第二講 導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、學(xué)習(xí)目的與要求1、加深理解導(dǎo)數(shù)概念，并能利用導(dǎo)數(shù)解決一些具體問(wèn)題。2、熟練掌握求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)基本公式，能正確求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3、熟練掌握隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題三、內(nèi)容提要1、 導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)應(yīng)于自變量的任一改變量，函數(shù)的改變量為，如果存在，則稱在處可導(dǎo)，且稱此極限值為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作。若記又可記為若記 則稱、分別是在處的右導(dǎo)數(shù)與左導(dǎo)數(shù)，且2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 可導(dǎo)連續(xù)，不連續(xù)不可導(dǎo)；反之，不一定成立。3、若在點(diǎn)處的增量，其中無(wú)關(guān)，則稱在處可微，并稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為.當(dāng)在

2、處可微時(shí),因此,由上可知，導(dǎo)數(shù)可表為函數(shù)的微分與自變量微分之商。可導(dǎo)可微。4、導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算設(shè)處可導(dǎo)，則5、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且對(duì)于不論變量是中間變量還是自變量，都有，這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性。6、隱函數(shù)求導(dǎo)，反函數(shù)求導(dǎo)設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則可由方程兩邊對(duì)求導(dǎo)后解出。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào)連續(xù)且在處可導(dǎo)，的反函數(shù)在點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，且在計(jì)算反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意：一般，7、參數(shù)式求導(dǎo)設(shè)上連續(xù)，可導(dǎo)且則參數(shù)式確定的函數(shù)可導(dǎo)，且記為,則 8、高階導(dǎo)數(shù)如果的函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則的導(dǎo)數(shù)稱為的二階導(dǎo)數(shù)，且記作，由定義。類似的，

3、二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，一般地，的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的階導(dǎo)數(shù)，且記為即 。函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在也表明函數(shù)次可微。9、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 設(shè)階可導(dǎo)，則（1） 2）（3）10、幾個(gè)基本初等函數(shù)的階求導(dǎo)公式；11、導(dǎo)數(shù)的幾何意義若函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)存在，則的值等于曲線 處的切線斜率，且在處的切線方程為法線方程為或12、常用基本求導(dǎo)公式 四、思考題1、初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是否一定可導(dǎo)？2、若函數(shù)在（-，+）內(nèi)處處可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)必處處連續(xù)，對(duì)嗎？3、若為內(nèi)可導(dǎo)的偶函數(shù)，則在內(nèi)是否必為奇函數(shù)？若 則 =？4、函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是什么？5、若曲線處處有切線，則函數(shù)必處處可導(dǎo)，對(duì)嗎？6、可導(dǎo)的周期函數(shù)，其

4、導(dǎo)函數(shù)是否必為周期函數(shù)？7、若在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，其反函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)是否必定可導(dǎo)？8、若與在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，則對(duì)嗎？9、設(shè)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)，且=5，則五、典型例題分析例1 研究函數(shù)在點(diǎn)=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性，并求。問(wèn)在=0處連續(xù)嗎？分析 為分段函數(shù)。而求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通常如下進(jìn)行：（1）判斷在各段開(kāi)區(qū)間內(nèi)是否可導(dǎo)。如果可導(dǎo)，則在各段開(kāi)區(qū)間內(nèi)分別求導(dǎo).（2）判斷在各分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)，此步是分段函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。要判斷分段函數(shù)在分?jǐn)帱c(diǎn)是否可導(dǎo)，首先要看它在該點(diǎn)是否連續(xù)，若不連續(xù)，則在該點(diǎn)必不可導(dǎo)；其次，若在分段點(diǎn)連續(xù)，滿足了函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義來(lái)判斷函數(shù)在該點(diǎn)的可導(dǎo)性

