直線與平面平面與平面垂直的性質(zhì)

1、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理.2.會(huì)用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言ab圖形語言作用線面垂直線線平行作平行線思考(1)垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎？(2)過一點(diǎn)有幾條直線與已知平面垂直？答(1)共面.由線面垂直的性質(zhì)定理可知這兩條直線是平行的，故能確定一個(gè)平面.(2)有且僅有一條.假設(shè)過一點(diǎn)有兩條直線與已知平面垂直，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行，即

2、無公共點(diǎn)，這與過同一點(diǎn)相矛盾，故只有一條直線.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言a圖形語言作用面面垂直線面垂直作面的垂線思考(1)如果，則內(nèi)的直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線嗎？(2)如果，過內(nèi)的任意一點(diǎn)作與交線的垂線，則這條直線必垂直于嗎？答(1)正確.若設(shè)l，a，b，bl，則ab，故內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于內(nèi)的任意直線.(2)錯(cuò)誤.垂直于交線的直線必須在平面內(nèi)才與平面垂直，否則不垂直.題型一直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例1如圖，正方體A1B1C1D1-ABCD中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交.求證：EFBD1.證

3、明如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可證BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.跟蹤訓(xùn)練1已知AB，PQ于點(diǎn)Q，PO于點(diǎn)O，OR于點(diǎn)R.求證：QRAB.證明如圖，因?yàn)锳B，PO于點(diǎn)O，所以POAB.因?yàn)镻Q于點(diǎn)Q，所以PQAB.因?yàn)镻OPQP，所以AB平面PQO.因?yàn)镺R于點(diǎn)R，所以PQOR.因?yàn)镻Q與OR確定平面PQRO，QR平面PQRO，

4、AB平面PQRO，所以ABQR.題型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例2如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn).(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積.(1)證明O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，OMVB.VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC.(2)證明ACBC，O為AB的中點(diǎn)，OCAB.又平面VAB平面ABC，且平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，OC平面VAB.OC平面MOC，平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角ACB中，ACBC，AB2，OC1，S

5、VABAB2.OC平面VAB，VCVABOCSVAB1，VVABCVCVAB.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，過點(diǎn)A作AFSB，垂足為F.求證：BCSA.證明因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.又因?yàn)锽C平面SBC，所以AFBC.因?yàn)锳BBC，AFABA，所以BC平面SAB.又因?yàn)镾A平面SAB，所以BCSA.題型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用例3如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E為CD上一點(diǎn)，DE1，EC3.(1)證明：BE平面BB1C1C

6、；(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離.(1)證明過B作CD的垂線交CD于F，則BFAD，EFABDE1，F(xiàn)C2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因?yàn)锽E2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，又BB1BCB，所以BE平面BB1C1C.(2)解三棱錐EA1B1C1的體積VAA1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故3.設(shè)點(diǎn)B1到平面A1C1E的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積Vdd，從而d，d.即點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，DAB60，側(cè)面PA

7、D為等邊三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：ADPB；(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在PC棱上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD？并證明你的結(jié)論.(1)證明設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖.因?yàn)镻AD為等邊三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G為AD的中點(diǎn)，所以BGAD.又因?yàn)锽GPGG，所以AD平面PGB.因?yàn)镻B平面PGB，所以ADPB.(2)解當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF平面ABCD.如圖，設(shè)F為PC的中點(diǎn)，則在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB.由(1)，得

8、PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD.所以平面DEF平面ABCD.條件開放型例4如圖，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時(shí)，有A1CB1D1？(注：寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情形)分析解因?yàn)锽DB1D1，所以要使A1CB1D1，需A1CBD.又因?yàn)锳1A平面ABCD，A1ABD，A1AA1CA1，所以BD平面A1AC.因?yàn)锳C平面A1AC，所以ACBD.由以上分析，知要使A1CB1D1，需使ACBD或任何能推導(dǎo)出ACBD的條件，如四邊形ABCD是正方形、菱形等.1.在空間中，下列命題正確的是()A.垂直于同一條

9、直線的兩直線平行 B.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 D.垂直于同一平面的兩條直線平行2.關(guān)于直線m，n與平面，有下列四個(gè)命題：若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn.其中真命題的序號(hào)是()A. B. C. D.3.若平面平面，平面平面，則()A.B.C.與相交但不垂直D.以上都有可能4.已知a、b為直線，、為平面.在下列四個(gè)命題中，正確的命題是_.若a，b，則ab；若a，b，則ab；若a，a，則；若b，b，則.5.如圖，在三棱錐PABC內(nèi)，側(cè)面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，則PB_.一、選擇題1

