(gè)小段(i=1,2n).以表示其弧長(zhǎng).記該分割的細(xì)度為s,當(dāng)很小時(shí),有向的小弧

11、段可用有向的直線段來代替:=i+j,其中=,=.而,分別為M與M點(diǎn)的坐標(biāo).又在上任取一點(diǎn)（，）.當(dāng)很小時(shí),由于,在L上連續(xù),故可用在（，）點(diǎn)處的力=i+j來近似代替上其它各點(diǎn)的力,因此變力在小弧段上所作的功,就近似地等于常力沿所做的功.故有.=+所以 W= .且當(dāng)時(shí),有W=.2.第二型曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)的定義定義:設(shè)L是面上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的有向光滑曲線,在L上有界,把L分成n個(gè)小弧段s，s，s，其中s（i=1,2,n）也表示第i個(gè)小弧段的弧長(zhǎng).在s(i=1,2,n)上任取一點(diǎn)（，）,做和式,其中和是分別在軸和軸上的投影.記s,如果極限存在,且極限值與L的分法及點(diǎn)（，）在s上的取法無(wú)關(guān),

12、則稱此極限值為函數(shù),在有向曲線弧L上的第二型曲線積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分,記作即有:=,其中,稱為被積函數(shù),L稱為積分曲線弧.同理,當(dāng),都在L上連續(xù)時(shí),上述積分才存在.故今后總假定,在L上連續(xù)注1: 完全可以類似地?cái)U(kuò)到空間曲線上,得2: 當(dāng)L為封閉曲線時(shí),常記為:3:這兩類線積分,除了形式上不同之外,還有一關(guān)鍵性區(qū)別在于:第一類線積分與L的方向無(wú)關(guān),而第二類線積分與L的方向有關(guān).(下見性質(zhì)2)性質(zhì)1:若L由有限有向曲線弧組成,例如L=L+L,則=+性質(zhì)2:設(shè)L是L的反向曲線弧,則=一. 第二型曲線積分的計(jì)算法同前面一樣,我們可以將對(duì)坐標(biāo)的曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算,有下列定理:定理:,在有向曲線

13、弧L上連續(xù),L的方程為:,. 當(dāng)由變動(dòng)到時(shí),對(duì)應(yīng)L上的動(dòng)點(diǎn)從L的起點(diǎn)A變到終點(diǎn)B,在上連續(xù)且不全為零,則= (證明略)注1:若L的方程為,在a ,b之間.且x=a且x=b分別為L(zhǎng)的起點(diǎn)和終點(diǎn),則有=同理,若L的方程為,也有類似的結(jié)果.2:設(shè)空間曲線的方程為:,且,分別對(duì)應(yīng)于的起點(diǎn)和終點(diǎn),則有 =3:定理及注1,2中的定積分的上下限分別時(shí)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為下限,終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為上限.例3 計(jì)算.其中L為拋物線上的點(diǎn)A(-1,1)到B(4,-2)的一段.解法一:由題知L的方程為 , 從-1到-2,故=解法二: L的方程可寫為, 從1到4=例4 求在力的作用下:(1) 質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a,

14、0,0)沿螺旋線L到點(diǎn)B(0,0,2b)所作的功. L:, , (2) 質(zhì)點(diǎn)由A(a,0,0)沿直線L到點(diǎn)B(0,0,2b)所作的功. 解: W=(1) W= (2) L: x=a, y=0,z=t (0t2b) 則W=.二. 兩類線積分之間的關(guān)系直到現(xiàn)在為止,我們已學(xué)過兩種曲線積分:和.兩者都是轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算.那么兩者有何聯(lián)系呢?這兩種曲線積分來源于不同的物理原型,有著不同的特性,但在一定的條件下,我們可建立它們之間的聯(lián)系.設(shè)有向曲線弧L表示成以弧長(zhǎng)s為參數(shù)的參數(shù)方程: x=x(s),y=y(s), 0s,這里L(fēng)由點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向就是s增大的方向.又設(shè),依次為從x軸正向,y軸正向到曲線L的

