電磁場與電磁波基礎(chǔ)劉嵐課后習(xí)題解答

1、l 習(xí)題及參考答案5.1 一個點電荷Q與無窮大導(dǎo)體平面相距為d，如果把它移動到無窮遠(yuǎn)處，需要作多少功？解：用鏡像法計算。導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷的影響用鏡像電荷來代替，鏡像電荷的大小為-Q，位于和原電荷對稱的位置。當(dāng)電荷Q離導(dǎo)體板的距離為x時，電荷Q受到的靜電力為 靜電力為引力，要將其移動到無窮遠(yuǎn)處，必須加一個和靜電力相反的外力在移動過程中，外力f所作的功為當(dāng)用外力將電荷Q移動到無窮遠(yuǎn)處時，同時也要將鏡像電荷移動到無窮遠(yuǎn)處，所以，在整個過程中，外力作的總功為。也可以用靜電能計算。在移動以前，系統(tǒng)的靜電能等于兩個點電荷之間的相互作用能：移動點電荷Q到無窮遠(yuǎn)處以后，系統(tǒng)的靜電能為零。因此，在這個過程中，

2、外力作功等于系統(tǒng)靜電能的增量，即外力作功為。y-qqd52 一個點電荷放在直角導(dǎo)體內(nèi)部（如圖5-1），求出所有鏡像電荷的位置和大小。a解：需要加三個鏡像電荷代替x導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷。在（-a，d）qq處，鏡像電荷為-q，在（錯誤！鏈接無效。）處，鏡像電荷為q，在（a，-d）處，鏡像電荷為-q。 圖5-153 證明：一個點電荷q和一個帶有電荷Q、半徑為R的導(dǎo)體球之間的作用力為 其中D是q到球心的距離（DR）。證明：使用鏡像法分析。由于導(dǎo)體球不接地，本身又帶電Q，必須在導(dǎo)體球內(nèi)加上兩個鏡像電荷來等效導(dǎo)體球?qū)η蛲獾挠绊?。在距離球心b=R2/D處，鏡像電荷為q= -Rq/D；在球心處，鏡像電荷為。點電

3、荷q受導(dǎo)體球的作用力就等于球內(nèi)兩個鏡像電荷對q的作用力，即 54 兩個點電荷+Q和-Q位于一個半徑為a的接地導(dǎo)體球的直徑的延長線上，分別距離球心D和-D。（1）證明：鏡像電荷構(gòu)成一電偶極子，位于球心，偶極矩為2a3Q/D2。（2）令Q和D分別趨于無窮，同時保持Q/D2不變，計算球外的電場。解：（1）使用導(dǎo)體球面的鏡像法疊加原理分析。在球內(nèi)應(yīng)該加上兩個鏡像電荷：一個是Q在球面上的鏡像電荷，q1 = -aQ/D，距離球心b=a2/D；第二個是-Q在球面上的鏡像電荷，q2 = aQ/D，距離球心b1=-a2/D。當(dāng)距離較大時，鏡像電荷間的距離很小，等效為一個電偶極子，電偶極矩為（2）球外任意點的電場

4、等于四個點電荷產(chǎn)生的電場的疊加。設(shè)+Q和-Q位于坐標(biāo)z軸上，當(dāng)Q和D分別趨于無窮，同時保持Q/D2不變時，由+Q和-Q在空間產(chǎn)生的電場相當(dāng)于均勻平板電容器的電場，是一個均勻場。均勻場的大小為，方向在-ez。由鏡像電荷產(chǎn)生的電場可以由電偶極子的公式計算： 55 接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上有一個半徑為a的半球形突起，在點（0，0，d）處有一個點電荷q（如圖5-5），求導(dǎo)體上方的電位。qz解：計算導(dǎo)體上方的電位時，要保持d導(dǎo)體平板部分和半球部分的電位都為aq2b零。先找平面導(dǎo)體的鏡像電荷q1 = -q，-bq3位于（0，0，-d）處。再找球面鏡像q1-d電荷q2 = -aq/d，位于（0，0，b）處，b=

5、 a2/d。當(dāng)疊加這兩個鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位時，在導(dǎo)體平面上和 圖5-5球面上都不為零，應(yīng)當(dāng)在球內(nèi)再加上一個鏡像電荷q 3 =aq/d，位于（0，0，-b）處。這時，三個鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位在導(dǎo)體平面和球面上都為零。而且三個鏡像電荷在要計算的區(qū)域以外。導(dǎo)體上方的電位為四個點電荷的疊加，即其中56 求截面為矩形的無限長區(qū)域（0xa，0yb）的電位，其四壁的電位為 解：由邊界條件知，方程的基本解在y方向應(yīng)該為周期函數(shù)，且僅僅取正弦函數(shù)，即 在x方向，考慮到是有限區(qū)域，選取雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)，使用邊界條件，得出僅僅選取雙曲正弦函數(shù)，即 將基本解進(jìn)行線性組合，得 待定常數(shù)由x=

6、a處的邊界條件確定，即使用正弦函數(shù)的正交歸一性質(zhì)，有 化簡以后得=求出系數(shù)，代入電位表達(dá)式，得57一個截面如圖5-7所示的長槽，向y方向無限延伸，兩則的電位是零，槽內(nèi)y，0，底部的電位為y=0=U0x求槽內(nèi)的電位。=0解：由于在x=0和x=a兩個邊界的電位為零，故在x方向選取周期解，a且僅僅取正弦函數(shù)，即 圖5-7在y方向，區(qū)域包含無窮遠(yuǎn)處，故選取指數(shù)函數(shù)，在y時，電位趨于零，所以選取由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為待定系數(shù)由y=0的邊界條件確定。在電位表示式中，令y=0，得當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，。最后，電位的解為57 若上題的底部的電位為重新求槽內(nèi)的電位

7、。解：同上題，在x方向選取正弦函數(shù)，即，在y方向選取。由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為將y=0的電位代入，得應(yīng)用正弦級數(shù)展開的唯一性，可以得到n=3時，其余系數(shù)，所以y59 一個矩形導(dǎo)體槽由兩部分構(gòu)成，如圖5-9所示，兩個導(dǎo)體板的電位分別是U0和零，求槽內(nèi)的電位。=U0a解：將原問題的電位看成是兩個電位的疊加。一個電位與平行板電容器的電位相同（上板電位為U0，下=U0板電位為零），另一個電位為U，即x 圖5-9其中，U滿足拉普拉斯方程，其邊界條件為y=0 , U=0 y=a , U=0x=0時,x時，電位U應(yīng)該趨于零。U的形式解為 待定系數(shù)用x=0的條件確定。 化簡以后，得到 =只有偶數(shù)項的系數(shù)不為零。將系數(shù)求出，代入電位的表達(dá)式，得510 將一個半徑為a的無限長導(dǎo)體管平分成兩半，兩部分之間互相絕緣，上半(0）接電壓U0，下半（1的各項，得由此解出。最終得到圓柱內(nèi)、外的電位分別是電場強度分別為514 在均勻電場中，設(shè)置一個半徑為a的介質(zhì)球，若電場的方向沿z軸，求介質(zhì)球內(nèi)、外的電位、電場（介質(zhì)球的介電常數(shù)為，球外為空氣）。解：設(shè)球內(nèi)、外電位解的形式分別為 選取球心處為電位的參考點，則球