第1章應(yīng)用時(shí)間序列分析

1、Applied Econometric Time Series應(yīng)用時(shí)間序列分析 王雪標(biāo)東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院第一章 引 言對某些隨機(jī)變量來說，在任一時(shí)刻都可以對其進(jìn)行觀測，并得到一系列數(shù)據(jù)。這時(shí)稱為連續(xù)隨機(jī)過程，記。然而，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，大多數(shù)數(shù)據(jù)都是經(jīng)過等時(shí)間長度做觀測而得到的。如，每小時(shí)，每天，每周，每月，每季度，每年。這時(shí)稱為離散時(shí)間序列，記。一個(gè)時(shí)間序列是按照時(shí)間參數(shù)而排列的數(shù)值序列。如，每日某種股票的收盤價(jià)、每月失業(yè)人數(shù)，每年GDP，等等。對一個(gè)隨機(jī)過程進(jìn)行觀測而得到的時(shí)間序列可稱做為這個(gè)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。時(shí)間序列分析的基本目的是利用隨機(jī)過程的觀測序列（實(shí)現(xiàn)），對這個(gè)隨機(jī)過程

2、的基本特征、性質(zhì)做推斷。在分析中的第一步通常是形成一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，根據(jù)統(tǒng)計(jì)特征，利用數(shù)據(jù)構(gòu)造模型，這個(gè)模型與隨機(jī)過程的生成機(jī)制有類似的性質(zhì)。因而，時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)學(xué)家的主要任務(wù)是利用經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，建立相對簡單的模型，也可以建立一系列分析方法，將序列分解為趨勢性部分、周期性部分和不規(guī)則性部分，對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行解釋、假設(shè)檢驗(yàn)和預(yù)測。 趨勢性方程： 季節(jié)性方程： 無規(guī)則性方程：，為期隨機(jī)擾動項(xiàng)。這三個(gè)方程是典型的差分方程。一般來說，差分方程是指一個(gè)變量的值表示成這個(gè)變量滯后值、時(shí)間和其它變量的函數(shù)。趨勢和季節(jié)項(xiàng)是時(shí)間的函數(shù)，不規(guī)則項(xiàng)是它本身滯后項(xiàng)和隨機(jī)擾動的函數(shù)。時(shí)間序列分析主要處理、估計(jì)含有

3、隨機(jī)元素的差分方程，估計(jì)單個(gè)序列或向量（包含許多相關(guān)的序列）的一些性質(zhì)。最簡單的時(shí)間序列是白噪聲（white noise）白噪聲是最基本的時(shí)間序列，滿足下面條件：1）處所有信息2）3）處所有信息前兩個(gè)條件說明，不存在序列相關(guān)(serial correlation)，第三個(gè)條件說明是條件同方差（conditional homoskedasticity）。階自回歸過程在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中通常有大量的時(shí)間序列有下面形式：處值=處值的期望+誤差項(xiàng)如果將處值的期望取為期值的固定比例，誤差項(xiàng)取為白噪聲序列。這時(shí)就是1階自回歸。如果將處值的期望取為過去值的加權(quán)平均，這時(shí)就是高階自回歸。 階自回歸過程（也叫線性差分方

4、程） 或 定義滯后算子B 如下：, , 上述階自回歸過程可寫成 , 其中這個(gè)自回歸過程的一般解是 這里是齊次方程的解，是特解。這里的滯后算子表示為：，方程 稱為的特征方程。對于一階齊次方程解為， 是依賴于初值的常量。 對于二階齊次方程則，可能的解的形式為 代回方程得 ，如果是方程的根，則確實(shí)是方程的解?？衫贸踔档臈l件，確定。 對于一般的p階方程有解 這里是方程的根（假設(shè)沒有重根）。如果是復(fù)根，則有共軛對應(yīng)，形為，對于充分大的，解的形式將由所控制，。 如果，解是平穩(wěn)的。如果，解是（發(fā)散的）爆炸性的。 解是平穩(wěn)的充分必要條件是：的根在單位園之外，把它稱為平穩(wěn)性條件。本課程將介紹一維和多維時(shí)間序列

5、的建模方法，包括預(yù)測方法；介紹如何估計(jì)時(shí)間序列的不規(guī)則部分；當(dāng)數(shù)據(jù)顯示波動和相對平滑時(shí)，方差如何估計(jì)；趨勢的估計(jì)（趨勢是確定性的還是隨機(jī)性的）；多維向量差分方程的特征性質(zhì)；多維模型中趨勢的估計(jì)。雖然時(shí)間序列分析的主要內(nèi)容是預(yù)測，由于大量經(jīng)濟(jì)變量的動態(tài)變化特征，使我們可以利用時(shí)間序列（隨機(jī)差分方程）來分析驗(yàn)證有關(guān)經(jīng)濟(jì)理論。 看下面三個(gè)例子：1 隨機(jī)游動假說：隨機(jī)游動模型解釋了股票每天價(jià)格的變化應(yīng)該是不相關(guān)的、有零均值。如果已知在t天買一份股票，在下一天賣掉可以得到預(yù)期的利潤的話，那么大量投機(jī)就會驅(qū)使現(xiàn)價(jià)上漲。同樣，如果一份股票預(yù)期要貶值，沒人會想持有這個(gè)股票。這個(gè)模型認(rèn)為：股票價(jià)格應(yīng)當(dāng)滿足隨機(jī)差

