直線與平面平面與平面垂直的性質(zhì)_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

1、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理,并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理.2.會(huì)用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言ab圖形語言作用線面垂直線線平行作平行線思考(1)垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎?(2)過一點(diǎn)有幾條直線與已知平面垂直?答(1)共面.由線面垂直的性質(zhì)定理可知這兩條直線是平行的,故能確定一個(gè)平面.(2)有且僅有一條.假設(shè)過一點(diǎn)有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行,即

2、無公共點(diǎn),這與過同一點(diǎn)相矛盾,故只有一條直線.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言a圖形語言作用面面垂直線面垂直作面的垂線思考(1)如果,則內(nèi)的直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線嗎?(2)如果,過內(nèi)的任意一點(diǎn)作與交線的垂線,則這條直線必垂直于嗎?答(1)正確.若設(shè)l,a,b,bl,則ab,故內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于內(nèi)的任意直線.(2)錯(cuò)誤.垂直于交線的直線必須在平面內(nèi)才與平面垂直,否則不垂直.題型一直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例1如圖,正方體A1B1C1D1-ABCD中,EF與異面直線AC、A1D都垂直相交.求證:EFBD1.證

3、明如圖所示,連接AB1、B1D1、B1C、BD,DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,DD1BDD,AC平面BDD1B1,又BD1平面BDD1B1,ACBD1.同理可證BD1B1C,又ACB1CC,BD1平面AB1C.EFA1D,A1DB1C,EFB1C.又EFAC,ACB1CC,EF平面AB1C,EFBD1.跟蹤訓(xùn)練1已知AB,PQ于點(diǎn)Q,PO于點(diǎn)O,OR于點(diǎn)R.求證:QRAB.證明如圖,因?yàn)锳B,PO于點(diǎn)O,所以POAB.因?yàn)镻Q于點(diǎn)Q,所以PQAB.因?yàn)镻OPQP,所以AB平面PQO.因?yàn)镺R于點(diǎn)R,所以PQOR.因?yàn)镻Q與OR確定平面PQRO,QR平面PQRO,

4、AB平面PQRO,所以ABQR.題型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例2如圖,在三棱錐VABC中,平面VAB平面ABC,VAB為等邊三角形,ACBC且ACBC,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).(1)求證:VB平面MOC;(2)求證:平面MOC平面VAB;(3)求三棱錐VABC的體積.(1)證明O,M分別為AB,VA的中點(diǎn),OMVB.VB平面MOC,OM平面MOC,VB平面MOC.(2)證明ACBC,O為AB的中點(diǎn),OCAB.又平面VAB平面ABC,且平面VAB平面ABCAB,OC平面ABC,OC平面VAB.OC平面MOC,平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角ACB中,ACBC,AB2,OC1,S

5、VABAB2.OC平面VAB,VCVABOCSVAB1,VVABCVCVAB.跟蹤訓(xùn)練2如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,過點(diǎn)A作AFSB,垂足為F.求證:BCSA.證明因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC,平面SAB平面SBCSB,AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.又因?yàn)锽C平面SBC,所以AFBC.因?yàn)锳BBC,AFABA,所以BC平面SAB.又因?yàn)镾A平面SAB,所以BCSA.題型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用例3如圖,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD,AA13,E為CD上一點(diǎn),DE1,EC3.(1)證明:BE平面BB1C1C

6、;(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離.(1)證明過B作CD的垂線交CD于F,則BFAD,EFABDE1,F(xiàn)C2.在RtBFE中,BE.在RtCFB中,BC.在BEC中,因?yàn)锽E2BC29EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1,又BB1BCB,所以BE平面BB1C1C.(2)解三棱錐EA1B1C1的體積VAA1.在RtA1D1C1中,A1C13.同理,EC13,A1E2.故3.設(shè)點(diǎn)B1到平面A1C1E的距離為d,則三棱錐B1A1C1E的體積Vdd,從而d,d.即點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為.跟蹤訓(xùn)練3如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形,DAB60,側(cè)面PA