5、，或用函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件來(lái)判定在該點(diǎn)的可導(dǎo)性。求解此問(wèn)題應(yīng)分成四個(gè)步驟。解（1） 因（無(wú)窮小乘有界變量）所以 故在=0處連續(xù)。（2） = （無(wú)窮小乘有界變量） 。所以在=0處可導(dǎo)，且。（3）（4）因，不存在。 所以在=0處不連續(xù)。例2 若存在，求，其中為不等于0的常數(shù)。分析 （1）已知條件是存在，所求是一個(gè)比值的極限，而函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量之比當(dāng)自變量增量趨于0時(shí)的極限，因此，要求此極限必須緊扣條件，利用導(dǎo)數(shù)定義。（2）自變量的增量可以用表示，也可用一個(gè)常數(shù)乘來(lái)表示，亦可用別的字母表示。從觀察知，自變量在點(diǎn)取得的增量應(yīng)為，從觀察，自變量在點(diǎn)取得的增量應(yīng)為。要利用導(dǎo)數(shù)

6、定義，還需作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?。?將分式適當(dāng)變形原式= = =例3 設(shè)，試確定系數(shù)和，使得處處連續(xù)可導(dǎo)。解 顯然，當(dāng)0時(shí)，連續(xù)。當(dāng)=0時(shí)，有，第一項(xiàng)極限不存在，第二項(xiàng)極限為零，要使在=0處連續(xù)，必需。當(dāng)時(shí)，有(0-0)=(0+0)=(0)=0，函數(shù)在=0處連 續(xù)，從而處處連續(xù)。此時(shí)又當(dāng)0時(shí)，顯然可導(dǎo)，當(dāng)=0時(shí)，有 故當(dāng)=1，在=0處可導(dǎo)，從而處處可導(dǎo)。綜上討論，當(dāng)=0，=1時(shí)，處處連續(xù)可導(dǎo)。例4 指出下列各題作法中的錯(cuò)誤，并正確求解各題（1）已知，求。解 ，（2）已知，求。解 。（3）已知，求。解 = =（4）已知，求（其中>0）。解 ，以下逐題分析錯(cuò)誤所在，并給予正確解答。（1）錯(cuò)誤在于

7、，正確作法為： （2）錯(cuò)誤是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)未進(jìn)行到底。正確作法為：（3）錯(cuò)誤在于第二個(gè)等號(hào)不成立，最后一個(gè)因子不應(yīng)乘以，正確作法為： = =（4）解中不成立，正確作法為： 兩邊對(duì)求導(dǎo)：=， =小結(jié) （1）在進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，若有可能，應(yīng)首先利用代數(shù)恒等變形或三角恒等變形，將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可簡(jiǎn)化計(jì)算，少出差錯(cuò)。如可先變形為，然后再求導(dǎo)。（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的重點(diǎn)，在求導(dǎo)過(guò)程中，必須先搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的，函數(shù)由里到外逐步復(fù)合，求導(dǎo)時(shí)，從外到里逐次求導(dǎo)，注意一定要求到底，不要有遺漏。 （3）對(duì)于冪指函數(shù)，如，和多因子連乘、除、乘方、開(kāi)方的函數(shù)，如等，注意正確運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

8、。例5 設(shè)，試證明關(guān)系式。分析 這是涉及到高階導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，若設(shè)想按照高階導(dǎo)數(shù)求法，依次求出函數(shù)的(n-1)階，n階，(n+1)階導(dǎo)數(shù)，然后代入關(guān)系式的左端加以整理，看其是否為0，顯然是很困難的。因此，要證明此題，需采用適當(dāng)?shù)募记?。一般在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)函數(shù)進(jìn)行：1.初等變形；2.利用基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式；3.利用萊布尼茲公式或數(shù)學(xué)歸納法。證法1 ，即,兩端對(duì)求導(dǎo)，整理得 （*）（*）式左端正好是要求論證結(jié)果左端n=1的情形，但右端尚不是0，不過(guò)，關(guān)系式是對(duì)n>1成立。所以，利用萊布尼茲公式，（*）式兩端再對(duì)求（n-1）階導(dǎo)數(shù)。即 證法2 要論證有關(guān)n階導(dǎo)數(shù)所滿足的恒等關(guān)系式，也常