6、分方程 或 這里 在t天一份股票的價(jià)格，有零均值、不相關(guān)的隨機(jī)擾動項(xiàng)。 現(xiàn)在考慮更一般的隨機(jī)差分方程 檢驗(yàn)隨機(jī)游動假設(shè)就是檢驗(yàn)限制條件，拒絕這個(gè)限制等價(jià)于拒絕隨機(jī)游動假說。2導(dǎo)出（reduced）型方程和結(jié)構(gòu)方程：將一個(gè)差分方程組分解成幾個(gè)單方程模型是有用的。為了說明這個(gè)重要問題，考慮Samuelson (1939)的經(jīng)典模型： （1.1） (1.2) (1.3)這里和表示在t期實(shí)際GDP、消費(fèi)和投資。在這個(gè)Keynesian模型中，和是內(nèi)生變量。前一期GDP 和前一期消費(fèi)被稱為前定的或滯后的內(nèi)生變量。稱為消費(fèi)和投資的零均值擾動項(xiàng)，是要估計(jì)的參數(shù)。第一個(gè)方程說明：總產(chǎn)出（GDP）等于消費(fèi)與投資

7、之和。第二個(gè)方程說明：消費(fèi)等于前一期的GDP的比例加上隨機(jī)擾動項(xiàng)。第三個(gè)方程是加速原理：投資和消費(fèi)變化成比例，消費(fèi)的增長促使了新的投資。誤差項(xiàng)代表了這個(gè)方程不能解釋的消費(fèi)和投資部分。方程（1.1）是結(jié)構(gòu)方程（內(nèi)生變量與其它內(nèi)生變量當(dāng)期之間的關(guān)系），內(nèi)生變量依賴于其它內(nèi)生變量、的現(xiàn)期值。導(dǎo)出型方程是將一個(gè)內(nèi)生變量表示成它的滯后值、其它內(nèi)生變量的滯后值、外生變量的現(xiàn)值和滯后值及擾動項(xiàng)的方程。按此說法，消費(fèi)函數(shù)（1.2）是導(dǎo)出型：現(xiàn)期消費(fèi)只依賴于滯后收入和隨機(jī)擾動項(xiàng)的現(xiàn)期值。投資方程（1.3）不是導(dǎo)出型，因?yàn)樗蕾囉诂F(xiàn)期消費(fèi)。 為了得到投資的導(dǎo)出型方程，將（1.2）代人投資方程中，得 注意，這是投資

8、的導(dǎo)出型方程，但不是唯一的?？梢詫ⅲ?.2）滯后一期獲得，利用這個(gè)表達(dá)式，導(dǎo)出型投資方程可寫成 （1.4）同樣，對于GDP的導(dǎo)出型方程可通過將（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得 （1.5）方程（1.5）是導(dǎo)出型方程（一維情況）；可表示成本身的滯后項(xiàng)和擾動項(xiàng)的函數(shù)。一維模型對于預(yù)測是非常有用的，因?yàn)椋憧梢杂矛F(xiàn)值和過去值進(jìn)行預(yù)測。利用一維時(shí)間序列的技術(shù)可以估計(jì)（1.5）。一旦你獲得了和的估計(jì)，利用到的觀測值，可以預(yù)測序列的所有將來值（本課程也考慮多維模型（所有變量被認(rèn)為是聯(lián)合內(nèi)生的），也討論由導(dǎo)出模型推出結(jié)構(gòu)型模型的限制條件（可識別條件）。3、誤差修正：遠(yuǎn)期和現(xiàn)期交易價(jià)格某種商品或金融產(chǎn)

9、品在現(xiàn)期市場中或?qū)淼哪骋粫r(shí)刻能被買和賣，例如，假設(shè)在現(xiàn)期（t期）市場某種外匯的價(jià)格是美元，遠(yuǎn)期價(jià)格是美元。到t+1期，投機(jī)者付美元。因?yàn)楝F(xiàn)期匯率可以的價(jià)格賣，投機(jī)者能掙的利潤是 無偏的遠(yuǎn)期利率(UFR)假說認(rèn)為：投機(jī)行為的預(yù)期利潤為零。遠(yuǎn)期、現(xiàn)期匯率有下面關(guān)系： (1.6)這里有零均值。在（1.6）中，t期的遠(yuǎn)期匯率是t+1期現(xiàn)期匯率的無偏估計(jì)。因此，假如你收集到了這兩種數(shù)據(jù)，并估計(jì)了回歸方程 如果能斷定，且()=0，則UFR假設(shè)成立。 當(dāng)=0時(shí)，遠(yuǎn)期和現(xiàn)期市場被說成是長期均衡。只要偏離時(shí)，在下一期將會有一些必要的調(diào)整，以恢復(fù)均衡?？紤]調(diào)整過程： （1.7） （1.8）這里，均值都為零。 這