10、.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E，作EFA1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直2.如圖所示，三棱錐PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，則()A.PD平面ABC B.PD平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直 D.PD平面ABC3.如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則點(diǎn)C1在底面ABC上的投影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.ABC內(nèi)部4.如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在

11、沿SE、SF、EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A.與 B.與 C.與 D.與5.PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()A.PABC B.BC平面PACC.ACPB D.PCBC6.三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，O是頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影，則()A.SABCSPBCSOBC B.SSOBCSABCC.2SPBCSOBCSABC D.2SOBCSPBCSABC7.如圖，四邊形ABCD中，ABAD

12、CD1，BD，BDCD，將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A.ACBD B.BAC90C.CA與平面ABD所成的角為30 D.四面體ABCD的體積為二、填空題8.設(shè)兩個(gè)平面，直線l，下列三個(gè)條件：l；l；.若以其中兩個(gè)作為前提條件，另一個(gè)作為結(jié)論，則可構(gòu)成三個(gè)命題，這三個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為_.9.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中點(diǎn)，則直線DE與平面ABCD所成角的正切值為_.10.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB6，BC2，則棱錐OABCD的體積為_.11.如圖所示，已知

13、兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn).若CD2，平面ABCD平面DCEF，則線段MN的長(zhǎng)等于_.三、解答題12.如圖所示，四棱錐PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn).(1)求證：AP平面BEF；(2)求證：BE平面PAC.13.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.(1)若ACBC，證明：直線BC平面ACC1A1；(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論.當(dāng)堂檢測(cè)答案1.答案D解析A項(xiàng)中垂直于同一條直線的兩直線可能

14、平行、異面或相交；B項(xiàng)中平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能平行或相交；C項(xiàng)中垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能平行或相交；D項(xiàng)正確.2.答案D解析m，n可能異面、相交或平行，m，n可能平行、異面或相交，所以錯(cuò)誤.3.答案D解析兩個(gè)平面都垂直于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故選D.4.答案解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知真；易知假.5.答案解析側(cè)面PAC底面ABC，交線為AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.課時(shí)精練答案一、選擇題1.答案D解析在長(zhǎng)方

15、體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正確.2.答案B解析PAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC.3.答案A解析連接AC1，BAC90，即ACAB，又ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1.又AC平面ABC，于是平面ABC1平面ABC，且AB為交線，因此，點(diǎn)C1在平面ABC上的投影必在直線AB上，故選A.4.答案B解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，則

16、SGSE，這與SGSES矛盾，排除A，故選B.5.答案C解析PA平面ABC，PABC，A選項(xiàng)正確；BCAC，BC面PAC，BCPC，B，D選項(xiàng)均正確.故選C.6.答案B解析如圖，由題設(shè)，知O是垂心，且有APPD，所以PD2ODAD，即SSOBCSABC.7.答案B解析取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO.ABAD，AOBD.CDBD，OC不垂直于BD.假設(shè)ACBD，AOACA，BD平面AOC，OCBD，出現(xiàn)矛盾，即AC不垂直于BD，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；CDBD，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，CDAB.ABAD1，BD，ABAD，AB平面ACD，ABAC，B選項(xiàng)正確；CAD

17、為直線CA與平面ABD所成的角，CAD45，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；VABCDSABDCD，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.二、填空題8.答案1解析作為前提條件，作為結(jié)論構(gòu)成的命題正確，過l作一平面與交于l，則ll，所以l，故；作為前提條件，作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯(cuò)，這時(shí)可能有l(wèi)；作為前提條件，作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯(cuò)，這時(shí)l與的各種位置關(guān)系都可能存在.9.答案解析取BC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，易知EDF為直線DE與平面ABCD所成的角，tanEDF.10.答案8解析如圖.因?yàn)榫匦蜛BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，所以過A，B，C，D四點(diǎn)的截面圓的圓心為矩形ABCD的中心O.連接OO，在AOC中，因?yàn)镺AOC，且O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)

18、OAC.同理，OOBD.又因?yàn)锳CBDO，所以O(shè)O平面ABCD，即OO為棱錐OABCD的高.AO2，OO2，所以VOABCD6228.11.答案解析取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG.因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，所以MGCD，MG2，NG.因?yàn)槠矫鍭BCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.三、解答題12.證明(1)如圖所示，設(shè)ACBEO，連接OF，EC.由于E為AD的中點(diǎn)，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此，四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又F為PC的中點(diǎn)，因此，在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由題意，知EDBC，EDBC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，所以BEAC.又APACA，AP、AC平面PAC，所以BE平面PAC.13.(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因?yàn)锳B，AC為平面AB