9、采用數(shù)學(xué)歸納法。（1）將(*)式兩端對(duì)求導(dǎo) ，整理得這說(shuō)明關(guān)系式對(duì)n=2時(shí)成立。（2）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，關(guān)系式成立，即 （* *）求證當(dāng)n=k+1時(shí)關(guān)系成立。（* *）式兩端對(duì)求導(dǎo)整理得 故關(guān)系式對(duì)任意的n2均成立。例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù) （）。解 根據(jù)此方程的特點(diǎn)，方程兩端先取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)更為方便。方程兩端取對(duì)數(shù)：，再兩端對(duì)求導(dǎo)：整理得 ，即 ，所以 ,小結(jié) （1）隱函數(shù)求導(dǎo)法很重要，當(dāng)、之間關(guān)系由方程給出時(shí)，或 對(duì)的導(dǎo)數(shù)比較難求時(shí)，可用此法。 （2）隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可先求出，再將對(duì)求導(dǎo)，注意是自變量， 是的函數(shù)，然后把代入整理即可。亦可由方程兩端繼續(xù) 對(duì)求導(dǎo)，有 ，解

10、出 ，再將代入，得例7 求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。解 。=說(shuō)明 在求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，僅需弄清式子即可。同學(xué)們?cè)谇髮?dǎo)中常常丟掉，應(yīng)注意此點(diǎn)。例8 試確定的值，使兩曲線與相切。分析 兩曲線相切，包含兩層意思：一是在切點(diǎn)處，兩曲線的縱橫坐標(biāo)相等；二是在切點(diǎn)處，兩曲線的切線斜率相同。 （1）（2）解 由（1）得，代入（2），得，所以 。說(shuō)明 解此題同學(xué)們往往只注意到相切，由，得，認(rèn)為問(wèn)題就解決了，實(shí)際上，由只能說(shuō)明兩曲線的切線平行，而為待定系數(shù)，為了確定其值，還需用到兩曲線相切，切點(diǎn)處縱橫坐標(biāo)相等的條件把定出來(lái)。例9 求橢圓上，點(diǎn)處的切線方程和法線方程。分析 此題的核心

11、是求曲線斜率和法線斜率，而導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，故只需求出橢圓上點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值即可，而橢圓可用三種方式表示，即 顯式、隱式、參數(shù)式，而此處是用隱函數(shù)形式給出的，求曲線斜率用隱函數(shù)求導(dǎo)法更簡(jiǎn)便。解 方程兩端對(duì)求導(dǎo)：所以 故 所求切線方程為 法線方程為 例10 將水注入深8m而上頂直徑為8m的錐形水池中，注入速率為每分鐘4m2，求當(dāng)深為5m時(shí)，其表面上升的速率為多少？分析 這是相關(guān)變化率問(wèn)題。池中水面高度h是時(shí)間t的可導(dǎo)函數(shù)，注入池中的水的體積也是時(shí)間t的可導(dǎo)函數(shù)，若能建立池中水的體積與水面高度間的函數(shù)關(guān)系式，就能利用已知變化率，求得水面高度h隨時(shí)間的變化率。解 設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘后，注入池中水的體積為V，水面高度為h，則由于，所以，即。這就是注入池中水的體積與水面高度間的函數(shù)關(guān)系式。兩端對(duì)t求導(dǎo)，得已知，所以，當(dāng)h=5m時(shí)，其表面上升速率為 （m/min）例11 若在內(nèi)有定義，=0，且時(shí)，有成立。（1）討論的連續(xù)性。（2）求。分析 此題是運(yùn)用極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等重要概念的綜合題，主要搞清解題思路，及解題過(guò)程中的正確表達(dá)。解 由，知