第一章：勾股定理復習

1、在本章中，我們探索了直角三角形的三邊關系，并在此基礎上得到了勾股定理，并學習了如何利用拼圖驗證勾股定理，介紹了勾股定理的用途；本章后半部分學習了勾股定理的逆定是以及它的應用其知識結構如下：在學習勾股定理時應注重知識的形成過程，即勾股定理的探索過程，有意識地培養(yǎng)自己探索新知識的能力在運用勾股定理時一定要有直角三角形這個前提條件，因此，通過有關具體問題時，有時需添加適當?shù)妮o助線以構造直角三角形來幫助解題勾股定理的逆定理是用來判定一個三角形是否是直角三角形的，但在判定一個三角形是否是直角三角形時應首先確定該三角形的最大邊，當其余兩邊的平方和等于最大邊的平方時，該三角形才是直角三角形勾股定理的逆定理也

2、可用來證明兩直線是否垂直，這一點同學們也應牢牢掌握典例精講例1 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD長方法指導：可設CD長為xcm，再尋找等量關系利用方程思想來解，而在直角三角形中，等量關系往往是勾股定理表達式解：設CD=xcm，則BD=BCCD=（8x）cm由題知ACD與AED關于AD對稱，AE=AC=6cm，DE=CD=xcm，AED=C=90°在RrACB中，由勾股定理得：，BE=ABAE=106=4cm在RtBED中，由勾股定理得：，解得x=3cm方法總結：折疊問題應把握折疊前后

3、兩部分圖形關于折痕對稱，從而可以利用對稱的有關性質(zhì)來幫助解題目例2 已知：如圖ABC中，AB=AC=10，BC=16，點D在BC上，DACA于A求：BD的長方法指導：可設BD長為xcm，然后尋找含x的等式即可，由AB=AC=10知ABC為等腰三角形，可作高利用其“三線合一”的性質(zhì)來幫助建立方程解：設BD長為xcm過點A作AEBC于E，AB=AC=10，ABC為等腰三角形，在AEC中，由勾股定理得：在RtAED中，在RtDAC中，解得方法總結：勾股定理通常與等腰三角形的性質(zhì)結合起來使用舉一反三 如圖：A、B兩點與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點測得A、B兩點的俯角分別是30°、

4、60°，且AB=20cm，求建筑物CD的高解：例3 甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以12海里/時的速度向北偏東35°航行，乙船向南偏東55°航行2小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C、B兩船相距40海里，問乙船的速度是每小進多少海里？方法指導：可根據(jù)題意畫出圖形，易知ABC是直角三角形，利用勾股定理求出AB距離，從而求出乙船速度解：由題知ABC是直角三角形且BAC為直角，BC=40由勾股定理得（海里）乙船速度為：（海里/時）方法總結：凡是實際問題，應根據(jù)題意構造直角三角形來求解舉一反三 “中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定，小汽車在城街路上行駛速度不得超過

5、70km/h，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與速速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？解：因為小汽車的速度為：，因此小汽車超速了例4 如圖，海中有一小島A，在該島周圍10海里內(nèi)有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西45°的B處往東航行20海里后達到該島南偏西30°的C處，之后繼續(xù)向東航行，你認為貨船繼續(xù)向東航行會有觸礁的危險嗎？計算后說明理由方法指導：要想知道有無觸礁危險只需算出點A到BC的距離，再比較即知解：過點A作ADBC，垂足為D由題知：BAD=45°，CAD=

6、30°設AD=x（海里），則BD=x（海里），CD=（x20）（海里），我們知道有一內(nèi)角為30°的直角三角形三邊比值為，即解得故無觸礁危險方法總結：此題若直接用勾股定理也可得關于x的方程，但是是一元二次的，目前無法解出來，故應熟記特殊直角三角形的三邊比值，如等腰直角三角形三邊比值為舉一反三 如圖，點A是一個半徑為300m的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B、C兩個村莊，現(xiàn)要在B、C兩村莊之間修一條長為1000m的筆直公路將兩村連通經(jīng)測得ABC=45°，ACB=30°，問此公路是否會穿過該森林公園？請通過計算進行說明解：不會穿過公園例5 一架方梯長25

7、m，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，求：（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？方法指導：梯子靠在墻上即構成直角三角形，可利用勾股定理來求解解：（1）如圖，在RtPOQ中，由勾股定理得：即梯子的頂端距離地面24m；（2）由題知梯子底端移動的距離為OB，設QB=x，則OA=OPAP=244=20m，梯子下滑過程中長度不變即AB=QP=25m，在RrAOB中，由勾股定理得：QB=OBOQ=157=8m即梯子底端移動了8m方法總結：這是一類“梯子下滑問題”，解此類題應把握兩點：梯子靠在墻上即構成直角三角形；梯子滑動過程中長度不變舉