15、切線的正向的夾角,則, (cos,cos也稱為有向曲線L上點(diǎn)(x,y)處的切向量的方向余弦,切向量的指向與曲線L的方向一致).因此,得=注1: 上式可推廣到空間曲線的曲線積分上去,有=其中cos,cos,cos 是L上點(diǎn)(x,y,z)處的切向量的方向余弦.例5 把第二型曲線積分化為第一型曲線積分,其中L:上從(0,0)到(1,1)的一段弧.解: ,L的切向量T=1,=于是 = =.第三節(jié) 格林公式一、內(nèi)容要點(diǎn)（教學(xué)設(shè)計(jì)）先介紹單連通域，畫圖說明然后回憶牛頓菜布尼茲公式，由此推出格林公式（書上定理1）并證明。提出格林公式將二重積分與曲線積分聯(lián)系起來了。舉2個(gè)例子說明格林公式的用法再介紹平面上曲線

16、積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。給出149頁(yè)定理3，并證明，更重點(diǎn)講151頁(yè)公式，然后舉2個(gè)例子說明該公式的用法。該堂課講153頁(yè)習(xí)題3，再由此說明格林公式的條件。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)（略）三、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題格林(Green)公式是指出了沿閉曲線的第二型曲線積分與二重積分的關(guān)系.下面我們來規(guī)定L的正向:設(shè)區(qū)域D是由一條或幾條光滑曲線所圍成.邊界曲線L的正向規(guī)定為:當(dāng)人沿著L行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.若與L的正向相反,就稱為負(fù)方向.記作L.定理1 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的閉曲線L圍成,函數(shù),在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則= (1) 其中左端的閉曲線積分是沿邊界曲線L的正方向.公式(1)稱為格林公式. 證

17、:(i)首先我們證明一個(gè)特殊情況:D既可表示為X-型區(qū)域,也可表示為Y-型區(qū)域.由D可表示為X型區(qū)域,不妨設(shè)D=(x,y) : axb, y (如圖) 則 = =又 =+= + =因此有 =同理,D可表示為Y-型區(qū)域,不難證明:=將上面兩式相加得=.(ii)對(duì)于一般的區(qū)域D,即如果閉區(qū)域不滿足上述條件(既可表示為X-型區(qū)域,也可表示為Y-型區(qū)域),則可以在D內(nèi)引進(jìn)若干條輔助線把D分成有限個(gè)部分閉區(qū)域,使每個(gè)部分滿足上述條件.在每快小區(qū)域上分別運(yùn)用reen公式,然后相加即成.如圖中D的邊界曲線L,通過作輔助線AE將L分為L(zhǎng),L,同時(shí)將區(qū)域D分為D,D,它們都滿足上述條件,于是= , =上面兩式相

18、加,并注意到=+ ,=+, =.又L=L+L, D= D+D, 于是 =.注:在reen公式中,當(dāng), 時(shí),有 =1(1)=2, 代入公式,得= = (其中為的面積)于是 . (2)例5 計(jì)算橢圓 圍成的面積.解: 橢圓的參數(shù)方程為 , , .由式(2) , 得 A= =.例6 求I= , 其中L的為任一不含原點(diǎn)的閉區(qū)域D的邊界.解: , . 不難驗(yàn)證 ,且P,Q在D上連續(xù),故由Green公式,得 = 例7 計(jì)算 , 其中L是包圍原點(diǎn)在內(nèi)的區(qū)域D的正向邊界曲線(如圖) 解: , . 因, 在原點(diǎn)(0,0)處不連續(xù),故不能直接利用格林公式. 選取充分小的半徑>0,在D內(nèi)部作圓周: .記與之間

19、的區(qū)域?yàn)镈, D的邊界曲線為,這時(shí)D內(nèi)不含原點(diǎn), 在D上連續(xù),應(yīng)用格林公式. 由 , =其中的參數(shù)方程為: , , .=.平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件從前面的討論,我們看到第二型曲線積分當(dāng)積分路徑起點(diǎn),終點(diǎn)固定時(shí),它的數(shù)值一般與積分曲線有關(guān).如:中,當(dāng)L的端點(diǎn)固定在(1,1)點(diǎn)和(4,2)點(diǎn)時(shí),若L取不同的路徑,所得到的積分值不一樣.這說明積分值與所取的積分路徑有關(guān).然而,存在著另一種情況,即積分值與積分路徑無(wú)關(guān),只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān).亦即對(duì)任意兩條以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的曲線和,有=.本段將討論曲線積分在什么條件下,其值與路徑無(wú)關(guān).首先,介紹單連通區(qū)域的概念:若對(duì)于平面開區(qū)域D內(nèi)任一條封閉曲線L