7、D為等邊三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證:ADPB;(2)若E為BC邊上的中點(diǎn),能否在PC棱上找到一點(diǎn)F,使平面DEF平面ABCD?并證明你的結(jié)論.(1)證明設(shè)G為AD的中點(diǎn),連接PG,BG,如圖.因?yàn)镻AD為等邊三角形,所以PGAD.在菱形ABCD中,DAB60,G為AD的中點(diǎn),所以BGAD.又因?yàn)锽GPGG,所以AD平面PGB.因?yàn)镻B平面PGB,所以ADPB.(2)解當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí),滿足平面DEF平面ABCD.如圖,設(shè)F為PC的中點(diǎn),則在PBC中,EFPB.在菱形ABCD中,GBDE,而EF平面DEF,DE平面DEF,EFDEE,所以平面DEF平面PGB.由(1),得

8、PG平面ABCD,而PG平面PGB,所以平面PGB平面ABCD.所以平面DEF平面ABCD.條件開放型例4如圖,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時(shí),有A1CB1D1?(注:寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可,不必考慮所有可能的情形)分析解因?yàn)锽DB1D1,所以要使A1CB1D1,需A1CBD.又因?yàn)锳1A平面ABCD,A1ABD,A1AA1CA1,所以BD平面A1AC.因?yàn)锳C平面A1AC,所以ACBD.由以上分析,知要使A1CB1D1,需使ACBD或任何能推導(dǎo)出ACBD的條件,如四邊形ABCD是正方形、菱形等.1.在空間中,下列命題正確的是()A.垂直于同一條

9、直線的兩直線平行 B.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 D.垂直于同一平面的兩條直線平行2.關(guān)于直線m,n與平面,有下列四個(gè)命題:若m,n,且,則mn;若m,n,且,則mn;若m,n,且,則mn;若m,n,且,則mn.其中真命題的序號(hào)是()A. B. C. D.3.若平面平面,平面平面,則()A.B.C.與相交但不垂直D.以上都有可能4.已知a、b為直線,、為平面.在下列四個(gè)命題中,正確的命題是_.若a,b,則ab;若a,b,則ab;若a,a,則;若b,b,則.5.如圖,在三棱錐PABC內(nèi),側(cè)面PAC底面ABC,且PAC90,PA1,AB2,則PB_.一、選擇題1

10、.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E,作EFA1B1于F,則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直2.如圖所示,三棱錐PABC中,平面ABC平面PAB,PAPB,ADDB,則()A.PD平面ABC B.PD平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直 D.PD平面ABC3.如圖所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,則點(diǎn)C1在底面ABC上的投影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.ABC內(nèi)部4.如圖,正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn),現(xiàn)在

11、沿SE、SF、EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1、G2、G3重合,重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系:SG平面EFG;SE平面EFG;GFSE;EF平面SEG.其中成立的有()A.與 B.與 C.與 D.與5.PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面,C為圓上異于A,B的任意一點(diǎn),則下列關(guān)系不正確的是()A.PABC B.BC平面PACC.ACPB D.PCBC6.三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,O是頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影,則()A.SABCSPBCSOBC B.SSOBCSABCC.2SPBCSOBCSABC D.2SOBCSPBCSABC7.如圖,四邊形ABCD中,ABAD

12、CD1,BD,BDCD,將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD,使平面ABD平面BCD,則下列結(jié)論正確的是()A.ACBD B.BAC90C.CA與平面ABD所成的角為30 D.四面體ABCD的體積為二、填空題8.設(shè)兩個(gè)平面,直線l,下列三個(gè)條件:l;l;.若以其中兩個(gè)作為前提條件,另一個(gè)作為結(jié)論,則可構(gòu)成三個(gè)命題,這三個(gè)命題中,正確命題的個(gè)數(shù)為_.9.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E是BC1的中點(diǎn),則直線DE與平面ABCD所成角的正切值為_.10.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上,且AB6,BC2,則棱錐OABCD的體積為_.11.如圖所示,已知

13、兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點(diǎn).若CD2,平面ABCD平面DCEF,則線段MN的長(zhǎng)等于_.三、解答題12.如圖所示,四棱錐PABCD中,AP平面PCD,ADBC,ABBCAD,E,F(xiàn)分別為線段AD,PC的中點(diǎn).(1)求證:AP平面BEF;(2)求證:BE平面PAC.13.在如圖所示的多面體中,四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.(1)若ACBC,證明:直線BC平面ACC1A1;(2)設(shè)D,E分別是線段BC,CC1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使直線DE平面A1MC?請(qǐng)證明你的結(jié)論.當(dāng)堂檢測(cè)答案1.答案D解析A項(xiàng)中垂直于同一條直線的兩直線可能