8、一反三 如圖，一個梯子AB長25m，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為15m，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為05m，求梯子頂端A下落了多少m？解：梯子頂端A下落了05m例6 若ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足，那么ABC是何種形狀？解：由得，即，a=3，b=4，c=5，由勾股定理逆定理知ABC是直角三角形方法總結：要判斷三角形形狀，應尋找三邊關系或三角之間的關系再作出判斷舉一反三 若a、b、c為ABC的三邊，且滿足探索ABC的形狀，并說明理由解：等邊三角形例7 如圖，CD是ABC的AB邊上的高，且有求證：ABC是直角三角形方法指導：先依題意畫圖，再利用勾股定理的逆定

9、理來證解：在RtACD中，由勾股定理得：，同理，由勾股定理逆定理知：ABC是直角三角形方法總結：證明直角三角形或兩直線的垂直關系通常用勾股定理逆定理來解決舉一反三 如圖，已知在ABC中，C=90°，D為AC上一點，與 有怎樣的關系？試證明你的結論解：相等（提示：可證明，再作移項變形）綜合練習（時間90分鐘，滿分120分）一、填空題（3分×10=30分）1在ABC中，C=90°，a，b，c為A，B，C的對邊（1）c=25，b=24，那么a=_（2）a=30，b=16，那么c=_2在ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊（1），那么當c=_時，B=90°（2

10、），那么當b=_時，C=90°3在ABC中，C=90°，AB=40，AC=24則斜邊AB上的高是_4在ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，如果a，b，c滿足，那么ABC是以_為斜邊的直角三角形5如圖，每個小正方形的邊長是1，在圖中畫出：（1）一個面積為2的直角三角形（2）一個面積為2的正方形6如圖，ABC中，BC=12，AB=10，ABC的面積是48那么BD=_7一個三角形的一個外角等于和它相鄰的內(nèi)角，如果此三角形的兩條邊長分別是5，2，那么以第三條邊為半徑的圓的面積是_（保留）8邊長為2的正三角形的面積為_，邊長為a的正三角形面積為_9如果梯子的底端離建筑物9m，那么

11、15m長的梯子可以到達建筑物的高度是_10為得到湖兩岸A點和B點間的距離，一個觀測者在C點設樁，使ABC為直角（如圖），并測得AC長20m、BC長16m，A，B兩點間的距離是_二、選擇題（7分×3=21分）11有下列命題：（1）如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么4a，4b，4c仍是勾股數(shù)；（2）如果直角三角形的兩邊長是3，4，那么斜邊必是5；（3）如果一個三角形的三邊是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；（4）一個等腰直角三角形的三邊長為a，b，c（a>b>c），那么其中正確的是（ ）A（1）（2） B（1）（3） C（1）（4） D（2）（4）12如圖，ABC中

12、，AB=AC，ADBC，垂足是D，AB=13，BD=5，則ABC的面積是（ ）A65 B120 C60 D3613如圖，ABC中，ACB=90°，AC=BC，如果ABC的面積是8，那么腰長是（ ）A4 B2 C8 D1614如圖，B在A的北偏西方向的6m處，C在A的北偏東方向的8m處，并且，那么B、C兩點相距（ ）A6m B8m C10m D12m15如圖，在RtABC中，C=90°，D為AC上的一點，且有DA=DB=5，又DAB的面積是10，那么DC的長是（ ）A4 B3 C5 D4516在ABC中，AB=AC，如果AB=17，BC=16，則BC邊上的中線長是（ ）A8

13、B15 C10 D617如圖，在RtABC中，B=90°以AC為直徑的圓恰好過點BAB=8，BC=6，則陰影部分的面積是（ ）A BC D三、閱讀理解題（5分）18閱讀下列解題過程，并回答問題已知a，b，c為ABC的三邊，且滿足，試判定ABC的形狀解：， ， ABC是直角三角形（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出代號_（2）錯誤的原因為_（3）本題正確結論為_四、解答題（64分）19（8分）下面同學對各題的解答是否正確？為什么？（1）在RtABC中，B=90°，a=3，b=4，求c；（2）已知直角三角形兩條直角邊為40和9，求第三邊的長；（3）已知ABC中，AB