20、,均可以D以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于D中某一點(diǎn),即L所圍的點(diǎn)全屬于D,那么就稱D為單連通區(qū)域,通俗地說D是沒有“洞”的區(qū)域.否則,稱為復(fù)(多)連通區(qū)域.(如圖).定理: 設(shè)是一個(gè)單連通的開區(qū)域,函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則下述命題是等價(jià)的 1) 在D內(nèi)恒成立; 2) 對(duì)G內(nèi)任意閉曲線L成立; 3) 在G內(nèi)與積分路徑無(wú)關(guān); 4) 存在可微函數(shù),使得在G內(nèi)恒成立. 證 1)2). 已知在G內(nèi)恒成立,對(duì)G內(nèi)任意閉曲線L,設(shè)其所包圍的閉區(qū)域?yàn)镈,由格林公式 2)3). 已知對(duì)G內(nèi)任一條閉曲線L,. 對(duì)G內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B,設(shè)和是G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線(如圖),則是G內(nèi)一條封閉曲線,從而有=+。于是

21、 即曲線積分與路徑無(wú)關(guān),其中L位于G內(nèi). 3)4). 已知起點(diǎn)為,終點(diǎn)為的曲線積分在區(qū)域G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),故可記此積分為. 當(dāng)固定時(shí),積分值僅取決于動(dòng)點(diǎn),因此上式是的函數(shù),極為,即 下面證明在G內(nèi)可微,且 由于都是連續(xù)函數(shù),故只需證, .不難證明 = (詳細(xì)過程見P157)故的全微分存在,且. 4)1). 已知存在一個(gè)函數(shù),使得 從而 , , 由于具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),所以混合偏導(dǎo)數(shù),連續(xù),故=,即例8 證明 與路徑無(wú)關(guān). 證: = 與路徑無(wú)關(guān)., , , 在整個(gè)平面上連續(xù),且,由定理,得 與路徑無(wú)關(guān).例9 討論的原函數(shù).解: , , , 在整個(gè)平面上連續(xù),且有, 即定理中的1)成立,所以4)成立

22、.即為某個(gè)函數(shù)的全微分.且 , 由于曲線積分與路徑無(wú)關(guān),可取先從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(,0)的直線段OA: ,再沿從點(diǎn)A到點(diǎn)M的平行于軸的直線段AM,所以有 所求原函數(shù)為 (為任意常數(shù)).第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分一、內(nèi)容要點(diǎn)（教學(xué)設(shè)計(jì)）引例：求空間曲面的質(zhì)量由例子引進(jìn)對(duì)面積的曲面積分的定義，并給出性質(zhì)介紹將對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算方法，該方法可概括為“一代二換三投影”。舉3個(gè)例子提出該積分與二重積分的區(qū)別二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)了解對(duì)面積的面積分的定義，掌握其計(jì)算方法在本章的講述中，應(yīng)提醒學(xué)生注意：求空間曲面的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，曲面面積及重心坐標(biāo)用對(duì)面積的曲面積分；三、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一

23、 第一型曲面積分的概念和性質(zhì)考慮這樣一個(gè)實(shí)際問題:設(shè)某一物體占有空間曲面,其面密度函數(shù)為,求該物體的質(zhì)量.我們?nèi)杂靡郧皯T用的方法,先分割為若干小塊,再作和式:.最后取極限,得 M=其中 為各小塊面直徑的最大值.這就是曲面積分的思想.下面我們給出定義: 定義 設(shè)函數(shù)在曲面上有界,把分成n個(gè)小片,其中(i=1,2,n)也表示第i小片的面積,在上任取一點(diǎn),作和式,若當(dāng)此n個(gè)小曲面片的直徑的最大值時(shí),上述和式極限存在,且此極限值與的分法及點(diǎn)在上的取法無(wú)關(guān),則稱此極限值為函數(shù)在曲面上的第一型曲面積分或稱為對(duì)面積的曲面積分,記作,即= (1)其中稱為被積函數(shù),稱為積分曲面.注1: 同以前一樣,今后總假定在