14、平行、異面或相交;B項(xiàng)中平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能平行或相交;C項(xiàng)中垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能平行或相交;D項(xiàng)正確.2.答案D解析m,n可能異面、相交或平行,m,n可能平行、異面或相交,所以錯(cuò)誤.3.答案D解析兩個(gè)平面都垂直于同一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面可能平行,也可能相交,故A,B,C都有可能,故選D.4.答案解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真;由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假;由“垂直于同一直線的兩平面平行”知真;易知假.5.答案解析側(cè)面PAC底面ABC,交線為AC,PAC90(即PAAC),PA平面ABC,PAAB,PB.課時(shí)精練答案一、選擇題1.答案D解析在長(zhǎng)方

15、體ABCDA1B1C1D1中,平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1,又EF面A1ABB1,EFA1B1,EF平面A1B1C1D1,答案D正確.2.答案B解析PAPB,ADDB,PDAB.又平面ABC平面PAB,平面ABC平面PABAB,PD平面ABC.3.答案A解析連接AC1,BAC90,即ACAB,又ACBC1,ABBC1B,所以AC平面ABC1.又AC平面ABC,于是平面ABC1平面ABC,且AB為交線,因此,點(diǎn)C1在平面ABC上的投影必在直線AB上,故選A.4.答案B解析由SGGE,SGGF,得SG平面EFG,排除C、D;若SE平面EFG,則

16、SGSE,這與SGSES矛盾,排除A,故選B.5.答案C解析PA平面ABC,PABC,A選項(xiàng)正確;BCAC,BC面PAC,BCPC,B,D選項(xiàng)均正確.故選C.6.答案B解析如圖,由題設(shè),知O是垂心,且有APPD,所以PD2ODAD,即SSOBCSABC.7.答案B解析取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO.ABAD,AOBD.CDBD,OC不垂直于BD.假設(shè)ACBD,AOACA,BD平面AOC,OCBD,出現(xiàn)矛盾,即AC不垂直于BD,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;CDBD,平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCDBD,CD平面ABD,CDAB.ABAD1,BD,ABAD,AB平面ACD,ABAC,B選項(xiàng)正確;CAD

17、為直線CA與平面ABD所成的角,CAD45,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;VABCDSABDCD,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.二、填空題8.答案1解析作為前提條件,作為結(jié)論構(gòu)成的命題正確,過l作一平面與交于l,則ll,所以l,故;作為前提條件,作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯(cuò),這時(shí)可能有l(wèi);作為前提條件,作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯(cuò),這時(shí)l與的各種位置關(guān)系都可能存在.9.答案解析取BC的中點(diǎn)F,連接EF,DF,易知EDF為直線DE與平面ABCD所成的角,tanEDF.10.答案8解析如圖.因?yàn)榫匦蜛BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上,所以過A,B,C,D四點(diǎn)的截面圓的圓心為矩形ABCD的中心O.連接OO,在AOC中,因?yàn)镺AOC,且O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)

18、OAC.同理,OOBD.又因?yàn)锳CBDO,所以O(shè)O平面ABCD,即OO為棱錐OABCD的高.AO2,OO2,所以VOABCD6228.11.答案解析取CD的中點(diǎn)G,連接MG,NG.因?yàn)锳BCD,DCEF為正方形,且邊長(zhǎng)為2,所以MGCD,MG2,NG.因?yàn)槠矫鍭BCD平面DCEF,所以MG平面DCEF,可得MGNG,所以MN.三、解答題12.證明(1)如圖所示,設(shè)ACBEO,連接OF,EC.由于E為AD的中點(diǎn),ABBCAD,ADBC,所以AEBC,AEABBC,因此,四邊形ABCE為菱形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又F為PC的中點(diǎn),因此,在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由題意,知EDBC,EDBC,所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以BECD.又AP平面PCD,所以APCD,所以APBE.因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形,所以BEAC.又APACA,AP、AC平面PAC,所以BE平面PAC.13.(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因?yàn)锳B,AC為平面AB

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