14、=10，AC=17，BC邊上的高AD=8，求BC的長解：（1）由勾股定理得：，（2）由勾股定理得：，c=41，答：第三邊的長為41（3）根據(jù)勾股定理：，DB=8；，DC=15故BC=15+8=2420（8分）有一個三角形兩邊長分別為4和5，要使三角形為直角三角形，則第三邊為多少？21（8分）給出一組式子：（1）你能發(fā)現(xiàn)關于上式中的一些規(guī)律嗎？（2）請你運用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個式子（3）請你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律22（8分）在ABC中，已知a=15，b=17，c=8，求ABC的面積23（8分）如圖，在ABC中，ACB=90°，CDAB，D為垂足，DEBC，E為垂足，已知AC=6，AB=

15、10求（1）CD的長；（2）DE的長24（8分）如圖，ABC中，ADBC，D為垂足，AE為BC邊上的中線，已知AB=5，BC=12，ABC的面積是24求（1）AD的長；（2）判斷ABE的形狀，并說明理由25（8分）如圖，在ABC中，ACB=90°，CD為AB邊上的高試說明26（8分）如圖，在ABC中，AM是BC邊的中線，AE為BC邊上的高試判斷與的關系，并說明理由參考答案1（1）7 （2）34 2（1）1 （2）3 3192 4a 5略 66 先由面積公式，求出AD=8 7或 先說明此三角形為直角三角形，但因為誰是斜邊沒有確定，故有兩種情況8 912cm 1012cm 11C 12C

16、 13A ，則 14C ，得BAC=90°，由勾股定理可求得BC=10 15B ADB的AD邊上的高為BC，即，BC=4在RtBCD中求得CD=3 16B 17C 18（1） （2）可能為0 （3）ABC為直角三角形或等腰三角形 19幾個題的解法均有問題（1）錯誤的原因是沒有弄清哪個角是直角，盲目地運用勾股定理，當B=90°，應該有 （2）沒有確定所求得的邊是直角邊，還是斜邊（3）考慮不完整，忽視了高AD在ABC外部的情況 203或 21（1） （2） （3）按完全平方公式展形，進行證明即可 22，ABC為直角三角形， 23（1）48先求出BC=8則由面積公式可求出CD （

17、2）384 在ACD中求得AD=36，所以BD=64，在BCD中運用面積公式求DE，即則 24（1）4 由面積公式，得 （2）等腰三角形在RtABD中，AB=5，AD=4，則BD=3，因為E為BC的中點，BE=6，DE=3，AE=5=ABABE為等腰三角形25左邊右邊26 ， 期中測試題（時間90分鐘，滿分120分）一、選擇題（3分×10=30分）1已知xy=1，則的值為（ ）A B C D2有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則代數(shù)式的值為（ ）A正數(shù) B負數(shù) C零 D不能確定3若分式的值為零，則x的值為（ ）A3 B3或3 C3 D04化簡的結果是（ ）A B C D5若x&l

18、t;2，則的值為（ ）A1 B0 C1 D26中，x，y都擴大10倍，則分式的值（ ）A擴大10倍 B縮小10倍 C保持不變 D縮小5倍7如果反比例函數(shù)的的圖象經(jīng)過點（3，2），那么下列各點中在此函數(shù)圖象上的點是（ ）A BC D8一個矩形的面積是6，則這個矩形的一組鄰邊長x與y的函數(shù)關系圖象大致是（ ）9若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x可能的值有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個10一等腰直角三角形的周長為2P，其面積為（ ）A BC D二、填空題（3分×10=30分）11在分式中，x=_時，分式無意義，當x=_時，分式的值為零12當時，13若去分母解方程，出現(xiàn)增根，則

19、增根為_14在分式中，當x=_時，分式的值為1；當x的值_時，分式值為正數(shù)15已知，且，則16反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P，如圖所示根據(jù)圖象可知，反比例函數(shù)的解析式為_17某蓄電池的電壓為定值，如圖所示的是該蓄電池電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關系圖象，則其函數(shù)解析式是_18近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例關系，已知400度近視眼鏡片的焦距為025m，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關系式為_19如圖，已知ABC中，ACB=90°，以ABC的各邊為邊在ABC外作三個正方形，分別表示這三個正方形的面積，則20如圖，為了求出湖兩岸A，B兩點之間的距離，觀測者從觀測點A，

20、B分別測得BAC=90°，ABC=30°，又測得BC=160m，則A，B兩點之間的距離為_m（結果保留根號）三、解答題（60分）21先化簡，再求值（5分×2=10分）（1），其中（2），其中22解分式方程（5分×2=10分）（1） （2）23（8分）在RtABC中，C=90°，AB=2，求這個三角形的面積24（8分）如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站多少千米處？25（8分）如圖，已知RtABC的頂點A是一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點，且該一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式是否能完全確定？如