24、曲面上連續(xù). 2: 由定義知, 物體的質(zhì)量M=, 其中為面密度函數(shù). 3: 對(duì)面積的曲面積分,同樣具有被積函數(shù)的可加性與積分曲面的可加性,即=+=+二 第一型曲面積分的計(jì)算法設(shè)曲面的方程為,在平面上的投影區(qū)域?yàn)?在上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),在上連續(xù).下面來求.由定義, = ,將往平面上投影,其投影區(qū)域?yàn)?利用二重積分的中值定理:, 得 =又為上任一點(diǎn),故不妨令, , =事實(shí)上,由 也很快能得到上式.例1 設(shè)為圓錐面介于與之間得部分,求解: , , 又在平面上的投影區(qū)域?yàn)?例2 是與圍成的閉曲面.解: 在面的投影區(qū)域?yàn)?=+ =+ =+ =例3 是被 所截下的一塊曲面.解: 由于關(guān)于面對(duì)稱,而是的奇函

25、數(shù), 故.從而原式=在面的投影區(qū)域?yàn)?關(guān)于軸對(duì)稱. 原式= (被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù),且關(guān)于軸對(duì)稱)= (為對(duì)稱區(qū)域的一半)=.第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、內(nèi)容要點(diǎn)先介紹有向曲面引例：穩(wěn)定流體在單位時(shí)間流過曲面 的流量由例子引入對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義，給出性質(zhì)重點(diǎn)說清楚對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與曲面的側(cè)有關(guān)，同時(shí)提醒學(xué)生注意區(qū)別兩類曲面積分。再介紹對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化為二重積分的方法，舉2個(gè)例子說明該方法。最后給出兩類曲面積分之間的聯(lián)系。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1、二類曲面積分的定義及計(jì)算方法，并講清楚它們的聯(lián)系和區(qū)別。2、曲線積分與曲面積分計(jì)算空間立體的體積。3、求穩(wěn)定的流體在單位時(shí)間內(nèi)通過曲面的流量用對(duì)

26、坐標(biāo)的曲面積分。一 第二型曲面積分的概念和性質(zhì)首先介紹雙側(cè)曲面和有向曲面的概念.我們通常遇到的曲面都是雙側(cè)的,如果規(guī)定某側(cè)為正側(cè),則另一側(cè)為負(fù)側(cè).對(duì)簡(jiǎn)單閉曲面如球面有內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分;對(duì)曲面有上、下側(cè)之分;曲面有左、右之分；曲面有前、后側(cè)之分。在討論第二型曲面積分時(shí)，我們需要選定曲面的側(cè)。所謂側(cè)的選定，就是曲面上每點(diǎn)的法線方向的選定。具體的說，對(duì)于簡(jiǎn)單閉曲面，如果它的法向量指向朝外，我們認(rèn)定曲面為外側(cè)；對(duì)曲面，如果它的法向量指向朝上，我們就認(rèn)定曲面為上側(cè).因此我們稱規(guī)定了側(cè)的曲面為有向曲面.習(xí)慣上對(duì)簡(jiǎn)單閉曲面,規(guī)定外側(cè)為正側(cè),內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè),對(duì)規(guī)定上側(cè)為正側(cè),即法向量與軸正向夾角小于的一側(cè)為正側(cè).類

27、似地,對(duì)規(guī)定右側(cè)為正側(cè);對(duì)規(guī)定前側(cè)為正側(cè).設(shè)為一有向曲面,在上取一小塊曲面,將投影到平面上,得一投影區(qū)域.記投影區(qū)域得面積為.假設(shè)上各點(diǎn)得法向量與軸的夾角的余弦具有相同的符號(hào).規(guī)定在平面上的投影為: 可見,總為正,可正可負(fù).事實(shí)上,定義: 設(shè)為光滑的有向曲面,函數(shù)在上有界.將分成若干個(gè)小塊(也表示其面積),.在面的投影為,又在上任取一點(diǎn),如果當(dāng)小曲面的直徑的最大值時(shí),極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,記作 ,即=.其中稱為被積函數(shù),稱為積分曲面.類似地,我們可定義在有向曲面上對(duì)的曲面積分:;在有向曲面上對(duì)的曲面積分:.即=注1: 前面我們所規(guī)定的的正側(cè)時(shí)就而言的,對(duì)于,