10、兩個(gè)方程說明了聯(lián)立調(diào)整機(jī)制，這個(gè)動態(tài)模型被稱為誤差修正模型。因?yàn)?，變量與前一期偏離長期均衡的偏差有關(guān)。如果現(xiàn)期匯率等于遠(yuǎn)期匯率，現(xiàn)期匯率與遠(yuǎn)期匯率預(yù)期不變。如果現(xiàn)期匯率與遠(yuǎn)期匯率之間有正偏差，則現(xiàn)期匯率將下降，遠(yuǎn)期匯率將上升。4 蛛網(wǎng)模型1確定性蛛網(wǎng)模型：這里t期小麥的需求，t期小麥的供給，t期小麥的市場價(jià)格，農(nóng)民對t期小麥的預(yù)期價(jià)格。參數(shù)保證均衡價(jià)格為正），蛛網(wǎng)模型的關(guān)鍵是農(nóng)民使用上期價(jià)格作為市場價(jià)格的預(yù)期可得一階常系數(shù)差分方程 初始條件條件收斂性類型收斂不收斂發(fā)散阻尼振蕩交錯(cuò)振蕩發(fā)散振蕩這個(gè)穩(wěn)定條件的經(jīng)濟(jì)解釋是：供給曲線的斜率（，需求曲線斜率的絕對值。如果供給曲線比需求曲線更陡峭，即時(shí)，

11、系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2帶有隨機(jī)供給沖擊的蛛網(wǎng)模型 下面用具有隨機(jī)供給沖擊的蛛網(wǎng)模型來說明農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格的波動性。如小麥價(jià)格由下面供需決定：這里 t期小麥的需求t期小麥的供給t期小麥的市場價(jià)格農(nóng)民對t期小麥的預(yù)期價(jià)格零均值的供給沖擊。參數(shù)保證均衡價(jià)格為正）假設(shè)消費(fèi)者可按市場價(jià)任意購買小麥。在種植期，農(nóng)民不知道小麥在收割時(shí)的價(jià)格，他們的供給依賴于預(yù)期價(jià)格，與實(shí)際小麥?zhǔn)袌霾煌?，這里不允許有囤積。蛛網(wǎng)模型的關(guān)鍵是農(nóng)民使用上期價(jià)格作為市場價(jià)格的預(yù)期 點(diǎn)E代表價(jià)格和小麥數(shù)量達(dá)到長期均衡。在這個(gè)隨機(jī)模型中的均衡概念不同于傳統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型。如果這個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，價(jià)格會趨于E點(diǎn)。隨機(jī)均衡是指供給沖擊會使系統(tǒng)經(jīng)常偏離E點(diǎn)。長

12、期均衡價(jià)格是容易解出的。如果令都為0，且令供給=需求，則可得長期均衡價(jià)格為 均衡供給量、需求量為 為了分析這個(gè)系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì)，我們假設(shè)農(nóng)民在t期生產(chǎn)小麥數(shù)量s。但是，有一個(gè)負(fù)的供給沖擊，使實(shí)際生產(chǎn)量為，點(diǎn)1，為了簡單，假設(shè)這供給沖擊的后續(xù)值都為零。（。在t+1期時(shí)，。他們生產(chǎn)，點(diǎn)2。但，當(dāng)價(jià)格降到時(shí)，消費(fèi)者愿意買，點(diǎn)3。重復(fù)這個(gè)過程，一直到達(dá)點(diǎn)E。數(shù)量 價(jià)格sd 但這個(gè)均衡不一定對所有供給、需求曲線都能達(dá)到。為了求出穩(wěn)定條件， 或 這是一階線性差分方程。為了得到一般解： 如果我們知道在某個(gè)初始期的價(jià)格，則我們可確定A。因?yàn)橐话憬鈱γ科诙汲闪ⅲ?因而可求出A，可得 （1.9）由此可看出，將振蕩在長期均衡價(jià)格上下。如果收斂到零。如果將發(fā)散。這個(gè)穩(wěn)定條件的經(jīng)濟(jì)解釋是：供給曲線的斜率（，需求曲線斜率的絕對值。如果供給曲線比需求曲線更陡峭，即時(shí)， 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3 供給沖擊效應(yīng)供給沖擊對小麥價(jià)格的當(dāng)期影響效應(yīng)是的偏導(dǎo)數(shù)