28、中的正側(cè),我們分別規(guī)定:前正后負(fù),右正左負(fù).事實(shí)上,是分別用與軸正向,正向夾角為銳角的法向量的指向?yàn)檎齻?cè).2: 中的與中的不同.前者可正可負(fù),是的象征,后者恒正,是的象征.3: 一般地都假定,在上都連續(xù),使得積分存在.這時(shí)可定義:為一般的第二型曲面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分.其中左邊的為指定的一側(cè),而右邊的三個(gè)的正向視情況不同而依各自的規(guī)定設(shè)定,此條須特別注意.物理意義 某物體的速度從曲面的一側(cè);流向另一側(cè)時(shí)的總流量為:曲面積分的性質(zhì):性質(zhì)!:若曲面=+, 則 性質(zhì)2:若表示的負(fù)側(cè)曲面,則 .二、第二型曲線積分的計(jì)算法設(shè)積分曲面是由所決定的曲面的上側(cè),在平面上的投影區(qū)域?yàn)?在上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

29、,被積函數(shù)在上連續(xù).下面來求. 由定義知:=又此處取上側(cè),故= = 轉(zhuǎn)化為上面這個(gè)二重積分來計(jì)算. 若取下側(cè),則有 , 故有=.同理, 若的方程為,則有當(dāng)取前側(cè)時(shí),右邊取“+”,當(dāng)取后側(cè)時(shí),右邊取“”.其中為在平面上的投影區(qū)域. 若為,則有其中為在平面上的投影區(qū)域. 當(dāng)取右側(cè)時(shí),右邊取“+”,當(dāng)取左側(cè)時(shí),右邊取“”.例1 計(jì)算.其中由球面在部分的外側(cè).解: 在面的投影為 : 又曲面為由公式得, =例3 求,其中由平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成得四面體得表面.取其外側(cè).解: 由可分為,和四個(gè)小塊(如圖),它們的方程分別為:,:,:,:.當(dāng)取外側(cè)時(shí),取下側(cè),取后側(cè),取左側(cè),取正側(cè). 不難驗(yàn)證 ,同理 .下

30、求上的積分.此時(shí) =+ =+=.三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)為有向曲面,方程為.在平面上的投影區(qū)域?yàn)?在上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).在上連續(xù).若取上側(cè),則=.又當(dāng)取上側(cè)時(shí),上任一點(diǎn)處的法線向量的方向余弦為 , , 由公式,得 = =.即 =. 當(dāng)取上側(cè)時(shí)成立.又若取下側(cè),右端的也要改變符號(hào).故此時(shí),上式仍然成立.因此,不管取哪一側(cè),上式均成立.又由積分曲面的可加性,對(duì)任一有向曲面上式成立.同理,對(duì)于為任一有向曲面,下列等式也成立:=合起來,即得: .這就是兩類曲面積分的聯(lián)系.其中,為上任一點(diǎn)處的指向的側(cè)的法線向量的方向余弦.第六節(jié) 高斯公式 通量與散度一、內(nèi)容要點(diǎn)提出高斯公式，并證明指出高斯公式將

31、三重積分與曲面積分聯(lián)系起來了，再舉2個(gè)例子說明高斯公式。簡(jiǎn)單介紹通量與散度，講幾個(gè)習(xí)題二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)曲面積分與三重積分曲高斯公式聯(lián)系起來，并由此得出結(jié)果可用曲面積分計(jì)算空間立體的體積。三、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題i. 高斯公式高斯(Gauss)公式表達(dá)的是空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系,這是格林公式的推廣.高斯(Gauss)公式: 設(shè)空間有界閉曲面V是由分片光滑的閉曲面所圍成,函數(shù),在V上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有: =其中左端的曲面積分是沿邊界曲面的外側(cè).證 先假定穿過V內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖),設(shè)分成上、下兩塊和,和的方程分別為和,則由曲面積分的計(jì)算公式,有=+=又由三重積分法,有=從而得=類似可證=, =把以上三式相加,即得高斯公式:=.如果穿過V內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線于邊界曲面的交點(diǎn)為兩個(gè)這一條不滿足,那么我們可用添加輔助曲面的方法把V分成若干個(gè)滿足這樣條件的閉區(qū)域.由于沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個(gè)曲面積分絕對(duì)值相等而符號(hào)相反,相加時(shí)正好抵消,因此對(duì)一般閉曲面V高斯公式也成立.注1: 由上一節(jié)的內(nèi)容,高斯公式也可以表示成:= 注2: 利用三重積分計(jì)算曲面積分,利用二重積分計(jì)算曲線積分.例 1 計(jì)算如圖,取外側(cè). 解: ,由高斯公式,得 原式=例2 計(jì)算是介于與之間的曲面.取其外側(cè). 解: 由于不是封閉的曲面,故